例析求解幾何概型問(wèn)題的路徑

李榮

幾何概型是一種常見(jiàn)的概率模型.如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（角度或面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.幾何概型的概率公式 P（A）=幾何概型有與長(zhǎng)度、面積、體積、角度有關(guān)的概率問(wèn)題.解答幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵在于辨別構(gòu)成該事件的區(qū)域是否可用長(zhǎng)度、角度、面積、體積來(lái)度量，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度、角度、面積、體積問(wèn)題，結(jié)合幾何圖形尋找符合條件的事件所構(gòu)成的幾何區(qū)域和所有結(jié)果構(gòu)成的幾何區(qū)域，求出它們的比值，即可得到概率.下面舉例說(shuō)明.

例1.在區(qū)間[-1，1]上隨機(jī)取1個(gè)數(shù) x，求 cos 的值介于0到之間的概率.

解：由題意知 x ∈[-1，1]，要使cos 的值介于0到 之間，需使-≤≤-或≤≤.所以-1≤ x ≤-或≤ x ≤1，其區(qū)間長(zhǎng)度為，則cos 的值介于0到2之間的概率為 P =

事件的發(fā)生概率只與自變量x 的取值范圍，即區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)，可直接根據(jù)幾何概型概率公式求解.如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，就需求得符合條件的長(zhǎng)度以及所有結(jié)果構(gòu)成的長(zhǎng)度，再運(yùn)用幾何概型概率公式求解.

例2.甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并且約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率.

解：用 x 軸和 y 軸表示甲、乙兩人分別到達(dá)約定地點(diǎn)超過(guò)6時(shí)的時(shí)間（單位：分），則兩人能夠會(huì)面的充要條件是x -y≤15.由圖1知，（x，y）的所有可能結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為60的正方形，而構(gòu)成事件 A “兩人能夠會(huì)面”的區(qū)域可用圖中的陰影部分表示，由幾何概型概率公式得：P（A）= = ，故兩人能夠會(huì)面的概率為16.

將兩人到達(dá)的時(shí)間分別用x， y 兩個(gè)坐標(biāo)表示，使其構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)（x， y），從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積問(wèn)題，求得符合條件的面積、所有情況構(gòu)成的面積，再運(yùn)用幾何概型概率公式即可求得概率.

例3.在線段[0， a]上隨機(jī)取3個(gè)數(shù)，求以這3個(gè)數(shù)為長(zhǎng)的線段構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.

解：設(shè)事件 A 為“3條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形”，設(shè) 3條線段長(zhǎng)分別為x，y，z，則每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果可以表示為：（x，y，z），x，y，z∈[0， a]，所有可能的結(jié)果構(gòu)成集合為 Ω={（x，y，z）|0≤ x ≤ a， 0≤y≤ a， 0≤ z≤ a}.因?yàn)?條線段構(gòu)成一個(gè)三角形的條件是： x +y>z，x +z>y，y +z>x ;所以事件 A 構(gòu)成的集合 A ={（x，y，z）|x +y>z， x +z>y， y +z>x，0≤ x ≤ a， 0≤y≤ a， 0≤ z≤ a}，該集合中的點(diǎn)都在以 O，A，B，C，D 為頂點(diǎn)的六面體內(nèi)（如圖2所示），其體積為a3-3×1×a2×a =1a3.以 a 為邊長(zhǎng)的正方體的體積為a3，則 P（A）=

解答本題，需將三角形的3條邊長(zhǎng)分別用 x，y，z來(lái)表示，使其構(gòu)成空間內(nèi)的點(diǎn)（x，y，z），從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間圖形的體積問(wèn)題，求得六面體 OABCD 以及正方體的體積即可解題.

例4.如圖3所示，設(shè) A 為圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上任取一點(diǎn) B，求弦 AB 的長(zhǎng)超過(guò)圓的半徑的

倍的概率.

解：設(shè)圓的半徑為r，當(dāng)弦 AB 的長(zhǎng)恰好為 r 時(shí)，它所對(duì)的圓周角恰好為90°，則要使弦 AB 的長(zhǎng)大于 r，則 AB 所對(duì)的圓心角必然大于90°且小于270°，所以所求事件的概率為360° ?=2.

當(dāng)涉及扇形或圓中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段.

綜上所述，解答幾何概型問(wèn)題的步驟是：（1）判斷事件是否可用長(zhǎng)度、角度、面積、體積來(lái)度量;（2）畫(huà)出幾何圖形，明確構(gòu)成符合條件事件的區(qū)域所代表的長(zhǎng)度、角度、面積、體積，以及所有事件構(gòu)成的區(qū)域所代表的長(zhǎng)度、角度、面積、體積，并求其值;（3）運(yùn)用幾何概型概率公式求解.

（作者單位：江蘇省射陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)）