合理轉(zhuǎn)化數(shù)與形，讓解題更加高效

蒲毅

華羅庚教授曾說：“數(shù)缺形，少直觀;形缺數(shù)，難入微.”將數(shù)形結(jié)合起來，合理進行數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，將幾何圖形中的位置關(guān)系、圖形的性質(zhì)用數(shù)量關(guān)系表示出來，或把數(shù)量關(guān)系用圖形呈現(xiàn)出來，能有效地提升解題的效率.下面結(jié)合實例來談一談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用.

一、數(shù)形結(jié)合思想在解答集合問題中的應用

集合中的元素可用數(shù)軸、坐標軸上的點表示，因此在解答集合問題時，可借助數(shù)軸、直角坐標系來解題.集合中的元素、集合之間的關(guān)系可用Venn 圖來表

示，因此也可通過分析Venn 圖來解答集合問題.

例1.已知集合，則 M ?N 為（? ）.

A.或3<x ≤7

B.或3≤ x <7

C.或x >3

D.或x ≥3

解：因為， 或x >3，

在數(shù)軸上表示出 M， N ，由圖1可知.

因此本題選A.

我們首先根據(jù)題意將集合 M、 N 化簡，將集合中的元素看作數(shù)軸上的點，分析數(shù)軸上點的分布情況，便可快速求得 M、 N 的交集.

例2.設集合或x >1，B =x（x -a）?（x -b）≤0（a <b），若 A ?B =xx >-2，A ?B =x1<x ≤3，求 a，b 的值.

分析：需先將集合 B 化簡，然后在數(shù)軸上討論 A 、B 的交集和并集.由 A?B =xx >-2知 B 的兩個端點落在 E 的右側(cè)，由 A?B =x1<x ≤3可知 B 的右

端點 H 必落在3的位置上.若左端點落在 F 的左側(cè)，則與 A ?B 矛盾;若落在 G 、H 中間，則與 A ?B 矛盾;若落在 F 、G 之間，則與 A ?B 矛盾，因此當且僅當左端點落在 F 處滿足題意，由此便可求得a 、b 的值.

解： B =x（x -a）（x - b）≤0=xa ≤ x ≤ b，

因為 A ?B =x1<x ≤3，在數(shù)軸上表示出 A 及B，如圖2所示.

若 A ?B =xx >-2，則-2<a ≤-1，b≥1;若 A ?B =x1<x ≤3，則-1≤ a ≤1，b =3.

綜上可得：a =-1，b =3.

二、數(shù)形結(jié)合思想在解答函數(shù)問題中的應用

函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表示方法，因此在解答函數(shù)問題時，同學們要學會將函數(shù)的解析式與函數(shù)的圖象結(jié)合起來，運用數(shù)形結(jié)合思想來解題.可根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，分析某個區(qū)間段上的函數(shù)圖象，以明確區(qū)間上的端點值、最值、單調(diào)性、對稱性;也可根據(jù)函數(shù)圖象上確定的點的坐標，求得函數(shù)的解析式、零點，明確函數(shù)的性質(zhì).

例3.求函數(shù)y = x2-3x +2的定義域.

解：要使函數(shù)有意義，需使x（x）2 x，+2≥0，

畫出 y =x2-3x +2的圖象，如圖3所示.

由圖可知要使x2-3x +2≥0，需使 x ≤1或x ≥2，而 x ≠0，所以函數(shù)的定義域為：-∞，0?0，1?2，+∞.圖3

本題主要考查了函數(shù)的定義域.可根據(jù)整式的性質(zhì)：根號下的式子不小于0、分母不為0來建立關(guān)系式，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析兩個關(guān)系式的解的情況，從而求得函數(shù)的定義域.

例4.求函數(shù) y =x2-2x -3，x ∈-1，2的值域.

分析：該函數(shù)為二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，如圖4所示.在圖4中找到x 取-1、2時的點，便可明確函數(shù)在-1，2上的變化趨勢，確定最低點和最高點，便可求得函數(shù)的最值.圖4

解：畫出如圖4所示的函數(shù)圖象，其中淺色部分為函數(shù)在定義域-1，2上的圖象，由圖可知，函數(shù)的最大值在 x =-1處取得，函數(shù)的最小值在對稱軸處取得，當 x =-1時，y =0;當 x =1時，y =-4，所以函數(shù)的值域為0，-4.

三、數(shù)形結(jié)合思想在解答解析幾何問題中的應用解析幾何中的每個曲線都有其對應的方程，如橢圓的方程為x2+y2=1（a >b >0）;雙曲線的方程為 x2-=1;拋物線的方程為 y2=2px（p >0）;等等.在解答解析幾何問題時，可根據(jù)圓錐曲線的方程畫出相應的圖形，通過討論圖形中的點、直線、曲線的位置關(guān)系求得問題的答案，也可根據(jù)圖形中曲線的特征構(gòu)造相應的方程，通過運算、推理求得問題的答案.

例5.若圓x2+y2-4x -4y -10=0上至少有三個不同的點到直線 l：ax +by =0的距離為2 ，則直線l 的傾斜角的取值范圍是（? ）.

A.ππB.π5πC.ππD.0，π

解： x2+y2-4x -4y -10=x -22+y -22=18，則該圓是以2，2為圓心，3為半徑的圓，

而ax +by =0是一條過原點的直線，設直線的方程為：y =kx，

由點到直線的距離可得2k -22=2，解得 k =

由圖5易得為 .因此本題選B.

解答本題，需根據(jù)圖形明確直線與圓的位置及其關(guān)系，討論直線可能在的位置，然后根據(jù)點到直線的距離公式以及直線的傾斜角公式求得斜率以及傾斜角的范圍.

例6.已知 P 為雙曲線 x2-y2=1的右支上一點，M ， N 分別是圓x +52+y2=4和x -52+y2=1上的點，求PM -PN 的最大值.

解：由 x2-y2=1知 a =3，b =4 ，焦點為±5，0，

由x +52+y2=4和x -52+y2=1知兩個圓的半徑分別為 R1=2，R2=1.

由圖6易知，PM max =PF1+R1=PF1+2，;

所以PM -PN max =PM max -PN min =（PF1+2）-（PF2-1）=PF1-PF2+3;

因為 P 在雙曲線 x2+y2=1的右支上;

所以PF1-PF2=2a =6 ，

所以PM -PN max =9.

結(jié)合圖形找出相應的點、直線、曲線的位置及其關(guān)系，便能快速建立起它們之間的聯(lián)系，構(gòu)建出關(guān)系式，使問題得解.

四、數(shù)形結(jié)合思想在解答不等式問題中的應用

在平面直角坐標系中，不等式 ax +by +c >（<）0表示的是直線左側(cè)或者右側(cè)的平面區(qū)域;若方程ax2+bx +c =0（a >0）的兩個根為 x1， x2（x1<x2），則不等式 ax + by +c >0的解集為xx<x1或x >x2，不等式 ax+ by +c <0的解集為xx1<x <x2，由二次函數(shù)y =ax2+bx+c 圖象可知其解集的分布情況如圖7.在解答不等式問題時，可根據(jù)不等式畫出相應的直線、二次曲線，借助圖形來分析問題，這樣能將抽象的問題直觀化，達到化難為易的目的.

例 7.設函數(shù) f （x）=， 若 f （x0）> 1 ，則 x0的取值范圍是（ ）.

A.（-1，1）

B.（-1，+∞）

C.（-∞，-2）?（0，+∞）

D.（-∞，-1）?（1，+∞）

分析：本題主要考查了分段函數(shù)不等式的解法.采用常規(guī)方法求解，需分兩種情況進行討論，過程較為繁瑣，于是根據(jù)函數(shù)的解析式畫出圖象，在圖中尋找函數(shù)值大于1的曲線段，求得對應的自變量的取值范圍，即可解題.

解：作出函數(shù) y =f（x）的圖象和直線 y =1，如圖8所示，

由圖可知，它們有2個交點，

令 f（x）=1，解得 x =1或-1，則其交點為（-1，1）和（1，1），

由 f（x）>1得 x <-1或 x >1.故本題選D項.

例8.解不等式 >x .

解：令y1= ，y2=x，

要使>x，需使 y1= 的圖象在 y2=x 的上方.

由=x，可得 x =2或-2，

由圖9可知，不等式的解集為{x|-2≤ x <2}.

將不等式左右兩邊的式子看作一條曲線和一條直線的方程，畫出其圖形，分析曲線和直線的位置關(guān)系，即可求得不等式的解集.

由此可見，數(shù)形結(jié)合思想在解高中數(shù)學題中應用廣泛，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”，能使問題快速獲解，讓解題變得更加高效.

（作者單位：四川省成都市新都一中）