“板塊”模型中的共速問題探究
——從2022年3月湖北省七市州聯(lián)考物理卷第16題說起

■湖北省松滋市第一中學(xué) 劉萬強

2022年3月湖北省七市州聯(lián)考物理卷第16題:如圖1甲所示,質(zhì)量mA=4 kg的物塊A與質(zhì)量mB=2 kg的長木板B并排放置在粗糙的水平面上,二者之間夾有少許塑膠炸藥,長木板B的右端放置有可視為質(zhì)點的小物塊C?，F(xiàn)引爆塑膠炸藥,爆炸后物塊A可在水平面上向左滑行s=1.2 m,小物塊C的速度隨時間變化的圖像如圖1乙所示。已知物塊A和長木板B與水平面之間的動摩擦因數(shù)均為μ0=,小物塊C未從長木板B上掉落,取重力加速度g=10 m/s2,求:

圖1

(1)炸藥爆炸后瞬間長木板B的速率。

(2)小物塊C的質(zhì)量mC。

(3)小物塊C靜止時距長木板B右端的距離d。

問題:炸藥爆炸后,長木板B向右做減速運動,小物塊C向右做加速運動,在長木板B和小物塊C達(dá)到共速后,很多同學(xué)不能正確判斷二者是否共同運動。

在“板塊”模型中,當(dāng)二者的速度相等后,正確判斷二者是否具有相同的加速度,受到的是靜摩擦力還是滑動摩擦力,是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵。如何進(jìn)行判斷呢? 下面就從數(shù)據(jù)體驗、情景歸納、分類討論三個層次進(jìn)行探究。

1.數(shù)據(jù)體驗。

如圖2所示,A、B兩滑塊疊放在光滑水平面上,已知A、B兩滑塊的質(zhì)量分別為mA=1 kg,mB=2 kg,滑塊A與B之間的動摩擦因數(shù)μ=0.4,取重力加速度g=10 m/s2?，F(xiàn)用一水平恒力F作用在滑塊B上,請分別計算在恒力F取以下四個數(shù)值時,A、B兩滑塊的加速度。

圖2

(1)F=6 N,(2)F=12 N,(3)F=18 N,(4)F=24 N。

分析:因為不知道在外力F作用下A、B兩滑塊是否共同運動,所以需要先采用假設(shè)法,假設(shè)A、B兩滑塊共同運動,求出二者共同運動時的加速度,再隔離滑塊A,分析其受到的摩擦力,判斷該摩擦力是否小于最大靜摩擦力,進(jìn)而判斷假設(shè)是否成立。

解:(1)當(dāng)F=6 N 時,假設(shè)A、B兩滑塊共同運動,則其加速度滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=2 N,滑塊B對A的最大靜摩擦力fAmax=μmAg=4 N。因為fA＜fAmax,所以假設(shè)成立,即A、B兩滑塊的加速度aA=aB=2 m/s2。

(2)當(dāng)F=12 N 時,假設(shè)A、B兩滑塊共同運動,則其加速度滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=4 N=fAmax,因此假設(shè)成立,即A、B兩滑塊的加速度aA=aB=4 m/s2。

(3)當(dāng)F=18 N 時,假設(shè)A、B兩滑塊共同運動,則其加速度滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=6 N＞fAmax,因此假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律,對滑塊A有fAmax=mAaA,對滑塊B有FfAmax=mBaB,解得aA=4 m/s2,aB=7 m/s2。

(4)當(dāng)F=24 N 時,假設(shè)A、B兩滑塊共同運動,則其加速度滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=8 N＞fAmax,因此假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律,對滑塊A有fAmax=mAaA,對滑塊B有FfAmax=mBaB,解得aA=4 m/s2,aB=10 m/s2。

感悟:(1)靜摩擦力具有被動性,其大小和方向受外力和運動狀態(tài)的影響。(2)在不確定A、B兩滑塊受到的是靜摩擦力還是滑動摩擦力的情況下,可以采用假設(shè)法進(jìn)行研究,判斷假設(shè)成立的關(guān)鍵是在零到最大靜摩擦力的范圍內(nèi)找到符合整體運動狀態(tài)的靜摩擦力。(3)最大靜摩擦力是兩者保持相對靜止的臨界狀態(tài),可以先隔離物塊A研究其在最大靜摩擦力作用下的最大加速度,再采用整體法研究A、B兩滑塊保持相對靜止時外力F的臨界值F0,當(dāng)外力F不大于臨界值F0時,兩者保持相對靜止共同運動;當(dāng)外力F大于臨界值F0時,兩者發(fā)生相對運動。

2.情景歸納。

案例1 如圖3所示,質(zhì)量mC=1 kg 的小物塊C和質(zhì)量mB=2 kg 的長木板B疊放在水平面上,已知長木板B與水平面之間的動摩擦因數(shù)小物塊C與長木板B之間的動摩擦因數(shù)μ=0.1,取重力加速度g=10 m/s2,則當(dāng)小物塊C和長木板B具有共同的速度v=1 m/s時,求長木板B和小物塊C的加速度aB、aC。若將小物塊C與長木板B之間的動摩擦因數(shù)改為μ＇=0.2,其他條件不變,求長木板B和小物塊C的加速度aB＇、aC＇。

圖3

解析:假設(shè)小物塊C和長木板B共同運動,則其加速度小物塊C受到的摩擦力fC=,長木板B對小物塊C的最大靜摩擦力fCmax=μmCg=1 N。因為fC＞fCmax,所以假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律可得,小物塊C的加速度,長木板B的加速度2 m/s2。若將小物塊C與長木板B之間的動摩擦因數(shù)改為μ＇=0.2,則長木板B對小物塊C的最大靜摩擦力fCmax=μ＇mCg=2 N。假設(shè)小物塊C和長木板B共同運動,則其加速度,小物塊C受到的摩擦力fC＇=,因此假設(shè)成立,即長木板B和小物塊C的加速度aB＇=aC＇=

因此,要想保證小物塊C與長木板B不發(fā)生相對運動,則需滿足條件μ0g≤μg,即μ0≤μ。

案例2 如圖4所示,質(zhì)量mA=1 kg 的滑塊A和質(zhì)量mB=2 kg的滑塊B疊放在水平面上,已知A、B兩滑塊之間的動摩擦因數(shù)μ1=0.4,滑塊B與水平面之間的動摩擦因數(shù)μ2=0.2,取重力加速度g=10 m/s2?，F(xiàn)用一水平恒力F作用在滑塊B上,請分別計算在恒力F取以下兩個數(shù)值時,A、B兩滑塊的加速度。

圖4

(1)F=9 N,(2)F=24 N。

解析:(1)當(dāng)F=9 N 時,假設(shè)A、B兩滑塊共同運動,則其加速度a=,滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=1 N,滑塊B對A的最大靜摩擦力fAmax=μ1mAg=4 N。因為fA＜fAmax,所以假設(shè)成立,即A、B兩滑塊的加速度aA=aB=1 m/s2。

(2)當(dāng)F=24 N 時,假設(shè)A、B兩滑塊共同運動,則其加速度a==6 m/s2,滑塊A受到的摩擦力fA=mAa=6 N＞fAmax,假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律可得,滑塊A的加速度aA＇==4 m/s2,滑塊B的加速度aB＇=

因此,要想保證A、B兩滑塊不發(fā)生相對運動,則需滿足條件≤μ1g,即F≤(μ1+μ2)(mA+mB)g。

案例3 如圖5所示,一滑塊放在水平傳送帶上,與傳送帶保持相對靜止,以速度v=6 m/s共同向右運動,已知滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=0.3。某時刻傳送帶突然做加速度為a的勻減速運動,若加速度a分別取值2 m/s2和4 m/s2,取重力加速度g=10 m/s2,請分別計算滑塊的加速度a1、a2。

圖5

解析:設(shè)滑塊的質(zhì)量為m,當(dāng)加速度a=2 m/s2時,假設(shè)滑塊和傳送帶共同運動,則滑塊受到的摩擦力f=ma=2m(N),傳送帶對滑塊的最大靜摩擦力fmax=μmg=3m(N)。因為f＜fmax,所以假設(shè)成立,即滑塊的加速度a1=2 m/s2。

當(dāng)加速度a=4 m/s2時,假設(shè)滑塊和傳送帶共同運動,則滑塊受到的摩擦力f=ma=4m(N)＞fmax,假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律可得,滑塊的加速度

因此,要想保證滑塊和傳送帶不發(fā)生相對運動,則需滿足條件ma≤μmg,即a≤μg。

案例4 如圖6所示,一傾斜的傳送帶以速度v=10 m/s向下運動,傳送帶的傾角θ=37°,某時刻將滑塊以方向沿傳送帶向下,大小為10 m/s的速度放在傳送帶的中段,取重力加速度g=10 m/s2。若滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)分別取值μ1=0.5和μ2=0.75,請分別計算滑塊的加速度a1、a2。

圖6

解析:設(shè)滑塊的質(zhì)量為m,當(dāng)滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ1=0.5時,假設(shè)滑塊和傳送帶共同運動,則根據(jù)平衡條件得f=mgsinθ=6m(N),傳送帶對滑塊的最大靜摩擦力fmax1=μ1mgcosθ=4m(N)。因為f＞fmax1,所以假設(shè)不成立。根據(jù)牛頓第二定律可得,滑塊的加速度a1=

當(dāng)滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ2=0.75時,假設(shè)滑塊和傳送帶共同運動,則根據(jù)平衡條件得f=mgsinθ=6m(N),傳送帶對滑塊的最大靜摩擦力fmax2=μ2mgcosθ=6m(N)。因為f=fmax2,所以假設(shè)成立,即滑塊的加速度a2=0。

因此,要想保證滑塊和傳送帶不發(fā)生相對運動,則需滿足條件mgsinθ≤μmgcosθ,即μ≥tanθ。

總結(jié):兩物體達(dá)到共速后保持相對靜止的條件為被動運動的物體在最大靜摩擦力作用下的加速度a＇不小于兩物體共速后整體的加速度a。

3.分類討論。

(1)光滑水平面,外力作用在滑塊上。

如圖7所示,滑塊A和長木板B疊放在光滑水平面上,已知滑塊A和長木板B的質(zhì)量分別為mA、mB,滑塊A與長木板B之間的動摩擦因數(shù)為μ?，F(xiàn)在滑塊A上施加一水平恒力F,假設(shè)最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等,則在不同大小外力F作用下,滑塊A和長木板B的運動情況如下:(1)當(dāng)時,滑塊A和長木板B相對靜止,共同運動,且加速度;(2)當(dāng)F＞時,滑塊A相對長木板B發(fā)生運動,且滑塊A的加速度aA=,長木板B的加速度

圖7

例1如圖8所示,一質(zhì)量為m1的足夠長木板放置在光滑水平面上,木板上疊放一質(zhì)量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等。現(xiàn)對木塊施加一隨時間t增大的水平力F,已知F=kt(k是常數(shù)),設(shè)木板和木塊加速度的大小分別為a1、a2,則如圖9所示四幅反映a1和a2變化的圖像中正確的是( )。

圖8

圖9

解析:當(dāng)F較小時,木塊和木板一起以相同的加速度運動,當(dāng)F增大到某一值時,木塊相對木板開始滑動,木板在水平方向上僅受滑動摩擦力作用,加速度不變,木塊在水平上受到的合外力增大,加速度增大,因此二者的加速度變化不同。當(dāng)F較小,木板和木塊之間的作用力為靜摩擦力時,根據(jù)牛頓第二定律得kt= (m1+m2)a,解得a=,在a-t圖像中是一條過原點的傾斜直線。設(shè)木塊和木板之間的動摩擦因數(shù)為μ,則木板的最大加速度當(dāng)F增大到使木塊的加速度a2＞μg時,木塊和木板之間的作用力為滑動摩擦力,對木板應(yīng)用牛頓第二定律得μm2g=m1a1,解得a1=為定值,在a-t圖像中是一條平行于t軸的直線;對木塊應(yīng)用牛頓第二定律得ktμm2g=m2a2,解得,因為,所以在a-t圖像中表示a2的直線的斜率更大。

答案:A

(2)粗糙水平面,外力作用在滑塊上,長木板與水平面之間的滑動摩擦力較小。

如圖10所示,滑塊A和長木板B疊放在水平面上,已知滑塊A和長木板B的質(zhì)量分別為mA、mB,滑塊A與長木板B之間的動摩擦因數(shù)為μ1,長木板B與水平面之間的動摩擦因數(shù)為μ2。現(xiàn)在滑塊A上施加一水平恒力F,假設(shè)最大靜摩擦力均與相應(yīng)的滑動摩擦力相等,且μ1mAg＞μ2(mA+mB)g,則在不同大小外力F作用下,滑塊A和長木板B的運動情況如下:(1)當(dāng)F≤μ2(mA+mB)g時,滑塊A和長木板B均保持靜止?fàn)顟B(tài);(2)當(dāng)μ2(mA+mB)g＜F≤時,滑塊A和長木板B保持相對靜止,共同運動,且加速度aA=aB=;(3)當(dāng)F＞時,滑塊A相對長木板B發(fā)生運動,且滑塊A的加速度aA=,長木板B的加速度

圖10

例2(2021年高考全國乙卷)水平地面上有一質(zhì)量為m1的長木板,木板的左端有一質(zhì)量為m2的物塊,如圖11所示。用水平向右的拉力F作用在物塊上,F隨時間t的變化關(guān)系如圖12甲所示,其中F1、F2分別為t1、t2時刻F的大小。木板的加速度a1隨時間t的變化關(guān)系如圖12乙所示。已知木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ1,物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為μ2,假設(shè)最大靜摩擦力均與相應(yīng)的滑動摩擦力相等,重力加速度大小為g。則( )。

圖11

圖12

A.F1=μ1m1g

B.F2=(μ2-μ1)g

C.μ2＞

D.在0～t2時間段物塊與木板的加速度相等

解析:根據(jù)木板的加速度—時間(a1-t)圖像可知,t1時刻物塊與木板一起恰好沿水平地面開始滑動,此時物塊與木板相對靜止,對由物塊和木板組成的整體應(yīng)用牛頓第二定律得F1=μ1(m1+m2)g,選項A 錯誤;t2時刻物塊與木板剛要發(fā)生相對滑動,對由物塊和木板組成的整體應(yīng)用牛頓第二定律得F2-μ1(m1+m2)g=(m1+m2)a,對木板應(yīng)用牛頓第二定律得μ2m2g-μ1(m1+m2)g=m1a＞0,解得,選項B、C 正確。因為在0～t2時間段物塊與木板相對靜止,所以有相同的加速度,選項D 正確。

答案:BCD

(3)粗糙水平面,外力作用在滑塊上,滑塊與長木板之間的滑動摩擦力較小。

如圖13所示,滑塊A和長木板B疊放在水平面上,已知滑塊A和長木板B的質(zhì)量分別為mA、mB,滑塊A與長木板B之間的動摩擦因數(shù)為μ1,長木板B與水平面之間的動摩擦因數(shù)為μ2。現(xiàn)在滑塊A上施加一水平恒力F,假設(shè)最大靜摩擦力均與相應(yīng)的滑動摩擦力相等,且μ1mAg＜μ2(mA+mB)g,則在不同大小外力F作用下,滑塊A和長木板B的運動情況如下:(1)當(dāng)F≤μ1mAg時,滑塊A和長木板B均保持靜止?fàn)顟B(tài);(2)當(dāng)F＞μ1mAg時,滑塊A做加速運動,且加速度aA=;長木板B保持靜止?fàn)顟B(tài),加速度aB=0。

圖13

例3如圖14所示,物塊放在靜止于水平地面上的木板上,已知物塊的質(zhì)量m=3 kg,木板的質(zhì)量M=5 kg,物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)μ1=0.3,木板與地面之間的動摩擦因數(shù)μ2=0.2,取重力加速度g=10 m/s2。當(dāng)不同大小的水平外力F作用在物塊上時,下列判斷中正確的是( )。

圖14

A.當(dāng)F＞9 N 時,木板相對地面滑動

B.當(dāng)F=16 N 時,物塊恰好開始相對木板滑動

C.當(dāng)F=9 N 時,物塊恰好開始相對木板滑動

D.木板不可能相對地面滑動

解析:物塊與木板之間的最大靜摩擦力fmax1=μ1mg=9 N,木板與地面之間的最大靜摩擦力fmax2=μ2(m+M)g=16 N。當(dāng)F=9 N,即F=fmax1時,物塊恰好開始相對木板滑動,選項B錯誤,C正確。因為fmax1＜fmax2,所以木板不可能相對地面滑動,選項A錯誤,D 正確。

答案:CD