探析傳送帶問題的求解方法

成金德

(浙江省義烏市東大門學(xué)校,浙江 義烏 322000 )

傳送帶是動(dòng)力學(xué)中一類典型的物理問題,傳送帶與實(shí)際中的貨物傳遞有著緊密的聯(lián)系.由于傳送帶問題涉及受力分析、運(yùn)動(dòng)分析、勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律、動(dòng)力學(xué)規(guī)律,因此,傳送帶問題知識(shí)綜合性強(qiáng),應(yīng)用能力要求高.對(duì)于一些初學(xué)物理的學(xué)生,以及一些分析能力不強(qiáng)的學(xué)生,求解傳送帶問題時(shí),往往不知從何下手,不僅高呼難度太大,而且對(duì)學(xué)習(xí)物理產(chǎn)生了畏難情緒.基于此,探討和分析傳送帶問題顯得很有意義.

1 概念論述

小物塊以初速度v0(v0≥0)在勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上開始運(yùn)動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)可稱為“傳送帶”模型.

實(shí)際中的傳送帶是利用貨物和傳送帶之間的摩擦力來傳遞或運(yùn)輸貨物的一種裝置,它能將貨物從一個(gè)地方運(yùn)送到另一個(gè)地方.由于傳送帶問題涉及摩擦力的判斷、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用,有些傳送帶問題包含的物理過程比較復(fù)雜,應(yīng)用的知識(shí)綜合性較強(qiáng),因此,傳送帶問題不僅是物理教學(xué)上的一個(gè)難點(diǎn),也是教學(xué)考查中的一個(gè)熱點(diǎn).

2 特點(diǎn)整合

2.1 水平傳送帶

(1)傳送帶以速度v做勻速運(yùn)動(dòng),小物塊以v0=0放上傳送帶.如圖1所示.

在摩擦力作用下,小物塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)小物塊的速度大小等于v時(shí),若小物塊還沒有運(yùn)動(dòng)到另一端,則小物塊將與傳送帶一起做勻速運(yùn)動(dòng).

圖1 水平傳送帶(1)圖

(2)傳送帶以速度v做勻速運(yùn)動(dòng),小物塊以初速度v0放上傳送帶.如圖2所示.

若v0>v時(shí),小物塊在摩擦力的作用下,做勻減速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)小物塊的速度降至v時(shí),若小物塊還沒有運(yùn)動(dòng)到另一端,則小物塊將與傳送帶一起做勻速運(yùn)動(dòng);

若v0

(3)傳送帶以速度v做勻速運(yùn)動(dòng),小物塊以初速度v0放上傳送帶,與傳送帶相向運(yùn)動(dòng).如圖3所示.

圖3 水平傳送帶(3)圖

若v0>v時(shí),小物塊在摩擦力的作用下,做勻減速直線運(yùn)動(dòng).若在速度減為零之前還沒有從左邊滑出,則小物塊在摩擦力作用下向右做勻加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)速度達(dá)到v后,小物塊勻速從右端滑出;

若v0

2.2 傾斜傳送帶

(1)傳送帶以速度v做勻速運(yùn)動(dòng),小物塊無速度放上傳送帶,如圖4所示.

在摩擦力作用下,小物塊沿傳送帶斜向上運(yùn)動(dòng).

若小物塊的速度始終小于v,則小物塊將一直做勻加速運(yùn)動(dòng);

若小物塊運(yùn)動(dòng)到傳送帶上端前速度達(dá)到v物=v,則小物塊勻速向上運(yùn)動(dòng).

圖4 傾斜傳送帶(1)圖

(2)傳送帶以速度v做勻速運(yùn)動(dòng),小物塊以初速度v0放上傳送帶,如圖5所示.

若v0

若v0>v,則小物塊做勻減速運(yùn)動(dòng).當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)到傳送帶上端前速度達(dá)到v物=v,若μ>tanθ,則小物塊做勻速運(yùn)動(dòng);若μ

(3)傳送帶以速度v做勻速運(yùn)動(dòng),小物塊無速度放上傳送帶,如圖6所示.

若小物塊的速度始終小于v,則小物塊將一直做加速運(yùn)動(dòng);

若小物塊運(yùn)動(dòng)到傳送帶下端前速度達(dá)到v物=v,且μ>tanθ,則小物接著做勻速運(yùn)動(dòng);

若小物塊運(yùn)動(dòng)到傳送帶下端前速度達(dá)到v物=v,且μ

圖6 傾斜傳送帶(3)圖

(4)傳送帶以速度v做勻速運(yùn)動(dòng),小物塊以初速度v0放上傳送帶,如圖7所示.

若v0

若v0≥v,且μ=tanθ,則小物塊一直做勻速運(yùn)動(dòng);

若v0>v,且μ>tanθ,當(dāng)小物塊的速度始終大于v時(shí),小物塊做勻減速運(yùn)動(dòng);當(dāng)小物塊到達(dá)底端前速度達(dá)到v物=v,小物塊將做勻速運(yùn)動(dòng).

若v0>v,且μ

(5)傳送帶以速度v做勻速運(yùn)動(dòng),小物塊以初速度v0放上傳送帶,如圖8所示.

圖8 傾斜傳送帶(5)圖

若μ

若μ=tanθ,小物塊一直做勻速運(yùn)動(dòng);

若μ>tanθ,小物塊做勻減速運(yùn)動(dòng);當(dāng)小物塊到達(dá)底端前速度達(dá)到v物=0,在摩擦力作用下小物塊反向做加速運(yùn)動(dòng);若小物塊在到達(dá)頂端前速度達(dá)到v物=v,則小物塊做勻速運(yùn)動(dòng).

3 解題思路

首先,由題給的初始條件,即依據(jù)小物塊的速度v物和傳送帶速度v帶間的關(guān)系,確定小物塊的受力情況,從而確定小物塊的運(yùn)動(dòng)情況;

其次,根據(jù)牛頓第二定律求出小物塊的加速度;

再次,當(dāng)小物塊的速度與傳送帶的速度相等時(shí),要注意分析小物塊受到摩擦力的突變情況,這是求解傳送帶問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn);若摩擦力發(fā)生突變,則需要由受力情況及牛頓第二定律再次求出小物塊的加速度[1];

4 注意事項(xiàng)

第一,注意弄清小物塊相對(duì)于傳送帶的運(yùn)動(dòng)方向,以便準(zhǔn)確判定小物塊所受摩擦力的方向;

第二,注意小物塊與傳送帶共速前,小物塊是否已經(jīng)滑出傳送帶;若小物塊還沒有滑出傳送帶,則要依據(jù)小物塊的受力情況確定小物塊的運(yùn)動(dòng)情況,這是求解傳送帶問題的關(guān)鍵點(diǎn);

第三,注意小物塊與傳送帶共速后,如果是水平傳送帶,則小物塊將隨傳送帶做勻速直線運(yùn)動(dòng);如果是傾斜傳送帶,則需要比較mgsinθ與μmgcosθ的大小關(guān)系,以便確定小物塊所受摩擦力的方向;

第四,注意小物塊在傳送帶上留下的痕跡問題,本質(zhì)上是小物塊與傳送帶間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移問題,但要特別注意是否存在在同一段傳送帶上出現(xiàn)二次(重復(fù))摩擦的問題.

5 典例剖析

5.1 求小物塊在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

例1如圖9所示,是長為L=16 m、傾角為37°的傳送帶,其轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v=10 m/s.小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5,在傳送帶頂端A處無初速度地釋放一個(gè)質(zhì)量為m=0.5 kg的小物塊.已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2.求:

①傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),小物塊從頂端A滑到底端B的時(shí)間;

②傳送帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),小物塊從頂端A滑到底端B的時(shí)間.

圖9 例1題圖

分析①當(dāng)傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于小物塊受到的摩擦力沿傳送帶斜向上,小物塊做勻加速運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律得:

mg(sin 37°-μcos 37°)=ma1

解得:a1=2 m/s2

②當(dāng)傳送帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于小物塊受到的摩擦力方向沿傳送帶斜向下,小物塊做勻加速運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律得:

mg(sin 37°+μcos 37°)=ma2

解得:a2=10 m/s2

當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)的速度與傳送帶的速度相等時(shí),設(shè)經(jīng)歷的時(shí)間為t2,通過的位移為x2.由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得:

當(dāng)小物塊與傳送帶的速度相等時(shí),由于mgsin 37°>μmgcos 37°,因此,小物塊此后相對(duì)于傳送帶向下加速運(yùn)動(dòng),受到的摩擦力方向變?yōu)檠貍魉蛶毕蛏?由牛頓第二定律得:

接著,小物塊做以加速度a3的勻加速運(yùn)動(dòng),通過的位移為:x3=l-x2=11m

解得:t3=1s(t3=-11 s舍去)

所以t總=t2+t3=2 s.

點(diǎn)評(píng)求解小物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間問題,務(wù)必注意弄清小物塊相對(duì)傳送帶的運(yùn)動(dòng)方向,從而確定其所受摩擦力的方向,再利用牛頓第二定律求出加速度,由速度公式或者位移公式求出小物塊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

5.2 求小物塊離開傳送帶時(shí)的速度

例2如圖10所示,某傳送帶兩端A、B間的距離L=4m,傳送帶傾角θ=37°,傳送帶以v=4 m/s的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).現(xiàn)將質(zhì)量為m=1 kg的小物塊放在傳送帶的底端A點(diǎn),小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos37°=0.8.小物塊在一沿傳送帶向上的大小為F=6N的恒定拉力作用下,使其由靜止開始沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng),當(dāng)小物塊的速度與傳送帶速度相等時(shí),撤去拉力,則當(dāng)滑塊到達(dá)傳送帶頂端時(shí),滑塊速度為多大?

圖10 例2題圖

分析開始時(shí),小物塊受到重力、彈力、摩擦力和拉力等4個(gè)力的作用,由牛頓第二定律得:F-mgsin 37°+μmgcos 37°=ma1

解得:a1=4 m/s2

由速度公式:v=a1t1,得t1=v/a1=1.0s

在此過程中,小物塊通過的位移為:

撤去拉力后,由于mgsin 37°>μmgcos 37°,小物塊做勻減速運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律得:

mgsin 37°-μmgcos 37°=ma2

解得:a2=2 m/s2

點(diǎn)評(píng)求解小物塊的速度問題,關(guān)鍵是弄清小物塊在傳送帶上的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況,由牛頓第二定律求出小物塊的加速度,再結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求小物塊的速度.

5.3 求小物塊在傳送帶上留下的痕跡長度

例3一水平傳送帶裝置如圖11所示.傳送帶的左、右兩個(gè)端點(diǎn)為A、B,AB長L=2 m,開始時(shí),傳送帶處于靜止?fàn)顟B(tài).當(dāng)質(zhì)量m=2 kg的煤塊(可視為質(zhì)點(diǎn))輕放在傳送帶A點(diǎn)時(shí),傳送帶立即啟動(dòng),啟動(dòng)過程可視為加速度a=2 m/s2的勻加速運(yùn)動(dòng),加速結(jié)束后傳送帶立即勻速運(yùn)動(dòng).已知煤塊與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力(g取10 m/s2).為了使煤塊在最短時(shí)間內(nèi)通過傳送帶,則:

圖11 例3題圖

①傳送帶至少加速多長時(shí)間?

②在此種情況下,煤塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中在傳送帶上留下的痕跡多長?

分析①為了使煤塊在最短時(shí)間內(nèi)通過傳送帶,則必須讓煤塊一直做加速運(yùn)動(dòng).煤塊在傳送帶上的加速度為:μmg=ma1,即:a1=μg=1.0 m/s2

煤塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度為:

顯然,傳送帶必須加速到2 m/s,則加速的時(shí)間為:t1=v/a=1 s

②煤塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間為:

傳送帶在加速過程中通過的路程為:

傳送帶在勻速過程中通過的路程為:

x2=vt2=2 m

則煤塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中在傳送帶上留下的痕跡長度為:

s相=x1+x2-L=1 m

例4如圖12所示,某煤礦有一傳送帶與水平地面間的夾角θ=37°,傳送帶以v=10 m/s的速率逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).在傳送帶上端A點(diǎn)靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m=1.0 g的黑色煤塊,經(jīng)過2 s運(yùn)動(dòng)到傳送帶下端B點(diǎn)并離開傳送帶,煤塊在傳送帶上留下一段黑色痕跡.已知煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5,sin37°=0.6,g=10 m/s2,求:

①傳送帶從A到B的長度;

②煤塊從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中傳送帶上形成痕跡的長度.

圖12 例4題圖

分析①開始時(shí),煤塊在重力、彈力和摩擦力的作用下做勻加速運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律得:

mgsinθ+μmgcosθ=ma1

解得:a1=10 m/s2,

由速度公式求得煤塊速度達(dá)到v=10 m/s的時(shí)間:t1=v/a1=1 s

接著,摩擦力方向發(fā)生突變,由斜向下變?yōu)樾毕蛏?由牛頓第二定律得:mgsinθ-μmgcosθ=ma2

解得:a2=2 m/s2

煤塊在第2 s內(nèi)通過的位移為:

可見,傳送帶AB間的長度為:

L=x1+x2=16 m

②煤塊速度小于傳送帶時(shí)有:

s相1=vt1-x1=5 m

煤塊速度大于傳送帶時(shí)有:s相2=x2-vt2=1 m

由于s相1>s相2,由此可知,煤塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的過程中,在傳送帶上留下的痕跡長為5 m.

點(diǎn)評(píng)痕跡問題本質(zhì)上是兩者發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題.例3中的煤塊的速度始終小于傳送帶,而例4中的煤塊,開始時(shí)煤塊速度小,后來煤塊速度大,有重復(fù)摩擦的部分,因此,在求解痕跡問題時(shí),必須弄清有沒有重復(fù)摩擦的部分.

5.4 求解組合傳送帶問題

例5隨著電子商務(wù)的迅速發(fā)展,對(duì)物流的需求急劇增加,如圖13所示是物流運(yùn)輸過程中卸貨的傳送裝置示意圖,水平部分AB和傾斜部分BC的長度均為2m,BC部分與水平面之間的夾角θ=37°.傳送帶以v=1 m/s的速度沿順時(shí)針方向勻速運(yùn)轉(zhuǎn),把包裹輕放到水平傳送帶A端,包裹經(jīng)過B端前后速度大小不變且不脫離傳送帶.已知包裹與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5,包裹放上后傳送帶速度不變.取重力加速度g=10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8.求:

①包裹到達(dá)B端時(shí)的速度大小;

②包裹從A端傳送到C端所需時(shí)間.

圖13 例5題圖

分析①包裹開始時(shí)做勻加速運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律得:a1=μg=5.0 m/s2

當(dāng)包裹的速度達(dá)到v=1 m/s時(shí),通過的位移為:

可見,包裹的速度達(dá)到v=1 m/s后做勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)B端時(shí)的速度為v=1 m/s.

②包裹在水平傳送帶上加速時(shí)間為:

t1=v/a1=0.2 s

包裹在水平傳送帶上勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:

t2=(L-x1)/v=(2-0.1)/1=1.9 s

包裹在傾斜傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí),一直做勻加速運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律得:mgsinθ-μmgcosθ=ma2

解得:a2=2.0 m/s2

可求得包裹在傾斜傳送帶上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:t3=1.0 s

可見,包裹從A端傳送到C端所需時(shí)間為:t=t1+t2+t3=3.1 s

點(diǎn)評(píng):對(duì)于組合傳送帶問題,關(guān)鍵在于弄清小物塊從一個(gè)傳送帶轉(zhuǎn)到第二個(gè)傳送帶上時(shí),其受力情況、速度等的變化情況.

5.5 求解傳送帶與板塊綜合問題

例6如圖14所示,傾斜放置的傳送帶A、B兩端長為L=0.8 m,傳送帶與水平面間的夾角為θ=37°,以v0=1 m/s的速度沿順時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng),傳送帶底端B處與放在光滑水平地面上的平板小車平滑連接(可認(rèn)為物體經(jīng)過該連接處速率不變).一小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))從傳送帶頂端A處由靜止釋放,一段時(shí)間以后,小物塊到達(dá)傳送帶底端B處,隨后滑上平板小車的上表面.小物塊的質(zhì)量m=1 kg,與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1=0.5,與平板小車上表面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2=0.4;平板小車質(zhì)量M=2 kg.最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,重力加速度g取g=10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求:

圖14 例6題圖

①小物塊運(yùn)動(dòng)到傳送帶底端B處的速度大小以及小物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;

②為保證小物塊不會(huì)從平板小車上表面滑出,平板小車的長度l應(yīng)滿足怎樣的條件?

分析①小物塊從傳送帶上剛滑下時(shí),由牛頓第二定律得:mgsinθ+μ1mgcosθ=ma1

解得:a1=10 m/s2

小物塊達(dá)到與傳送帶共速的時(shí)間為:

t1=v0/a1=0.1 s

小物塊在t1時(shí)間內(nèi)通過的位移為:

小物塊與傳送帶共速后,由于摩擦力發(fā)生突變,則其加速度將發(fā)生變化,由牛頓第二定律得:mgsinθ-μ1mgcosθ=ma2

代入數(shù)據(jù)解得:a2=2 m/s2

解得:vB=2 m/s

小物塊從共速到傳送帶B端的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:

t2=(vB-v0)/a2=0.5 s

則小物塊在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:

t=t1+t2=0.6 s

②小物塊滑上平板小車上后,由于摩擦力的作用,小物塊開始做勻減速運(yùn)動(dòng),平板小車做勻加速運(yùn)動(dòng).

對(duì)小物塊有:μ2mg=ma3,解得:a3=4 m/s2

對(duì)平板小車有:μ2mg=Ma4,解得:a4=2 m/s2

設(shè)小物塊滑上平板小車后經(jīng)時(shí)間t4與平板小車的速度相等,共速為v共,小物塊的位移為x2,平板小車的位移為x3,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得:

v共=v-a3t4=a4t4

平板小車的最小長度滿足:Lmin=x2-x3

點(diǎn)評(píng)求解傳送帶與板塊相結(jié)合的綜合問題,不僅要掌握傳送帶和板塊問題的基本解題方法,并且要注意小物塊從一種模型過渡到第二種模型時(shí),其受力情況、運(yùn)動(dòng)情況的變化特點(diǎn),同時(shí),還要注意銜接處變化特征.

6 結(jié)束語

總之,有效求解傳送帶問題,務(wù)必注意三點(diǎn):其一,要正確理解傳送帶問題的特點(diǎn);其二,要準(zhǔn)確分析小物塊與傳送帶共速時(shí),小物塊所受摩擦力的突變情況;其三,要熟練應(yīng)用相關(guān)的牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式.