例說(shuō)運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像問(wèn)題的分析與求解

■江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué) 李更磊 白利燕

運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像問(wèn)題不僅考查同學(xué)們對(duì)基本概念和基本規(guī)律的理解與應(yīng)用,而且對(duì)同學(xué)們的讀圖、識(shí)圖、畫(huà)圖、用圖的能力也提出了較高的要求。同學(xué)們?cè)谟龅竭\(yùn)動(dòng)學(xué)圖像問(wèn)題時(shí),需要認(rèn)真觀察圖像,挖掘出圖像描述的物理現(xiàn)象和物理過(guò)程,找到研究對(duì)象遵循的物理規(guī)律,建立各個(gè)物理量之間的定量關(guān)系,靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)完成物理問(wèn)題的求解。下面選取兩類典型的運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像問(wèn)題進(jìn)行分析與求解,以期能為同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考助力。

一、橫軸表示時(shí)間的圖像

橫軸表示時(shí)間的圖像描述的是縱軸物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律,常見(jiàn)的橫軸表示時(shí)間的圖像包括x-t圖像、v-t圖像和a-t圖像等。

1.x-t圖像:描述的是做直線運(yùn)動(dòng)的物體的位移x隨時(shí)間t變化的規(guī)律。觀察x-t圖像可以知道做直線運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻所處的位置,以及物體在這一位置處的速度和加速度。若x-t圖像是一條平行于橫軸的直線,則表示物體處于靜止?fàn)顟B(tài),物體的速度和加速度均為零;若x-t圖像是一條傾斜的直線,則表示物體做勻速直線運(yùn)動(dòng),直線的斜率表示物體的速度,物體的加速度為零;若x-t圖像是一條曲線,則表示物體做變速直線運(yùn)動(dòng),曲線上某點(diǎn)切線的斜率表示物體在對(duì)應(yīng)時(shí)刻的速度,曲線上各點(diǎn)切線斜率的變化反映物體速度的變化。

例1一質(zhì)量為m的物體放置在集裝箱內(nèi),物體隨集裝箱一起向上運(yùn)動(dòng),其位移x隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖1所示。物體受到集裝箱對(duì)它的支持力用N表示,物體的速度用v表示。已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間,以下說(shuō)法中正確的是( )。

圖1

A.0～t1內(nèi),v增大,N＞mg

B.t1～t2內(nèi),v增大,N＜mg

C.t2～t3內(nèi),v增大,N＜mg

D.t3～t4內(nèi),v減小,N＞mg

解析:根據(jù)x-t圖像反映物體的位移x隨時(shí)間t的變化規(guī)律,圖像的斜率表示物體的速度可知,0～t1內(nèi),物體的位移x增加,速度v增大,加速度方向向上,物體處于超重狀態(tài),則N＞mg,選項(xiàng)A 正確;t1～t2內(nèi),物體的位移x增加,速度v不變,加速度為零,物體勻速上升,則N=mg,選項(xiàng)B 錯(cuò)誤;t2～t3內(nèi),物體的位移x增加,速度v減小,加速度方向向下,物體處于失重狀態(tài),則N＜mg,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;t3～t4內(nèi),物體的位移x不變,速度為零,加速度為零,物體處于靜止?fàn)顟B(tài),則N=mg,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤。

答案:A

2.v-t圖像:描述的是做直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度v隨時(shí)間t變化的規(guī)律。觀察v-t圖像可以知道做直線運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻的速度,以及物體在這一時(shí)刻的加速度。若v-t圖像是一條平行于橫軸的直線,則表示物體做勻速直線運(yùn)動(dòng),物體的加速度為零;若v-t圖像是一條傾斜直線,則表示物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng),直線的斜率表示物體的加速度;若v-t圖像是一條曲線,則表示物體做變加速直線運(yùn)動(dòng),曲線上某點(diǎn)切線的斜率表示物體在對(duì)應(yīng)時(shí)刻的加速度,曲線上各點(diǎn)切線斜率的變化反映物體加速度的變化。

例2如圖2所示,一個(gè)光滑斜面體固定在水平地面上,輕質(zhì)彈簧的一端與足夠長(zhǎng)斜面上端的擋板相連,用手托住小球,使得小球與彈簧的另一端緊貼在一起,彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)?，F(xiàn)將小球向上移動(dòng)擠壓彈簧,使得彈簧的形變量為x,然后釋放,則如圖3所示的描述小球在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的v-t圖像中正確的是( )。

圖2

圖3

解析:將小球向上移動(dòng)擠壓彈簧,使得彈簧的形變量為x后釋放,在小球與彈簧接觸的時(shí)間內(nèi),小球受到重力和沿斜面向下逐漸減小的彈簧彈力作用,小球的速度逐漸增大,加速度逐漸減小,其v-t圖像應(yīng)為一條斜率逐漸減小的曲線;在小球與彈簧脫離的時(shí)間內(nèi),小球僅受重力作用,小球的速度繼續(xù)增大,加速度保持不變,其v-t圖像應(yīng)為一條傾斜的直線。

答案:C

3.a-t圖像:描述的是物體的加速度a隨時(shí)間t變化的規(guī)律。觀察a-t圖像可以知道物體在某一時(shí)刻的加速度,以及物體在某段時(shí)間內(nèi)速度的變化情況。若a-t圖像是一條平行于橫軸的直線,則表示物體做勻變速運(yùn)動(dòng);若a-t圖像是一條傾斜直線或曲線,則表示物體做變加速運(yùn)動(dòng),且直線的斜率或曲線上某點(diǎn)切線的斜率表示物體在對(duì)應(yīng)時(shí)刻加速度的變化率。

例3一輛汽車由靜止開(kāi)始沿平直公路運(yùn)動(dòng),其加速度a隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖4所示,以下說(shuō)法中正確的是( )。

圖4

A.0～t0內(nèi),汽車的平均速度為a0t0

B.第2t0末,汽車的速度為

C.t0～2t0內(nèi),汽車的位移大于

D.0～2t0內(nèi),汽車的位移等于a0t20

解析:根據(jù)a-t圖像可知,0～t0內(nèi),汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng),末速度v1=a0t0,平均速度,選項(xiàng)A 錯(cuò)誤。根據(jù)a-t圖像與橫軸圍成的面積表示速度的變化量可知,0～2t0內(nèi),汽車速度的變化量Δv=a0t0+,因此第2t0末汽車的速度,選項(xiàng)B 正確。作出對(duì)應(yīng)的v-t圖像如圖5所示,根據(jù)v-t圖像與橫軸圍成的面積表示位移可知,t0～2t0內(nèi),汽車的位移x2＞,選項(xiàng)C正確;0～2t0內(nèi),汽車的位移,選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

圖5

答案:BC

二、橫軸表示位移的圖像

橫軸表示位移的圖像描述的是縱軸物理量隨位移變化的規(guī)律,常見(jiàn)的橫軸表示位移的圖像包括v-x圖像和a-x圖像等。

1.v-x圖像:描述的是物體的速度v隨位移x變化的規(guī)律。根據(jù)v-x圖像的斜率可知,物體的加速度a=kv,即v-x圖像的斜率和物體速度的變化共同決定物體的加速度。

例4一輛轎車和一輛貨車在同一地點(diǎn),同一時(shí)刻,沿相同方向做直線運(yùn)動(dòng)。轎車做初速度為零,加速度大小為a1的勻加速運(yùn)動(dòng);貨車做初速度v0=6 m/s,加速度大小為a2的勻減速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)至速度減小為零后保持靜止?fàn)顟B(tài)。轎車和貨車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度—位移圖像如圖6所示。下列說(shuō)法中正確的是( )。

圖6

A.貨車從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至停止的過(guò)程中發(fā)生的位移為18 m

B.兩車同時(shí)到達(dá)x=6 m 處

C.從兩車開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至貨車停止的過(guò)程中,兩車之間的最大距離為18 m

D.從兩車開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至貨車停止的過(guò)程中,兩車之間的最大距離為6 m

解析:根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知,轎車的位移與速度的關(guān)系式為v21=2a1x1,變形得;貨車的位移與速度的關(guān)系式為v22-v20=-2a2x2,變形得結(jié)合v-x圖像可得,當(dāng)v1=v2時(shí),=6 m;當(dāng)x1=x2(x1、x2大于6 m)時(shí),v1=8 m/s,v2=2 m/s,即聯(lián)立以上各式解得a1=2 m/s2,a2=1 m/s2。貨車從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至停止的過(guò)程中發(fā)生的位移,選項(xiàng)A 正確。根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式可得,轎車到達(dá)x=6 m 處所用的時(shí)間t1滿足關(guān)系式x=,解得t1= 6 s;貨車到達(dá)x=6 m 處所用的時(shí)間t2滿足關(guān)系式解得舍去]。因?yàn)閠1＞t2,所以貨車先到達(dá)x=6 m處,選項(xiàng)B錯(cuò)誤。當(dāng)兩車速度相等時(shí),兩車之間的距離最大,根據(jù)a1t=v0-a2t,解得t=2 s,則兩車之間的最大距離Δx=v0t-,選項(xiàng)C錯(cuò)誤,D 正確。

答案:AD

2.a-x圖像:描述的是物體的加速度a隨位移x變化的規(guī)律。觀察a-x圖像縱坐標(biāo)的變化情況可以知道物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度的變化情況,確定物體是做勻變速運(yùn)動(dòng)還是非勻變速運(yùn)動(dòng);將勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與速度的關(guān)系式v2-v20=2ax變形得ax=,因此a-x圖像與橫軸圍成的面積的2倍表示物體在做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中速度平方的變化量。

例5位于水平桌面上的物體在水平外力F的作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng),以物體靜止時(shí)所處的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以外力F的方向?yàn)檎较蚪軸,則物體的加速度a隨位移x的變化規(guī)律如圖7所示。下列說(shuō)法中正確的是( )。

圖7

A.當(dāng)物體的位移為x1時(shí),物體的速度大小為

B.當(dāng)物體的位移為x2時(shí),物體的速度達(dá)到最大

D.在0～x2的過(guò)程中物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng),在x2～x3的過(guò)程中物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)

解析:根據(jù)a-x圖像與橫軸圍成的面積的2倍表示物體在做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中速度平方的變化量可得,當(dāng)物體的位移為x1時(shí),物體的速度大小v1滿足關(guān)系式v21=2a0x1,解得,選項(xiàng)A 正確。因?yàn)閍-x圖像與橫軸圍成的面積最大時(shí),物體的末速度最大,所以當(dāng)物體的位移為x3時(shí),物體的速度達(dá)到最大,且最大速度vmax=選項(xiàng)B錯(cuò)誤,C正確。觀察a-x圖像可知,在0～x2的過(guò)程中,物體的加速度恒定,物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng),在x2～x3的過(guò)程中,物體的加速度逐漸減小,物體做變加速直線運(yùn)動(dòng),選項(xiàng)D 錯(cuò)誤。

答案:AC

運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像的形式多樣,變化多端,解決運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像問(wèn)題的依據(jù)是基本的物理規(guī)律和物理方法,解決運(yùn)動(dòng)學(xué)圖像問(wèn)題的基本步驟是觀察圖像,弄清縱、橫軸表示的物理量→根據(jù)物理規(guī)律推導(dǎo)縱、橫軸表示的物理量之間的函數(shù)關(guān)系式→結(jié)合圖像的斜率、截距、交點(diǎn)、面積等表示的物理意義列出關(guān)系式→解對(duì)應(yīng)關(guān)系式回答相關(guān)問(wèn)題。