真問(wèn)題、真探究，讓小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)走向深入

胡本焱

圓柱體是小學(xué)生最為困擾的數(shù)學(xué)知識(shí)，除了計(jì)算復(fù)雜之外，還有題型豐富、變式多樣等難點(diǎn)。解決相關(guān)問(wèn)題，學(xué)生面臨的難度較大，其主要原因是對(duì)圓柱體特征的認(rèn)識(shí)和理解不到位。對(duì)此，筆者希望通過(guò)設(shè)計(jì)真問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展真探究，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)有深度的學(xué)習(xí)。

對(duì)教學(xué)活動(dòng)的初步設(shè)想與反思

為實(shí)現(xiàn)上述教學(xué)目標(biāo)，筆者開(kāi)展了一次圓柱體側(cè)面展開(kāi)圖的探究活動(dòng)：

探究活動(dòng)1：卷出側(cè)面

請(qǐng)用一張長(zhǎng)方形紙卷出各種立體圖形。說(shuō)說(shuō)每個(gè)立體圖形的側(cè)面與長(zhǎng)方形紙有什么關(guān)系，如何求側(cè)面積。

探究活動(dòng)2：剪出側(cè)面

準(zhǔn)備多個(gè)紙圓柱體側(cè)面，沿高剪開(kāi)、沿斜線剪開(kāi)、沿任意曲線剪開(kāi)，展開(kāi)后是什么樣子？有什么共同特征嗎？剪完后，給它們來(lái)個(gè)大合影，并試著找找，你發(fā)現(xiàn)了什么？

探究活動(dòng)3：創(chuàng)造側(cè)面

想象一下圓柱體的側(cè)面展開(kāi)圖還可能是什么圖形？把它設(shè)計(jì)出來(lái)，然后動(dòng)手卷一下，看看能卷成圓柱體嗎？

該教學(xué)策略符合小學(xué)生空間觀念的特點(diǎn)——注重直觀、注重活動(dòng)性，從操作中增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)，促進(jìn)空間觀念的形成。然而對(duì)于圓柱體的側(cè)面展開(kāi)圖、二維平面與三維空間，學(xué)生往往難以理解其對(duì)應(yīng)關(guān)系。這使筆者陷入了思考。目前流行培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的教學(xué)策略，大體有眼睛觀察、頭腦想象、動(dòng)手操作三大法寶。但現(xiàn)實(shí)教學(xué)中往往出現(xiàn)以下誤區(qū)——

過(guò)于重視形式多樣，缺乏問(wèn)題引領(lǐng)。多樣的形式能幫助學(xué)生較好形成形體特征的表象，突出形體的本質(zhì)屬性。但如果形式的背后缺乏核心問(wèn)題、真問(wèn)題和深問(wèn)題的引領(lǐng)，學(xué)習(xí)就會(huì)停留于表面。

過(guò)于依賴(lài)直觀操作，缺乏思維深度。直觀操作的價(jià)值在于增強(qiáng)對(duì)形體特征的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)，是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要教學(xué)策略之一。但正如南京大學(xué)教授鄭毓信所說(shuō)，如果我們的教學(xué)止于“直觀操作”，沒(méi)有更加深入的思考，學(xué)生始終停留在較低的發(fā)展水平，是一種“要不得的”教學(xué)。例如前文的三個(gè)探究活動(dòng)，看似層層遞進(jìn)，但始終脫離不了直觀操作，缺乏有深度的思考，因而學(xué)生的探究容易陷入盲目。

過(guò)于追求內(nèi)容寬泛，缺乏相互聯(lián)系。前文的探究活動(dòng)突出圓柱體與已學(xué)直柱體之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，在探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)過(guò)程中貪多求全，看似有“聯(lián)”，卻丟了本質(zhì)。過(guò)于關(guān)注細(xì)枝末節(jié)，卻忽視了知識(shí)“主干”。

設(shè)計(jì)真問(wèn)題，展開(kāi)真探究

一是理清核心點(diǎn)，設(shè)計(jì)真問(wèn)題。核心問(wèn)題來(lái)源于核心知識(shí)。圓柱體特征的認(rèn)識(shí)和描述是本單元的主體內(nèi)容，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供知識(shí)基礎(chǔ)和思維方式，具有統(tǒng)領(lǐng)作用。從課時(shí)目標(biāo)來(lái)看，學(xué)生是首次從教學(xué)的角度認(rèn)識(shí)曲面，與長(zhǎng)方體等棱柱體有著本質(zhì)的不同，如果我們認(rèn)識(shí)不到這一點(diǎn)，就無(wú)法挖掘出真問(wèn)題?；谝陨系恼J(rèn)識(shí)，筆者重構(gòu)了“探究活動(dòng)1”。

【重構(gòu)】探究活動(dòng)1：

我們知道一張長(zhǎng)方形紙橫著卷或者豎著卷，都可以卷成一個(gè)圓柱體。那么一張平行四邊形的紙也可以嗎？動(dòng)手試一試，并試著說(shuō)說(shuō)其中的道理吧。

從知識(shí)的本質(zhì)來(lái)講，圓柱體的特征是下位的。從思維層面來(lái)講，圓柱體的特征是上位的，具有高度的概括性。當(dāng)一個(gè)形狀能卷成圓柱體，那它一定能折成長(zhǎng)方體等其他棱柱體。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，將一個(gè)平行四邊形折成長(zhǎng)方體，是有一定困難的，但如果先卷成圓柱體，再折成長(zhǎng)方體就簡(jiǎn)單多了。這就是圓柱體有別于其他直柱體的地方，賦予了圓柱體核心知識(shí)的地位。針對(duì)這一核心知識(shí)，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)真問(wèn)題——平行四邊形可以通過(guò)兩種不同方向卷成圓柱體嗎？并說(shuō)說(shuō)其中的道理。學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，反復(fù)琢磨，逐步形成空間觀念。

有學(xué)生說(shuō)：“我們以前在研究平行四邊形面積的時(shí)候，就是把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的。長(zhǎng)方形可以卷成圓柱體，平行四邊形也是可以的。”學(xué)生能夠回憶起與之相關(guān)的知識(shí)，并把它們聯(lián)系起來(lái)。用“轉(zhuǎn)化”的思路來(lái)理解知識(shí)之間的聯(lián)系，這正是學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)基本思想的體現(xiàn)，這一過(guò)程也有效提升了學(xué)生思維的深刻性。

二是圍繞思維點(diǎn)，開(kāi)展真探究。荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾說(shuō)過(guò)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法就是實(shí)行“再創(chuàng)造”。學(xué)生通過(guò)教師的教學(xué)，除了對(duì)原有知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行“再加工”，更重要的是對(duì)知識(shí)背后的思想方法進(jìn)行建構(gòu)。數(shù)學(xué)深度教學(xué)的一個(gè)基本要求就是一定要“講道理”。

原來(lái)的“探究活動(dòng)2”中對(duì)于能卷成圓柱體側(cè)面的一些圖形，盡管也讓學(xué)生去思考這些圖形的共同點(diǎn)，但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)難度很大，不少學(xué)生表示：“是個(gè)怪怪的圖形”“不知道是一個(gè)什么圖形”“除了長(zhǎng)方形，其他的都不是我們學(xué)過(guò)的軸對(duì)稱(chēng)圖形”。小學(xué)階段不要求講授中心對(duì)稱(chēng)圖形的知識(shí)，如果教師回避這一知識(shí)，就失去了“講道理”的機(jī)會(huì)。實(shí)際上，教師無(wú)須講解中心對(duì)稱(chēng)的概念，只需給學(xué)生提供一個(gè)小小的“支架”即可。筆者將“探究活動(dòng)2”重構(gòu)，圍繞“能卷成圓柱體側(cè)面的這些圖形的共同特征”這一思維點(diǎn)，給學(xué)生提供探究的路徑和方法，找到這些圖形共同的特質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，有效提升學(xué)生的思維發(fā)展水平。

【重構(gòu)】探究活動(dòng)2：剪出側(cè)面

準(zhǔn)備多個(gè)紙圓柱體側(cè)面，沿高剪開(kāi)、沿斜線剪開(kāi)、沿任意曲線剪開(kāi)，展開(kāi)后會(huì)是什么樣子？

把這些圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，看看它們有什么共同特征？

這里沒(méi)有強(qiáng)調(diào)繞“中心點(diǎn)”。從實(shí)際的教學(xué)效果來(lái)看，學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)“通過(guò)這樣的變換之后，圖形跟原來(lái)一樣”。

三是聚焦聯(lián)系點(diǎn)，促進(jìn)深度學(xué)。南京大學(xué)教授鄭毓信給數(shù)學(xué)教師的一個(gè)建議是：“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)?！睌?shù)學(xué)課堂要追求少而精，只有這樣，師生才有更多的時(shí)間，對(duì)核心知識(shí)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)。教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該突出圖形之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，運(yùn)用比較的方法，立足整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生有深度的學(xué)習(xí)。圓柱體的特征是引導(dǎo)學(xué)生探究立體圖形與立體圖形之間、平面圖形與立體圖形之間轉(zhuǎn)化的最好素材，可以有效促進(jìn)學(xué)生的幾何思維水平發(fā)展。據(jù)此，筆者重構(gòu)“探究活動(dòng)3”，其思路是從平面到立體再到平面。

【重構(gòu)】探究活動(dòng)3：創(chuàng)造側(cè)面

準(zhǔn)備一張長(zhǎng)方形紙，用紅筆畫(huà)出一條對(duì)角線。

把這張長(zhǎng)方形紙卷成圓柱體（紅線朝外），并粘貼連接處。

用剪刀沿著紅線把圓柱體剪開(kāi)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

重構(gòu)之后的“探究活動(dòng)3”既是對(duì)“探究活動(dòng)1”的驗(yàn)證和拓展，也是對(duì)“探究活動(dòng)2”的補(bǔ)充。該活動(dòng)還可以繼續(xù)下去，當(dāng)學(xué)生沿著紅線剪開(kāi)之后，得到一個(gè)平行四邊形，再用藍(lán)線畫(huà)出它的對(duì)角線，同樣按照剛才的步驟把剪開(kāi)的圓柱體再次粘貼好，然后沿著藍(lán)線剪開(kāi)，又得到了一個(gè)平行四邊形……這樣操作幾次，學(xué)生對(duì)于把較短邊作為圓柱體底面周長(zhǎng)的平行四邊形卷成圓柱體就不陌生了。此番操作有利于發(fā)展學(xué)生空間想象能力，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)技能和思想方法上的提升。

深度教學(xué)與淺層次教學(xué)相對(duì)立，是為了讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。教師應(yīng)該努力吃透教材、琢磨習(xí)題意圖、了解學(xué)生特點(diǎn)，本著實(shí)踐、反思和批判的精神，從實(shí)踐中去尋找問(wèn)題、解決問(wèn)題，對(duì)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行反思和批判，從而設(shè)計(jì)核心問(wèn)題，開(kāi)展有意義的探究活動(dòng)，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)鋪路搭橋。