記憶性洪災(zāi)模型及其債券定價(jià)

張節(jié)松，張 勇

（淮北師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

我國(guó)大約有2/3的國(guó)土面積遭受過(guò)不同程度的洪澇災(zāi)害.洪災(zāi)的發(fā)生常常帶來(lái)超幾百億元的巨額損失，單純依靠政府的無(wú)償賑災(zāi)與救濟(jì)，不僅加重政府財(cái)政負(fù)擔(dān)，也不利于災(zāi)后恢復(fù)效率的提高，迫切需要新型的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移方式.我國(guó)的國(guó)家突發(fā)事件應(yīng)急體系建設(shè)“十三五”規(guī)劃明確指出，要加快推進(jìn)巨災(zāi)保險(xiǎn)制度，推動(dòng)地震巨災(zāi)保險(xiǎn)立法進(jìn)程，逐步形成多層次的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)分散機(jī)制.

當(dāng)前巨災(zāi)模型探究中，通常采用傳統(tǒng)的泊松過(guò)程刻畫(huà)其發(fā)生次數(shù)［1-4］.眾所周知，泊松過(guò)程是無(wú)記憶的隨機(jī)過(guò)程，其指數(shù)等待時(shí)間具有馬爾可夫特性［5-7］.Lin等［8］指出，以往大多數(shù)研究采用的泊松過(guò)程似乎不足以描述災(zāi)難性事件達(dá)到的過(guò)程，巨災(zāi)損失分布具有厚尾特征［9］.Saichev等［10］引入Kolmogorov-Feller等式的分?jǐn)?shù)推廣，并對(duì)其求解進(jìn)行分析，提出分?jǐn)?shù)等待時(shí)間分布函數(shù).Mainardi等［11］指出，分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程可捕獲非指數(shù)等待時(shí)間分布經(jīng)驗(yàn)的長(zhǎng)期記憶.Repin等［12］考慮一個(gè)具有隨機(jī)強(qiáng)度的泊松過(guò)程，其中跳躍之間的間隔分布由具有分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的等式描述.Laskin［13］以Kolmogorov-Feller方程的分?jǐn)?shù)推廣為基礎(chǔ)，提出一種分?jǐn)?shù)非馬爾可夫泊松隨機(jī)過(guò)程，即分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程.Cahoy等［14］給出分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程等待時(shí)間的參數(shù)估計(jì).Wang等［15］對(duì)復(fù)合分?jǐn)?shù)階泊松過(guò)程進(jìn)行深入研究，給出復(fù)合分?jǐn)?shù)階泊松過(guò)程的參數(shù)估計(jì).Zhang［16］則將復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程應(yīng)用于保險(xiǎn)實(shí)務(wù)，研究最優(yōu)分層再保險(xiǎn)問(wèn)題.

受前述研究的啟發(fā)，本文利用分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程擬合洪災(zāi)損失次數(shù)，捕捉洪澇災(zāi)害等待時(shí)間的長(zhǎng)期記憶性特征，并根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，構(gòu)建一個(gè)記憶性洪災(zāi)定價(jià)模型，以期更好地?cái)M合洪災(zāi)實(shí)際，并揭示記憶性特征對(duì)債券價(jià)格的影響.

1 洪澇災(zāi)害損失次數(shù)的擬合

本文數(shù)據(jù)主要來(lái)源于中華人民共和國(guó)水利部頒布的《中國(guó)水旱災(zāi)害公報(bào)》整理所得（在線主頁(yè)http：//www.mwr.gov.cn/sj/）.選取中國(guó)大陸地區(qū)從2006年1月1日至2018年12月31日洪澇災(zāi)害造成的直接經(jīng)濟(jì)損失為研究對(duì)象，共計(jì)89個(gè)洪澇災(zāi)害損失樣本.以半年為單位，統(tǒng)計(jì)半年內(nèi)洪澇災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)，總共26個(gè)樣本.根據(jù)洪澇災(zāi)害的原始數(shù)據(jù)，編制中國(guó)大陸地區(qū)洪澇次數(shù)的頻數(shù)和頻率分布表（如表1所示）和經(jīng)驗(yàn)累計(jì)分布函數(shù)圖（如圖1所示）.

表1 洪澇次數(shù)的頻數(shù)和頻率分布

圖1 洪澇災(zāi)害次數(shù)的經(jīng)驗(yàn)累計(jì)分布函數(shù)圖

1.1 洪澇災(zāi)害次數(shù)的泊松過(guò)程檢驗(yàn)

假設(shè)H0：半年內(nèi)洪澇災(zāi)害次數(shù)X服從參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，其分布函數(shù)為：

記Xi表示半年內(nèi)洪澇災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)；fi表示實(shí)際發(fā)生洪澇災(zāi)害次數(shù)的頻數(shù)，pi表示理論發(fā)生洪澇災(zāi)害次數(shù)的概率，i=1,2,…,8.

表2 樣本數(shù)據(jù)校正卡方值檢驗(yàn)

1.2 洪澇災(zāi)害次數(shù)的分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程檢驗(yàn)

假設(shè)H′0:半年內(nèi)洪澇災(zāi)害次數(shù)Nv(t)是服從參數(shù)為v的Mittag-Leffler型分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程，其分布函數(shù)為:

表3 樣本數(shù)據(jù)校正卡方值檢驗(yàn)

1.3 擬合效果比較及模型的確定

進(jìn)一步，借鑒Lin等［8］4個(gè)擬合全局度量的方法，比較泊松過(guò)程和分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程，計(jì)算結(jié)果如表4所示.

表4 全局?jǐn)M合誤差度量

其中，ΔAPE、ΔAAE、ΔARPE和ΔRMSE分別是對(duì)平均百分位誤差（APE）、平均絕對(duì)誤差（AAE）、平均相對(duì)百分位誤差（ARPE）和相對(duì)均值平方誤差（RMSE）的度量，計(jì)算公式為：

PR表示洪澇次數(shù)的實(shí)際頻數(shù)，PT是洪澇次數(shù)的理論頻數(shù).

由表4可知，分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程的4個(gè)擬合全局度量值均小于泊松過(guò)程，這就意味著分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程比泊松過(guò)程更適合洪澇災(zāi)害債券定價(jià)時(shí)的洪澇次數(shù)的擬合.因此，選取分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程作為中國(guó)大陸地區(qū)洪澇損失過(guò)程.中國(guó)大陸地區(qū)洪澇災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)服從下列分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程：

其中Γ(x)為伽馬函數(shù).

2 洪澇災(zāi)害債券定價(jià)

瑞士再保險(xiǎn)研究院發(fā)布的《經(jīng)濟(jì)積累和氣候變化時(shí)期的自然災(zāi)害》報(bào)告顯示，2019年保險(xiǎn)業(yè)的賠付中，全球保險(xiǎn)業(yè)賠付自然災(zāi)害和人為災(zāi)害造成1 460億美元經(jīng)濟(jì)損失的40%左右.而目前，中國(guó)保險(xiǎn)業(yè)在自然災(zāi)害中的賠付比例僅為10%左右.由此可見(jiàn)，我國(guó)保險(xiǎn)市場(chǎng)迫切需要更加有效風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的方式.

保險(xiǎn)連接債券連通保險(xiǎn)市場(chǎng)和資本市場(chǎng)，借用資本市場(chǎng)分散保險(xiǎn)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn).此外，巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)債券具有無(wú)信用風(fēng)險(xiǎn)和增加保險(xiǎn)公司承保能力的優(yōu)點(diǎn).發(fā)行巨災(zāi)債券的關(guān)鍵是科學(xué)的定價(jià)，因此更貼合實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)模型為合理定價(jià)提供理論基礎(chǔ).下面對(duì)記性洪災(zāi)模型進(jìn)行定價(jià)，并與無(wú)記憶性進(jìn)行比較.

2.1 記憶性洪災(zāi)定價(jià)模型的建立

記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格的定價(jià)模型是采用考慮記憶參數(shù)v的Mittag-Leffler分布擬合巨災(zāi)的等待時(shí)間分布，其代替?zhèn)鹘y(tǒng)巨災(zāi)債券定價(jià)模型中的指數(shù)分布.此外，記憶性洪災(zāi)定價(jià)模型通過(guò)復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程來(lái)刻畫(huà)洪澇災(zāi)害的抵達(dá)過(guò)程，并能捕捉其發(fā)生時(shí)間間隔的記憶性特征.本文根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，證券在時(shí)間內(nèi)的價(jià)格等于到期損益在唯一等值鞅測(cè)度下的期望折現(xiàn)值［18］.借鑒Vaugirard［19］使用的計(jì)算到期損益的方法.面值為F和期限為T(mén)的零息票債券在時(shí)刻t的價(jià)格為：

2.2 洪澇災(zāi)害債券價(jià)格確定

為獲得不同期限的記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格，需要進(jìn)行參數(shù)賦值.將本金損失比例w=1,0.5,0，一年期T=1、兩年期T=2和三年期T=3，面值F=100，Mittag-Leffler分布的參數(shù)v=0.133，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=2%,記憶性洪災(zāi)債券數(shù)據(jù)分別代入式（4）、式（5）和式（6）中進(jìn)行定價(jià)，如圖2所示.

圖2 不同期限記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格

由圖2可知，記憶性洪災(zāi)債券的本金損失比例越低，債券價(jià)格越高.隨著債券期限越長(zhǎng)，本金沒(méi)收型債券的價(jià)格越高，因?yàn)槿昶趥L(fēng)險(xiǎn)更大一些.但是本金50%保證型債券和本金保證型債券隨著期限增加而降低.這些是符合市場(chǎng)運(yùn)行規(guī)律.

2.3 洪澇災(zāi)害債券價(jià)格比較

本文將洪澇災(zāi)害發(fā)生時(shí)間分別代入服從指數(shù)分布和Mittag-Leffler分布進(jìn)行債券定價(jià)，假設(shè)債券面值F=100，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=2%，本金損失比例選取w=0.5和w=1，得到無(wú)記憶性洪災(zāi)債券和記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格，如表5所示.由表5可以看出，傳統(tǒng)采用指數(shù)分布進(jìn)行的無(wú)記憶性債券定價(jià)價(jià)格較高，且不受本金損失比例變化的影響.與傳統(tǒng)的無(wú)記憶性債券相比，記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格隨著本金損失比例的增加而降低，且期限越長(zhǎng)債券價(jià)格有所下降.

表5 記憶性和無(wú)記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格表

3 結(jié)語(yǔ)

我國(guó)是洪澇災(zāi)害頻發(fā)的發(fā)展中國(guó)家，能否補(bǔ)償洪澇災(zāi)害所造成的損失對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有很重要的作用.在分散巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)和補(bǔ)償巨災(zāi)損失方面，巨災(zāi)保險(xiǎn)證券化起著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).因此，通過(guò)發(fā)行更加合理的洪澇災(zāi)害債券符合當(dāng)前發(fā)展的迫切需要.

本文通過(guò)對(duì)洪澇災(zāi)害損失次數(shù)進(jìn)行卡方檢驗(yàn)和4個(gè)全局度量的比較，得出采用分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程模擬洪澇災(zāi)害的次數(shù)分布更優(yōu)，并利用Mittag-Leffler分布擬合洪澇災(zāi)害的等待時(shí)間，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理給出記憶性洪災(zāi)債券的價(jià)格.考慮非指數(shù)等待時(shí)間分布的分?jǐn)?shù)泊松過(guò)程更好地?cái)M合次數(shù)分布，這為準(zhǔn)確地評(píng)估洪澇債券定價(jià)提供一定基礎(chǔ).通過(guò)對(duì)比傳統(tǒng)的無(wú)記憶性洪災(zāi)債券定價(jià)，發(fā)現(xiàn)記憶性洪災(zāi)債券定價(jià)更加合理.本文僅對(duì)洪澇災(zāi)害債券做初步設(shè)計(jì)，關(guān)于其他類(lèi)型的巨災(zāi)債券定價(jià)還需要進(jìn)一步的研究.