概念圖和R語言在隨機過程課程教學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用

唐風(fēng)琴，王曉雨，司雨晨，安佰玲，吳 松

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

隨機過程作為概率論的一個重要分支，它是研究隨機現(xiàn)象隨時間變化規(guī)律性的數(shù)學(xué)理論.隨機過程具有深刻的實際應(yīng)用背景，廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟、信息、生物、計算機及其他工程技術(shù)領(lǐng)域中［1-2］.該課程是統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的一門主干課程，是概率論、測度論、數(shù)學(xué)分析等基礎(chǔ)課程的動態(tài)延伸，也是時間序列和數(shù)理金融等后續(xù)課程的重要基礎(chǔ).作為集抽象性、科學(xué)性和應(yīng)用性等特征為一體的數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程，學(xué)生普遍反映隨機過程的理論晦澀難懂，解決實際問題能力不高，導(dǎo)致學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)主動性，學(xué)習(xí)效果不甚理想.基于此，如何使學(xué)生在有限的課堂教學(xué)時間內(nèi)掌握豐富的隨機過程知識并能應(yīng)用于實際是諸多教師追求的目標.已有部分一線教師對隨機過程課程的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)改革等方面進行研究，比如基于案例教學(xué)的角度探討隨機過程教學(xué)設(shè)計問題［3-4］，從精選教材、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、提高學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新教學(xué)等方面討論隨機過程課程的教學(xué)改革［5-7］.本文通過問卷調(diào)查進一步分析學(xué)生學(xué)習(xí)該課程過程中存在的主要問題，并針對這些問題提出運用概念圖輔助教學(xué)設(shè)計，并利用R語言等統(tǒng)計軟件可視化一些抽象的概念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)能力，優(yōu)化教學(xué)效果.

1 隨機過程課程教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查

為給隨機過程課程的教學(xué)研究提供有價值的參考，對淮北師范大學(xué)2017級和2018級統(tǒng)計學(xué)專業(yè)學(xué)生展開問卷調(diào)查，該問卷包含4個方面內(nèi)容：隨機過程課程學(xué)習(xí)的整體評估、隨機過程學(xué)習(xí)過程中存在問題、隨機過程的教學(xué)評價及該課程改進的意見和建議.其中第一部分重點調(diào)查學(xué)生對于這門課程難易程度等整體的認知，共設(shè)計5個問題；第二部分調(diào)查著重分析學(xué)生在隨機過程過程學(xué)習(xí)中的盲區(qū)，問卷設(shè)計的問題具體到哪部分章節(jié)的概念抽象難懂、需要補充哪些專業(yè)知識等；第三部分內(nèi)容調(diào)查學(xué)生對目前或者是已經(jīng)學(xué)習(xí)過的隨機過程課程教學(xué)的評價，包括對教師上課使用的輔助教學(xué)工具的滿意度、對啟發(fā)式或討論式教學(xué)的認知等；第四部分是開放式調(diào)查，旨在了解學(xué)生期待的課堂教學(xué)方式和課后學(xué)習(xí)方式，對目前的隨機過程提出意見和建議.前3部分內(nèi)容均以單選或多選題的形式設(shè)計問題，第四部分以簡答為主.問卷在“問卷星”后臺進行發(fā)放與回收，數(shù)據(jù)處理借助“問卷星”統(tǒng)計和SPSS軟件進行統(tǒng)計，本次共發(fā)放問卷110份，回收有效問卷100份.

從收集的數(shù)據(jù)上看，大部分學(xué)生認為隨機過程課程難度系數(shù)大，僅有2%的學(xué)生認為該門課程簡單，3%的學(xué)生認為該門課程比較簡單，22%的學(xué)生認為該課程難度一般，54%的學(xué)生認為比較困難，認為該課程非常困難的學(xué)生占19%，這些數(shù)據(jù)再次表明該課程難度系數(shù)大.在學(xué)習(xí)該課程感到困難的學(xué)生中進一步分析其學(xué)習(xí)難點，設(shè)計4個選項（可多選），包括基礎(chǔ)知識比較薄弱、基本概念晦澀難懂、知識無法融會貫通和例子缺乏可操作性，具體結(jié)果如表1所示.針對當(dāng)前隨機過程課程教學(xué)現(xiàn)狀，對學(xué)生期待的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式也做調(diào)查分析（多項選擇），結(jié)果如表2所示.

表1 隨機過程學(xué)習(xí)中困難點的頻率分析

表2 希望教師增加相關(guān)知識的頻率分析

調(diào)查問卷的數(shù)據(jù)表明部分同學(xué)學(xué)習(xí)隨機過程課程確實存在困難，同時學(xué)生非常清楚欠缺之處，比如24.9%被調(diào)查學(xué)生認為基本概念晦澀懂，26.4%認為知識點多，無法融會貫通.被調(diào)查學(xué)生對現(xiàn)有的隨機過程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式也提出意見和建議，比如他們希望在教學(xué)過程運用理論知解決實際問題，并能用統(tǒng)計軟件模擬案例；希望利用概念圖繪制知識點網(wǎng)絡(luò)圖，聯(lián)立新舊知識，呈現(xiàn)概念的整合過程；期望在以教師講授為主的課堂教學(xué)增加有效的師生互動等等.基于此，本文首先討論通過概念圖來輔助理論教學(xué)，將教學(xué)過程中零碎的知識點系統(tǒng)化，便于學(xué)生整體把握知識框架；其次，利用R語言將難以理解的概念、案例轉(zhuǎn)化為直觀的、易于理解的內(nèi)容，并鼓勵學(xué)生自己設(shè)置參數(shù)甚至設(shè)計簡單程序更直觀更深刻地理解隨機過程中的基本概念，達到師生互動提高課堂教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性.

2 概念圖在隨機過程教學(xué)中的應(yīng)用

近年來，概念圖在各專業(yè)學(xué)科教學(xué)中得到廣泛應(yīng)用［8-11］，概念圖是用來組織和表征知識點間關(guān)系的工具，旨在改變傳統(tǒng)教學(xué)的機械式學(xué)習(xí)，實踐教學(xué)表明，利用概念圖可以幫助學(xué)生形成系統(tǒng)性、層次清晰的知識結(jié)構(gòu)，將枯燥的學(xué)習(xí)變?yōu)橛幸饬x的學(xué)習(xí)［12-13］.隨機過程課程知識點較為零碎，調(diào)查問卷結(jié)果也表明學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難以構(gòu)建完整的知識體系，短時間內(nèi)難易消化和理解這些知識點，削弱教學(xué)效果.因此，在隨機過程教學(xué)過程中利用概念圖輔助教學(xué)是非常必要的.

以中國人民大學(xué)出版社的“應(yīng)用隨機過程”的第三章泊松過程為例構(gòu)建概念圖.泊松過程是最基本的隨機過程之一，本章結(jié)束后，教師應(yīng)以齊次泊松過程為核心，從其成立的條件、具有的特性、實際應(yīng)用及其推廣出發(fā)創(chuàng)建概念圖，引導(dǎo)學(xué)生明確關(guān)鍵知識點及其延伸范疇，逐步把相關(guān)概念進行組合，構(gòu)建本章的整體知識構(gòu)架，最終得到圖1所示的概念圖.該圖明確各基本概念之間的關(guān)系及其特征，層次清晰，利于學(xué)生對泊松過程這一章相關(guān)知識點的理解.

期末的復(fù)習(xí)階段是非常關(guān)鍵的教學(xué)環(huán)節(jié)，“應(yīng)用隨機過程”一書介紹泊松過程、更新過程、馬爾科夫過程、鞅和布朗運動等常見的隨機過程，知識點非常豐富，利用概念圖將各類隨機過程串聯(lián)便于學(xué)生復(fù)習(xí)記憶.基于隨機過程，從其2個子類——平穩(wěn)隨機過程和獨立增量過程拓展，圖2給出隨機過程的概念圖，該圖簡潔明了地刻畫幾類常見的隨機過程之間的特征及相互關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)自己的知識結(jié)構(gòu)再對具體的隨機過程構(gòu)建更詳細的知識點層次結(jié)構(gòu)，比如圖1所示的泊松過程的概念圖.在構(gòu)建概念圖的過程中教師應(yīng)鼓勵學(xué)生以小組討論和課堂展示等多種形式進行，構(gòu)建概念圖是一種開放性的學(xué)習(xí)過程，對同一教學(xué)主題沒有絕對的標準圖例，學(xué)生通過反復(fù)討論完成的概念圖會很有成就感.

圖1 泊松過程概念圖

圖2 常見隨機過程的概念圖

3 R語言在隨機過程教學(xué)中的應(yīng)用

隨機過程理論性強、抽象性高，實際教學(xué)和調(diào)查報告均顯示學(xué)生在基本概念的理解和實際應(yīng)用上有所欠缺.研究表明，在教學(xué)中對抽象的數(shù)學(xué)概念引入可視化演示，有助于對內(nèi)容的理解［14-15］.鑒于R語言簡單易學(xué)、功能強大且開源等優(yōu)勢，本文利用R語言以泊松過程中3個基本概念為例演示可視化在實踐教學(xué)中的重要性.

由圖1可知，齊次泊松過程{N(t),t≥0}的2個重要推廣是非齊次泊松過程{M(t),t≥0}和復(fù)合泊松過程{X(t),t≥0}，其中復(fù)合泊松過程在保險金融中有廣泛的應(yīng)用背景.從定義上看，M(t)是將N(t)中的強度函數(shù)γ推廣為t的函數(shù)γ(t)，而，其中隨機變量序列獨立同分布且與[N](t)獨立.因此，只有在理解N(t)的基礎(chǔ)上，才能把握M(t)和X(t)的內(nèi)涵，進一步地在實際中應(yīng)用X(t).基于理論視角，圖1顯示滿足3個條件的隨機過程{N(t),t≥0}即為齊次泊松過程，那么它是如何計數(shù)的？如果能將{N(t),t≥0}的樣本路徑可視化，無疑會加深對該概念直觀上的理解.下面給出上述3個隨機過程的應(yīng)用背景并利用R語言演示它們的樣本路徑.

圖3 樣本路徑圖

4 利用概念圖和R語言輔助教學(xué)設(shè)計的教學(xué)效果

對2019級金融數(shù)學(xué)專業(yè)隨機過程課程的教學(xué)設(shè)計進行改進，教學(xué)實踐和調(diào)研數(shù)據(jù)顯示，利用概念圖和R語言輔助隨機過程課堂教學(xué)設(shè)計是非常有意義的，具體表現(xiàn)在如下2個方面：

1）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進主動學(xué)習(xí).利用概念圖可以幫助學(xué)生進行理解性和發(fā)散性的學(xué)習(xí)，在不斷完善概念圖的過程中構(gòu)建整體性的知識結(jié)構(gòu)；利用R語言將抽象的隨機過程概念或案例變得直觀、具體，易于學(xué)生理解和掌握.這2種輔助教學(xué)方法都嘗試將學(xué)生從傳統(tǒng)的死記硬背的學(xué)習(xí)中解放出來，讓學(xué)生體會到抽象、枯燥和繁冗的隨機過程知識一方面有著層次清晰的關(guān)聯(lián)，同時也可以將這種關(guān)聯(lián)性或者獨立的概念可視化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵他們開展探索性學(xué)習(xí).

為更好地對比教學(xué)效果，《應(yīng)用隨機過程》一書中第三章泊松隨機過程的課堂教學(xué)和課后習(xí)題中均融入概念圖和R語言，而第四章更新過程按照傳統(tǒng)教學(xué)方式進行.這2章學(xué)習(xí)結(jié)束后，針對學(xué)生關(guān)于課堂教學(xué)內(nèi)容的理解和知識點應(yīng)用等方面展開調(diào)查分析.共有75位學(xué)生參與調(diào)查，其中66位同學(xué)表示以概念圖展示的第三章知識層次結(jié)構(gòu)清晰，課后習(xí)題錯誤率低，62位同學(xué)表示第四章知識點抽象難以直觀理解，書上的例題可以看懂但是課后習(xí)題有難度.這些數(shù)據(jù)表明，以學(xué)習(xí)小組形式進行協(xié)作構(gòu)圖、合作編寫簡單R語言程序的學(xué)習(xí)方式是有效果的，這種學(xué)習(xí)方式進一步提高學(xué)生探究式的學(xué)習(xí)能力.小組成員對指定的題目進行討論、匯總、記錄，找到構(gòu)圖或者編程的最佳方式和方法，最終形成組內(nèi)一致的結(jié)果.每位同學(xué)都參與討論，在不斷思考改進構(gòu)圖、校正程序的過程中獲得成就感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的主動性.參與調(diào)查的75位學(xué)生有72位同學(xué)非常希望后續(xù)課程的學(xué)習(xí)中繼續(xù)結(jié)合概念圖和R語言，說明學(xué)生對有效利用概念圖和R語言可視化的隨機過程課程的教學(xué)方式是滿意的.

2）優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，提高課堂教學(xué)質(zhì)量.隨機過程是理論性較強的一門基礎(chǔ)課程，教師在教學(xué)中仍占主導(dǎo)作用.教師通過指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建概念圖和R語言編程能夠及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，比如在構(gòu)建泊松過程一章的概念圖時，部分學(xué)生只關(guān)注齊次泊松過程、非齊次泊松的定義，并沒有根據(jù)強度函數(shù)的性質(zhì)區(qū)別這2個過程的本質(zhì)差異，另外部分學(xué)生對復(fù)合泊松過程只記概念而忽略其在金融中的應(yīng)用等，這樣會構(gòu)建出一個扁平化的缺乏知識點相關(guān)性的概念圖.在用R語言對3類泊松過程進行可視化時，部分學(xué)生對隨機過程和隨機變量概念混淆導(dǎo)致代碼錯用等.這些都是傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)不了卻不容忽視的教學(xué)問題.在實際教學(xué)中，通過概念圖和R語言可視化輔助教學(xué)，幫助教師及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的知識盲區(qū)，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和教學(xué)大綱，適時適度地調(diào)整課程進度，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計.

引入概念圖和R語言可視化輔助教學(xué)設(shè)計后，學(xué)生的平時作業(yè)質(zhì)量更高，表現(xiàn)在正確的解題方法不再單一，對部分應(yīng)用題給出模擬結(jié)果.第三章和第四章學(xué)習(xí)結(jié)束后分別進行2次小測驗，每份測驗的基礎(chǔ)理論知識和應(yīng)用各占50分，2份測驗的難易程度相當(dāng).測驗結(jié)果為：第三章90分以上的同學(xué)28人，80～90分23人，60分以下9人；第四章90分以上的同學(xué)15人，80～90分18人，60分以下17人.這些數(shù)據(jù)在一定程度上表明第三章的教學(xué)效果更好，也再次證實基于概念圖和R語言的教學(xué)法的優(yōu)越性，該教學(xué)方式把傳統(tǒng)的填鴨式課堂教學(xué)變?yōu)閷W(xué)生主動學(xué)習(xí)的場所，有效地提高學(xué)生的歸納、演繹、推理和實踐能力，提升教學(xué)效率.

5 結(jié)論

隨機過程是統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)必修課程，其抽象難懂的理論概念讓不少學(xué)生望而卻步.基于調(diào)查問卷數(shù)據(jù)提供的學(xué)生對該門課程的學(xué)習(xí)訴求，在隨機過程課堂教學(xué)中引入概念圖輔助教學(xué)，幫助學(xué)生從錯綜復(fù)雜的零碎知識點中形成層次清晰的知識結(jié)構(gòu)，同時，引入R軟件，對抽象的基本概念和實際案例進行可視化教學(xué).概念圖和R語言可視化教學(xué)法將傳統(tǒng)的單一的理論授課模式變?yōu)閷W(xué)生主動學(xué)習(xí)的場所，鼓勵學(xué)生構(gòu)建概念圖和利用R語言進行實證模擬，使學(xué)生參與到教學(xué)活動中，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性，同時也提升學(xué)生的創(chuàng)新能力、分析問題和解決問題的能力.