關(guān)注概念教學　提高數(shù)學素養(yǎng)

周義

[摘? 要] 數(shù)學概念是數(shù)學知識的基礎(chǔ)和核心，數(shù)學概念的掌握情況關(guān)系著學生解題能力的高低，關(guān)系著學生認知水平的層次，關(guān)系著學生的數(shù)學思維水平的高低和數(shù)學品質(zhì)的優(yōu)良，這就要求教師在教學概念時不能蜻蜓點水，應(yīng)關(guān)注概念形成和發(fā)展的過程，善于揭示知識的前后聯(lián)系，進而幫助學生深刻領(lǐng)會和把握概念的本質(zhì)，真正提高數(shù)學素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學概念;本質(zhì);數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學概念既是數(shù)學知識體系的“根”，輸送著數(shù)學知識生長的養(yǎng)分;又是數(shù)學知識體系的“藤”，讓數(shù)學知識在拓展延伸中茁壯成長;它還是數(shù)學知識體系的“花”，讓數(shù)學思想方法綻放耀眼的光芒，其在數(shù)學教學中的地位和價值是不言而喻的，可以說要想學好數(shù)學首先就應(yīng)該學好數(shù)學概念. 也正是數(shù)學概念的重要價值，使得概念教學看似老生常談，然而其卻歷久彌新. 那么在高中數(shù)學課堂應(yīng)如何開展概念教學呢？要知道概念并不是一個簡單的結(jié)論，其具有豐富的內(nèi)涵和外延，反映的是數(shù)學對象的本質(zhì)屬性和特征，為此概念教學不應(yīng)只關(guān)注“結(jié)論”，應(yīng)多關(guān)注其形成和發(fā)展的過程，要幫助學生弄清問題的來龍去脈，以此讓他們更好地理解問題的本質(zhì)，并靈活應(yīng)用數(shù)學概念去解決更多的現(xiàn)實問題，提升他們的數(shù)學應(yīng)用能力和數(shù)學素養(yǎng).

筆者結(jié)合自己的教學經(jīng)驗，談?wù)勗诟拍罱虒W中的一些心得體會，以期拋磚引玉，引起大家共鳴.

[?] 重視前后知識的關(guān)聯(lián)

在概念教學中，很多教師喜歡開門見山，直入主題，直接將概念拋給學生，讓學生通過“記憶”和“練習”的方式理解和應(yīng)用概念，這樣做看似簡單明了，但沒有前面舊知的鋪墊勢必會造成學生理解上的困難，從而使他們聽得一頭霧水，不知所云，不僅不易于他們理解和掌握概念，而且也難以建構(gòu)完整的知識體系. 其實，數(shù)學是一門邏輯性極強的學科，很多新知都是原有認知的拓展和延伸，為此在數(shù)學教學中，尤其在抽象的概念教學中，教師應(yīng)重視知識間的前后聯(lián)系，通過新舊聯(lián)系讓學生知曉引入新知的現(xiàn)實意義，從而讓學生在聯(lián)系中切身體會引入新知的必要性和合理性，以此激發(fā)學生的學習熱情.

案例1 弧度制

雖然弧度制的定義并不復(fù)雜，學生也能夠快速記憶，但如果在教學中直接將弧度制的概念拋給學生，他們往往會有這樣的困惑，都已經(jīng)有角度制了為什么還要引入新規(guī)定呢？可見學生雖然能夠熟背定義，但并不理解概念的真正價值，這樣也就難以接受新定義，因此“直奔主題”的講授法并不適合弧度制的概念教學. 為了讓學生能夠理解概念，領(lǐng)會概念的合理性和必要性，教師有必要帶領(lǐng)學生經(jīng)歷概念抽象的過程.

1. 創(chuàng)設(shè)情境

（1）探究必要性

問題1：已知扇形木板的半徑為3 cm，圓心角為135°，求該木板的弧長和面積.

問題2：若用一個周長為10 m的鋼絲圍成一個扇形，要使扇形面積最大，求此時圓心角的度數(shù).

設(shè)計意圖：通過以上兩個問題與初中所學的扇形知識相關(guān)聯(lián)，讓學生體會應(yīng)用角度制來表示弧長或面積的煩瑣，從而誘發(fā)學生思考用其他度量角的單位來優(yōu)化運算.

（2）探索合理性

問題1：角度制下，1°是如何定義的？

問題2：如果一個物體的質(zhì)量為1.1 g，那么用0.0011 kg表示方便嗎？

問題3：若物體的質(zhì)量為1 kg，所受的重力G=9.8 N，若物體的質(zhì)量為1磅，求其所受的重力.

設(shè)計意圖：與舊知、生活實際、其他學科知識相關(guān)聯(lián)，引導學生思考度量單位合適性的問題，通過對比反差，為接下來引入弧度制奠定基礎(chǔ).

2. 鼓勵探索

問題4：寫出角度制下的弧長公式，并將公式變形為求圓心角的度數(shù)，看看你有什么發(fā)現(xiàn).

設(shè)計意圖：應(yīng)用初中所學，由弧長公式l=得n=·，為常數(shù)，引導學生觀察圓心角度數(shù)n與的值存在一一對應(yīng)關(guān)系，由此聯(lián)想用的值來度量角的大小.

3. 引導發(fā)現(xiàn)

問題5：如果讓你來定義“1弧度的角”，你認為為何值時更方便呢？

設(shè)計意圖：引導學生聯(lián)想特值“1”，自己總結(jié)歸納出“1弧度的角”的定義.

讓學生經(jīng)歷以上過程，不僅化解了教學重難點，而且深化了對概念的理解，讓學生懂得引入新概念的重要價值，凸顯弧度制的必要性，讓學生不僅掌握了概念，而且認清了問題的本質(zhì)，顯然比直接給出定義更有價值. 在現(xiàn)實教學中，教師應(yīng)善于通過有目的地創(chuàng)設(shè)問題來誘發(fā)學生去經(jīng)歷概念的形成過程，讓學生也可以像數(shù)學家那樣去思考和解決問題，從而掌握正確的數(shù)學研究方法，激發(fā)學生的數(shù)學學習信心.

[?] 關(guān)注概念發(fā)展的過程

縱觀數(shù)學史可以發(fā)現(xiàn)，任何數(shù)學概念的形成都會經(jīng)歷一個發(fā)展的過程，有些重要的概念可能會經(jīng)歷上百年的驗證、實踐、抽象，為此對概念的學習也不能一蹴而就. 另外，受年齡結(jié)構(gòu)、認知結(jié)構(gòu)、思維能力等多種因素的影響，在不同階段學生的理解能力也會有所不同，這就要求教師在概念教學中不能急于求成，應(yīng)該遵循學生的思維發(fā)展規(guī)律，逐漸完善其認知.

例如，對于“數(shù)”的概念，由自然數(shù)、整數(shù)到有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)，再到復(fù)數(shù)，讓學生感悟了“數(shù)”的擴充與發(fā)展. 又如，幾何中的平行、垂直、角、距離，其滲透于小學階段，完善于高中階段，在不同的階段都會對其有不同的感悟. 再如函數(shù)概念，在初中階段從變化關(guān)系的角度來定義，主要呈現(xiàn)兩個變量之間的互相依賴關(guān)系，隨著學生認知水平的不斷提升，學生慢慢發(fā)現(xiàn)單純從變量變化的觀點來理解函數(shù)概念存在一定的局限性，為此在高中階段又在映射觀下重新定義了函數(shù)，使概念的內(nèi)涵更加豐富.

為了暴露變量觀下函數(shù)定義的局限性，教師設(shè)計了如下問題引發(fā)認知沖突，以期學生能夠切身感受映射觀下函數(shù)定義的優(yōu)越性. 問題如下：

設(shè)點A（0，2），B（2，2）為定點，點M（x，0）為x軸上任意一點，試問△MAB的面積S是否為x的函數(shù).

如果從變量觀的角度去理解，大部分學生認為S不是x的函數(shù)，因為當x變化時，△MAB的面積S保持不變，一直為常數(shù)2，為此不符合函數(shù)定義，故S不是x的函數(shù). 也有少部分學生認為，其本質(zhì)依然反映了兩個量的依賴關(guān)系，可理解為S=2+0·x，故只要將原來的定義適當修改和擴充，S可以看作為x的函數(shù). 通過創(chuàng)設(shè)認知沖突，顛覆了學生對傳統(tǒng)定義的認識，讓學生在函數(shù)概念發(fā)展和完善的過程中更好地理解了概念，培養(yǎng)了學生科學探索的精神.

在新知教學中，教師應(yīng)善于與舊知相串聯(lián)，讓學生在擴充、發(fā)展、完善的過程中經(jīng)歷數(shù)學發(fā)展的過程，從而提高學生科學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神. 另外，通過感悟數(shù)學的發(fā)展有助于培養(yǎng)學生正確的數(shù)學觀和學習觀，有助于學生更好地認識數(shù)學、理解數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學.

[?] 概念學習做到“學懂吃透”

數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，對數(shù)學知識的表述上要做到準確、嚴謹，尤其概念所反映的是數(shù)學對象的本質(zhì)特征，為此在概念教學中一定要讓學生將概念學懂吃透，切勿因含糊不清而造成理解偏差，從而使概念走樣. 為此，在概念教學中要讓學生明晰每個詞、每個符號、每個限定條件、每種特殊情況等等，只有將概念記牢，才能確保學生準確地應(yīng)用概念去解決相關(guān)問題. 不過很多教師認為概念是在“用”的過程中逐漸明晰的，為此沒有必要咬文嚼字，只要平時練習中多加注意就不會犯錯，但在實踐中發(fā)現(xiàn)，若教學之初，學生不能將概念學懂吃透，后面即使花了大力氣也很難讓他們真正理解，為此首次導入概念時就應(yīng)讓學生牢記于心.

例如，對于等比數(shù)列的定義，教師給出定義后，可以帶領(lǐng)學生逐字逐句地分析，并整理歸納出如下內(nèi)容：①將文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言，即若以

a表示數(shù)列，q表示常數(shù)，則a=qa，n=2，3…;②理解從第2項起和常數(shù)的含義;③弄清隱含條件a≠0，q≠0. 在學生學習概念時，既要明晰其顯性特征，又要挖掘其隱含條件，這樣才能有效避免出錯. 比如，學習概念后，要求學生判斷如下命題：

①常數(shù)列一定是等比數(shù)列.

設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)“陷阱”加深學生對a≠0這一隱含條件的理解. 在實踐教學中發(fā)現(xiàn)，很多學生容易忽視常數(shù)為零的情況，由此認為所有常數(shù)列都是公比q=1的等比數(shù)列.

②若q為等比數(shù)列的公比，則當q≠0時，qx2+px+r=0是關(guān)于x的二次方程.

設(shè)計意圖：主要考查學生對等比數(shù)列q≠0這一限定條件的認識. 從本題的反饋來看，很多人認為該命題是正確的，要知道q≠0已經(jīng)在“若q為等比數(shù)列的公比”這一信息中給出，題設(shè)中再次出現(xiàn)q≠0有畫蛇添足之意，去除題設(shè)中q≠0的條件后，命題才是正確的.

在學習概念的過程中一定要讓學生將概念記牢，這是應(yīng)用概念的前提和保障，否則簡單的生搬硬套只會造成理解偏差，最終產(chǎn)生錯誤.

總之，在概念教學中教師要將概念更加全面地、系統(tǒng)地呈現(xiàn)給學生，讓學生可以對概念形成深刻的認識，領(lǐng)會和把握概念的本質(zhì)，進而將概念學好、用活，以此提升他們的數(shù)學學習能力和數(shù)學素養(yǎng).

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