含分?jǐn)?shù)階Bingham 模型的阻尼減振系統(tǒng)時(shí)滯半主動(dòng)控制1)

張婉潔 *, 牛江川 *,, 申永軍 *, 楊紹普 *, 劉佳琪

*(石家莊鐵道大學(xué)交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,石家莊 050043)

? (石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,石家莊 050043)

引言

半主動(dòng)控制系統(tǒng)[1-4]具有控制簡(jiǎn)單易操作,以及良好的控制效果等特點(diǎn),在許多工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用,如車(chē)輛懸架[5-6]、船舶可控浮閥[7]、結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制[8]等.半主動(dòng)控制策略的“開(kāi)-關(guān)”切換條件中,通常需要采集系統(tǒng)的位移、速度等狀態(tài)反饋信息進(jìn)行規(guī)則判斷,從而調(diào)整控制系統(tǒng)的阻尼、剛度以實(shí)現(xiàn)切換控制.

磁流變液阻尼器(magnetorheological fluid damper,MRFD)是一種典型的半主動(dòng)控制裝置,通過(guò)調(diào)整控制電流利用磁流變液提供可控阻尼力,有效地實(shí)現(xiàn)振動(dòng)控制[9-10].常用的描述磁流變液阻尼器的模型主要包括Bingham 模型、雙曲正切模型、Bouc-Wen 模型、黏性Dahl 模型和代數(shù)模型等[11-12].而基于分?jǐn)?shù)階的Bingham 模型已被證明能夠以較少的參數(shù)更準(zhǔn)確的描述磁流變液阻尼器的動(dòng)力學(xué)特性,不但能夠擬合磁流變液阻尼器力-位移間的響應(yīng)關(guān)系,并且可以更準(zhǔn)確地描述其速度-阻尼力的滯回特性[13-15].

對(duì)于基于磁流變液阻尼器的受控系統(tǒng)而言,傳感測(cè)量、信號(hào)傳遞及作動(dòng)機(jī)構(gòu)執(zhí)行均需要一定的時(shí)間,從而導(dǎo)致控制回路出現(xiàn)無(wú)法避免的時(shí)滯[16].時(shí)滯系統(tǒng)表現(xiàn)為系統(tǒng)輸出相對(duì)于系統(tǒng)的輸入具有一定的延遲,由于時(shí)滯的存在,可能會(huì)使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差,降低控制系統(tǒng)的控制效果,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定[17];也可能會(huì)改善系統(tǒng)的控制效果.王在華和胡海巖[18]從動(dòng)力學(xué)角度對(duì)時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的特點(diǎn)、研究方法、動(dòng)力學(xué)等熱點(diǎn)研究進(jìn)展問(wèn)題進(jìn)行了綜述.徐鑒等[19-20]深入討論了時(shí)滯耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展.Yu 等[21]對(duì)天棚控制下磁流變阻尼器中的非線性和時(shí)滯特性進(jìn)行了分析,得到了不同非線性和時(shí)滯參數(shù)下系統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則.Shen 和Ahmadian[22]分析了4 種含時(shí)滯的半主動(dòng)動(dòng)力吸振器的非線性動(dòng)力學(xué)特性,以及時(shí)滯對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響.Yan 等[23]分析了二自由度車(chē)輛懸架系統(tǒng)在時(shí)滯最優(yōu)控制下的性能,并討論了時(shí)滯對(duì)主動(dòng)懸架系統(tǒng)控制穩(wěn)定性的影響.Pyragas 等[24-26]提出的時(shí)滯狀態(tài)反饋已成為有效調(diào)控系統(tǒng)性能的重要途徑.Sun 和Xu[27]分析了一種二自由度的含時(shí)滯的可控機(jī)械吸振裝置,實(shí)現(xiàn)了時(shí)滯反饋控制.Naik 和Singru 等[28]研究了時(shí)滯反饋控制下1/4 車(chē)輛懸架模型的共振、穩(wěn)定性以及混沌振動(dòng)問(wèn)題.Taffo 等[29]分析了小時(shí)滯反饋控制下二自由度非線性車(chē)輛懸架的穩(wěn)定性切換與分岔問(wèn)題.Sun 等[30-31]分別提出了一種新型的時(shí)滯耦合非線性隔振-吸振復(fù)合結(jié)構(gòu),可有效抑制系統(tǒng)的共振,并分析了非線性隔振系統(tǒng)在多種不同激勵(lì)下時(shí)滯主動(dòng)控制的最優(yōu)參數(shù).

目前,大多數(shù)時(shí)滯減振控制策略是將含有時(shí)滯的位移、速度或加速度等反饋物理量直接引入系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.而當(dāng)作動(dòng)器的作用與時(shí)滯反饋物理量無(wú)關(guān)時(shí),時(shí)滯對(duì)半主動(dòng)控制的影響還需要進(jìn)一步研究.因此,本文針對(duì)半主動(dòng)控制過(guò)程中不可避免的時(shí)滯問(wèn)題,在控制切換條件中引入時(shí)滯,將時(shí)滯作為一個(gè)可控變量,基于含有分?jǐn)?shù)階Bingham 模型的磁流變液阻尼器的線性剛度系統(tǒng),構(gòu)建含時(shí)滯的半主動(dòng)控制系統(tǒng)模型.利用平均法對(duì)系統(tǒng)的主共振響應(yīng)進(jìn)行解析研究,采用Lyapunov 理論分析系統(tǒng)的穩(wěn)定特性,并詳細(xì)分析時(shí)滯對(duì)半主動(dòng)阻尼控制隔振系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響.

1 近似解析解

基于磁流變液阻尼器的半主動(dòng)阻尼控制隔振系統(tǒng)的物理模型如圖1 所示,其中磁流變液阻尼器的阻尼力采用分?jǐn)?shù)階Bingham 模型進(jìn)行描述.

圖1 半主動(dòng)阻尼控制隔振系統(tǒng)模型Fig.1 Model of semi-active damping on-off vibration isolation system

根據(jù)牛頓定律得到運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

其中,磁流變液阻尼器的阻尼力為

式中,fc為可變庫(kù)倫阻尼力,與磁流變液的剪切屈服強(qiáng)度成正比,通過(guò)輸入電壓或電流改變磁場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行調(diào)節(jié);c0為系統(tǒng)的等效黏性阻尼系數(shù),cf為磁流變液阻尼器的黏性阻尼系數(shù),由其制造尺寸和磁流變液的黏度系數(shù)決定.Dp(x-z)表示位移差的p階導(dǎo)數(shù),且 0＜p≤1 .依據(jù)Gerasimov-Caputo 定義[32],分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)可以表示為

其中,Γ(z)為Gamma 函數(shù),滿足 Γ(z+1)=zΓ(z) .

選取簡(jiǎn)諧激勵(lì)z=Bcos(ωt) 作為基礎(chǔ)激勵(lì),其中,B為簡(jiǎn)諧激勵(lì)的幅值,且為常數(shù),ω 為簡(jiǎn)諧外激勵(lì)的角頻率.令y=x-z,代入式(1)可得

依據(jù)平均法,設(shè)式(5)的解滿足

其中,ψ=ωt+φ .根據(jù)平均法可得到一階近似解振幅和相位滿足的方程

由于振幅和相位是隨時(shí)間變化的 ε 的同階小量,因此將式(7a)和式(7b)在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行平均處理,得到近似解析解振幅和相位的顯式,即有

采用天棚阻尼半主動(dòng)控制策略[33-35]對(duì)基于磁流變液阻尼器的隔振系統(tǒng)進(jìn)行阻尼控制,磁流變液阻尼器所提供的阻尼力可表示為

其中,b為半主動(dòng)控制參數(shù)(0≤b≤1),F1為磁流變液阻尼器所能提供的最大阻尼力.考慮到磁流變液阻尼器在電壓為零時(shí)仍可提供一定的阻尼力,因此設(shè)定b=0.1 .

然而,基于磁流變液阻尼器的半主動(dòng)控制系統(tǒng)在信號(hào)采集、信號(hào)傳輸、控制器決策、磁流變液阻尼器的響應(yīng)過(guò)程中,存在的時(shí)滯會(huì)造成半主動(dòng)控制信號(hào)滯后于理想狀態(tài).當(dāng)采用半主動(dòng)控制策略,系統(tǒng)在進(jìn)行相應(yīng)動(dòng)作執(zhí)行切換時(shí),可控阻尼力FMR與當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)速度x˙(t) 同步.而由于實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的控制系統(tǒng)和作動(dòng)機(jī)構(gòu)均需要一定的反應(yīng)時(shí)間,具有時(shí)間滯后量 τ＞0,使得控制判斷條件并非與當(dāng)前時(shí)刻的速度(t) 同步,而是依賴于之前從傳感器中獲得的參數(shù),與前面某一時(shí)刻的速度(t-τ) 同步.基于磁流變液阻尼器隔振系統(tǒng)的時(shí)滯半主動(dòng)控制流程如圖2所示.

圖2 基于磁流變液阻尼器隔振系統(tǒng)的時(shí)滯半主動(dòng)控制流程圖Fig.2 Flow chart of the semi-active control of the MRFD based vibration isolation system with time delay

將系統(tǒng)中的時(shí)滯綜合表示為時(shí)滯 τ,含時(shí)滯的天棚阻尼控制策略如下

其中xτ=x(t-τ),zτ=z(t-τ) .控制條件為

對(duì)于周期函數(shù),其周期為T(mén)=2π/ω,式(8a)和式(8b)中第一部分的積分為

根據(jù)文獻(xiàn)[36-37],可以得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的近似表示

因此,第二部分在一個(gè)周期內(nèi)的積分可以為:

當(dāng)β ≥0 時(shí)

當(dāng)β ＜0 時(shí)計(jì)算類(lèi)似,由此可以得到第二部分在一個(gè)周期內(nèi)的積分為

當(dāng)考慮時(shí)滯對(duì)半主動(dòng)控制的影響時(shí),計(jì)算第3 部分在一個(gè)周期內(nèi)的積分需要分別考慮8 種情況.當(dāng)β ≥0 時(shí),包括如下4 種情況:情況(1) (記作q1)

情況(3) (記作q3)

情況(4) (記作q4)

當(dāng)β ＜0 時(shí),同樣包含4 種情況:

情況(5) (記作q5)

情況(6) (記作q6)

情況(7) (記作q7)

情況(8) (記作q8)

假設(shè)a＞ 0,在情況(1)下計(jì)算和可以得到

其他情況下可以進(jìn)行類(lèi)似的計(jì)算.由此可以得到第3 部分在一個(gè)周期內(nèi)的積分為

其中

可以看出U和V既與控制參數(shù)b有關(guān),又與時(shí)滯τ有關(guān).因此,當(dāng)β≥0和β＜0時(shí),a˙和aφ˙可統(tǒng)一表示為

將系統(tǒng)原參數(shù)代入可得

2 系統(tǒng)的定常解

研究系統(tǒng)的定常解,假設(shè)和分別是穩(wěn)態(tài)解對(duì)應(yīng)的振幅和相位,令式(20a)和式(20b)中=0,=0,可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程

依據(jù)式(21a)和式(21b)可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)方程為

以及相頻響應(yīng)方程

根據(jù)幅頻響應(yīng)方程可以得到

3 定常解的穩(wěn)定性分析

采用Lyapunov 一次近似理論判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,對(duì)穩(wěn)態(tài)解引入小擾動(dòng),令a=+Δa,φ=+Δφ,代入式(20a) 和式(20b),略去高階項(xiàng)進(jìn)行線性化,可得

則特征方程為

因此,系統(tǒng)定常解穩(wěn)定的充要條件為

4 數(shù)值解驗(yàn)證

根據(jù)參考文獻(xiàn)[13,38-39]選取一組示例參數(shù)值,具體參數(shù)為m=240 kg,c0=50 N·s/m,k=15 000 N/m,磁流變液阻尼器的參數(shù)選擇為:cf=300 N·s/m,fc=1000 N,分?jǐn)?shù)階階次p=0.84,基礎(chǔ)激勵(lì)幅值為B=0.1 m.利用文獻(xiàn)[32]中的數(shù)值求解方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,時(shí)間總長(zhǎng)設(shè)定為188.5 s,以h=π/5000為步長(zhǎng),并將后62.8 s 響應(yīng)的最大值作為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的峰值.通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)對(duì)于所有 τ≥0 始終滿足穩(wěn)定性條件(29),說(shuō)明當(dāng)隔振器的作用與時(shí)滯反饋物理量無(wú)關(guān)時(shí),時(shí)滯的引入未改變系統(tǒng)的穩(wěn)定特性.

當(dāng)系統(tǒng)處于被動(dòng)控制(b=1)、不考慮時(shí)滯半主動(dòng)控制(b=0.1,τ=0)、小時(shí)滯半主動(dòng)控制(b=0.1,τ=40 h)、較大時(shí)滯半主動(dòng)控制(b=0.1,τ=300 h)及(b=0.1,τ=580 h),以及大時(shí)滯半主動(dòng)控制(b=0.1,τ=2000 h)時(shí),根據(jù)數(shù)值解和近似解析解得到的幅頻響應(yīng)曲線分別如圖3(a)～ 圖3(f)所示,圖中圓圈表示數(shù)值解,實(shí)線表示近似解析解.從圖3 中可以看出,系統(tǒng)在被動(dòng)控制以及時(shí)滯較小的半主動(dòng)控制時(shí),近似解析解都與數(shù)值解具有很好的一致性,而時(shí)滯較大時(shí),在共振峰值附近具有很好的一致性.系統(tǒng)在低頻(頻率小于 7rad/s)時(shí)數(shù)值解接近為0,是因?yàn)閭鬟f到磁流變液阻尼器的外力不足以克服其內(nèi)部剪切摩擦力,使得系統(tǒng)幾乎沒(méi)有運(yùn)動(dòng)[14],此時(shí)半主動(dòng)控制策略也不作用于系統(tǒng).在半主動(dòng)控制下,隨著時(shí)滯的增大,系統(tǒng)出現(xiàn)了明顯的高頻顫振,如圖3(d)～圖3(f)所示,而且時(shí)滯越大,高頻顫振問(wèn)題愈加突出,振動(dòng)控制效果惡化,因此,對(duì)于考慮時(shí)滯的天棚阻尼半主動(dòng)控制系統(tǒng)而言,小時(shí)滯下的半主動(dòng)控制才具有振動(dòng)抑制的實(shí)際意義.

圖3 數(shù)值解與解析解的幅頻響應(yīng)曲線比較Fig.3 Comparison of amplitude-frequency response for numerical solution and analytical solution

圖3 數(shù)值解與解析解的幅頻響應(yīng)曲線比較(續(xù))Fig.3 Comparison of amplitude-frequency response for numerical solution and analytical solution (continued)

5時(shí)滯對(duì)半主動(dòng)控制的影響

為分析時(shí)滯對(duì)半主動(dòng)控制(b=0.1) 的減振效果,對(duì)比圖3(a)～ 圖3(d) 4 種不同控制狀態(tài)和不同的小時(shí)滯控制參數(shù)時(shí)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,如圖4 所示.可以看出,當(dāng)時(shí)滯為0,40 h (25.1 ms)時(shí)在半主動(dòng)阻尼控制下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅在一定的激勵(lì)頻率范圍內(nèi)優(yōu)于被動(dòng)控制(b=1)下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅,可以有效地降低共振幅值.而當(dāng)時(shí)滯為300 h (188.5 ms)時(shí),反而會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)振幅的增大.相較于被動(dòng)控制系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,不同時(shí)滯下的半主動(dòng)阻尼控制不但會(huì)改變系統(tǒng)振動(dòng)的峰值,其相應(yīng)的共振頻率也會(huì)發(fā)生變化.

圖4 被動(dòng)控制與不同時(shí)滯半主動(dòng)控制的幅頻響應(yīng)曲線對(duì)比Fig.4 Comparison of amplitude-frequency response curves between passive control and different time delay semi-active control

進(jìn)一步研究時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)振幅的影響規(guī)律.在天棚阻尼半主動(dòng)控制策略下取時(shí)滯間隔為 5h,利用近似解析解獲得圖5 所示的激勵(lì)頻率為 ω=9 rad/s 和ω=10 rad/s 時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅值-時(shí)滯響應(yīng)曲線.在固定激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的振幅呈現(xiàn)出與頻率相關(guān)的固定周期的變化規(guī)律,頻率越大所對(duì)應(yīng)的變化周期越小.

圖5 固定激勵(lì)頻率下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅值-時(shí)滯響應(yīng)曲線Fig.5 Steady-state amplitude with time delay under the fixed excitation frequency

根據(jù)近似解析解得到系統(tǒng)主共振峰值-時(shí)滯響應(yīng)曲線如圖6 所示.從圖中可以看出,主共振峰值amax隨時(shí)滯 τ的變化是非簡(jiǎn)諧的,但amax出現(xiàn)了明顯的周期性變化規(guī)律,而且隨著時(shí)滯 τ 的增大,主共振峰值所能達(dá)到的最小值越大.對(duì)比被動(dòng)控制下主共振峰值(約為0.255 m),當(dāng)時(shí)滯為364.4 ms (τ=580 h)時(shí)系統(tǒng)的主共振峰值也小于被動(dòng)控制下的主共振峰值.但是由圖3(e)可知,由于時(shí)滯的增大系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)高頻顫振,因此只考慮第一個(gè)時(shí)滯周期內(nèi)的時(shí)滯量作為時(shí)滯參數(shù).由圖6 得到,當(dāng)系統(tǒng)的固有時(shí)滯小于44 ms (τ=70h)時(shí),在此范圍內(nèi)的時(shí)滯半主動(dòng)控制均可以達(dá)到優(yōu)于被動(dòng)控制的目的;當(dāng)系統(tǒng)的固有時(shí)滯大于44 ms 時(shí),半主動(dòng)控制在時(shí)滯的影響下,會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的振動(dòng)抑制效果惡化,此時(shí)被動(dòng)控制效果則優(yōu)于半主動(dòng)控制.特別地,在時(shí)滯為28.3 ms (τ=45h)時(shí),時(shí)滯天棚阻尼控制策略可以達(dá)到最優(yōu)減振效果,即當(dāng)系統(tǒng)的固有時(shí)滯小于此最優(yōu)時(shí)滯時(shí),可以對(duì)控制系統(tǒng)引入時(shí)滯使其達(dá)到此最優(yōu)時(shí)滯,使得系統(tǒng)主共振峰值最低.

圖6 主共振峰值隨時(shí)滯的變化曲線Fig.6 Primary resonance peak with time delay

改變半主動(dòng)控制參數(shù)b為0.3 和0.6,繪制主共振峰值隨時(shí)滯的變化曲線如圖7 所示.可以看出,隨著半主動(dòng)控制參數(shù)b的減小,時(shí)滯變化時(shí)主共振峰值的變化增大,但是對(duì)最優(yōu)時(shí)滯區(qū)間沒(méi)有影響.在最優(yōu)時(shí)滯區(qū)間內(nèi),半主動(dòng)控制參數(shù)b越小,主共振振幅越小.

圖7 不同參數(shù) b時(shí)系統(tǒng)主共振峰值隨時(shí)滯的變化曲線Fig.7 Primary resonance peak with time delay of differentb

主共振峰對(duì)應(yīng)的共振頻率-時(shí)滯響應(yīng)曲線如圖8 所示,其對(duì)應(yīng)的共振頻率 ωr隨時(shí)滯 τ 的變化也是非簡(jiǎn)諧的,半主動(dòng)控制參數(shù)b越小,主共振峰對(duì)應(yīng)的共振頻率變化范圍越大.

圖8 不同參數(shù) b時(shí)共振峰值對(duì)應(yīng)的頻率-時(shí)滯曲線Fig.8 Frequency corresponding to resonance peak with time delay of differentb

6 結(jié)論

本文對(duì)基于磁流變液阻尼器的隔振系統(tǒng)在含有時(shí)滯的半主動(dòng)控制策略下的系統(tǒng)共振響應(yīng)及其振動(dòng)特性進(jìn)行了分析.針對(duì)含有磁流變液阻尼器的半主動(dòng)阻尼控制系統(tǒng)中存在的時(shí)滯問(wèn)題,將時(shí)滯引入半主動(dòng)控制切換條件中,利用平均法對(duì)基于分?jǐn)?shù)階Bingham 模型的線性剛度系統(tǒng)在天棚阻尼控制下的主共振響應(yīng)進(jìn)行了解析研究,得出系統(tǒng)的近似解析解,并通過(guò)數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了解析結(jié)果的準(zhǔn)確性,解析結(jié)果與數(shù)值解具有較好的一致性.采用Lyapunov 方法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定特性,而且在全頻域內(nèi),時(shí)滯的引入并不會(huì)改變?cè)到y(tǒng)的穩(wěn)定性.通過(guò)分析時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響,表明在一定的小時(shí)滯范圍內(nèi),與被動(dòng)控制相比,時(shí)滯半主動(dòng)控制策略可以有效地降低主共振峰值,達(dá)到系統(tǒng)減振的目的.并且存在一個(gè)時(shí)滯量的取值區(qū)間,使系統(tǒng)的振幅在一定的激勵(lì)頻率范圍內(nèi)低于被動(dòng)控制系統(tǒng),且在這個(gè)區(qū)間上會(huì)存在一個(gè)時(shí)滯點(diǎn),使得系統(tǒng)的振幅得到最大幅度的降低.當(dāng)系統(tǒng)固有時(shí)滯小于最優(yōu)時(shí)滯時(shí),在半主動(dòng)阻尼振動(dòng)控制系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中即使不考慮時(shí)滯,也會(huì)使系統(tǒng)在一定的激勵(lì)頻率范圍內(nèi)得到滿意的振動(dòng)控制效果.然而大時(shí)滯的引入會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的顫振,使系統(tǒng)的減振效果變差.本文的分析為實(shí)際工程應(yīng)用中的半主動(dòng)阻尼振動(dòng)控制系統(tǒng)時(shí)滯選取提供了依據(jù).