對(duì)一類二次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的錯(cuò)誤成因的思考

劉曉蘭

[摘 ?要] 文章通過(guò)對(duì)幾個(gè)典型的中考二次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的錯(cuò)誤成因的分析，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，要把二次函數(shù)所有的基礎(chǔ)知識(shí)掌握透徹. 在實(shí)際應(yīng)用中，要注意考慮自變量的取值范圍等各種因素.在解決二次函數(shù)應(yīng)用題時(shí)要根據(jù)題意，靈活應(yīng)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想求解，避免取值范圍方面的誤區(qū)所導(dǎo)致的問(wèn)題產(chǎn)生.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);應(yīng)用問(wèn)題;錯(cuò)誤成因

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確要求“學(xué)生能用二次函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”.為此，筆者查閱了部分中考試卷后注意到二次函數(shù)應(yīng)用題中存在一類與二次函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的題目，如果對(duì)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸的認(rèn)識(shí)不充分，非常容易走入陷阱，誤將其當(dāng)作二次函數(shù)應(yīng)用題中的“最值問(wèn)題”來(lái)處理. 文章對(duì)該類問(wèn)題的錯(cuò)誤成因及解決策略進(jìn)行了一些剖析和探究.

機(jī)械套用公式導(dǎo)致錯(cuò)誤

問(wèn)題1 ?（2017年湖北省荊州市）荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個(gè)銷(xiāo)售旺季的80天里，銷(xiāo)售單價(jià)p（元/千克）與時(shí)間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系為p=t+16（1≤t≤40，t為整數(shù)），-t+46（41≤t≤80，t為整數(shù)），日銷(xiāo)售量y（千克）與時(shí)間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.

在實(shí)際銷(xiāo)售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷(xiāo)售1千克小龍蝦，就捐贈(zèng)m（m<7）元給村里的特困戶.在這前40天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，求m的取值范圍.

錯(cuò)解 ?設(shè)日銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元，由題意得w=t+16-6-m（-2t+200）=-t2+（2m+30）t+2000-200m，其函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為t=2m+30.

因?yàn)閣隨t的增大而增大，且1≤t≤40，所以由二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)可知2m+30≥40，解得m≥5.又m<7，所以m的取值范圍是5≤m<7.

分析 ?錯(cuò)解忽略了本題中的t為整數(shù)、實(shí)際的函數(shù)圖像是拋物線上的一些散點(diǎn)這個(gè)事實(shí).簡(jiǎn)單地根據(jù)1≤t≤40且日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，錯(cuò)誤地認(rèn)為在t=40時(shí)取得最大值，從而簡(jiǎn)單判斷了函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與直線t=40的位置關(guān)系，最終得出了錯(cuò)誤的結(jié)論.實(shí)際上，對(duì)于自變量取值范圍內(nèi)最后兩個(gè)函數(shù)值的比較，應(yīng)正確判斷對(duì)稱軸的位置，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案.下面再看一題更為典型：

問(wèn)題2 ?（2016年江蘇省揚(yáng)州市）某電商銷(xiāo)售一款夏季時(shí)裝，進(jìn)價(jià)40元/件，售價(jià)110元/件，每天銷(xiāo)售20件，每銷(xiāo)售1件需繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用a元（a>0）.未來(lái)30天，這款時(shí)裝將開(kāi)展“每天降價(jià)1元”的夏令促銷(xiāo)活動(dòng)，即從第1天起，每天的單價(jià)均比前一天降1元.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該時(shí)裝單價(jià)每降1元，每天銷(xiāo)售量增加4件.在這30天內(nèi)，要使每天繳納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用后所得利潤(rùn)隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，則a的取值范圍應(yīng)為_(kāi)_____.

錯(cuò)解 ?設(shè)未來(lái)30天每天獲得的利潤(rùn)為y，由題意得y=（110-40-a-t）（20+4t），化簡(jiǎn)后得y=-4t2+（260-4a）t+1400-20a.

因?yàn)槊刻炖U納電商平臺(tái)推廣費(fèi)用后所得利潤(rùn)隨天數(shù)t（t為正整數(shù)）的增大而增大，所以y隨t的增大而增大，且1≤t≤30，所以由二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)可知-=≥30，解得a≤5. 又a>0，所以a的取值范圍是0

分析 ?本題的錯(cuò)解原因在于忽略了題中的t為整數(shù)、實(shí)際的函數(shù)圖像是拋物線上的一些散點(diǎn)這個(gè)事實(shí)，簡(jiǎn)單判斷了函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與直線t=30的位置關(guān)系，最終得出了錯(cuò)誤的結(jié)論.可見(jiàn)，以上兩題的錯(cuò)誤原因非常相似.

回顧解題全程，思考其本質(zhì)

運(yùn)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，要把二次函數(shù)所有的基礎(chǔ)知識(shí)掌握透徹. 在實(shí)際應(yīng)用中，要注意考慮自變量的取值范圍等各種因素.在解決二次函數(shù)應(yīng)用題時(shí)要根據(jù)題意，靈活應(yīng)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想求解.本文章的例題，由于自變量取的是整數(shù)，使得圖像為拋物線上的一些散點(diǎn)，就不能盲目套用“開(kāi)口向下的拋物線，圖像在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞增”這一結(jié)論.“離散”與“連續(xù)”是數(shù)量關(guān)系中一對(duì)極為深刻的矛盾，它們之間的對(duì)立與統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要原動(dòng)力之一.

需要指出的是，通過(guò)幾何直觀更能準(zhǔn)確地把握問(wèn)題的本質(zhì).幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題.借助于幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索問(wèn)題解決的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用. 所以在教學(xué)中，要注意培養(yǎng)學(xué)生借助于幾何直觀解決實(shí)際問(wèn)題的思維能力，切實(shí)發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人思維能力和創(chuàng)新能力等方面不可替代的作用.

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