在情境中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中感悟，在感悟中探究

戴惠

[摘 ?要] 用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)現(xiàn)和提出生活中的問題并抽象成數(shù)學(xué)問題，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決生活中的問題，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.文章以“太陽光線下的數(shù)學(xué)問題”的教學(xué)設(shè)計為例，從熟悉的情境、簡單的問題入手，引導(dǎo)學(xué)生在感悟中探究關(guān)聯(lián)情境，解決較復(fù)雜的問題，滲透模型思想，發(fā)展初中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 建模;模型思想;三角函數(shù)

數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要過程與方式. 建模的過程可以讓學(xué)生初步體驗數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)思維. 在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)以及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型. 蘇教版教材的“用一元一次方程解決問題”“用銳角三角函數(shù)解決問題”“用二次函數(shù)解決問題”等內(nèi)容是抽象后的數(shù)學(xué)建模. 對于這部分內(nèi)容，傳統(tǒng)的教學(xué)方法往往是通過題型訓(xùn)練代替建模過程，課堂枯燥且趣味性不大，無法提高學(xué)生提取信息、分析問題的能力.

教育源于生活，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界. 本文章以一節(jié)關(guān)于太陽光線的數(shù)學(xué)問題的公開課為例，談一談在課堂教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)建模的一般步驟，滲透模型思想.

教學(xué)過程的設(shè)計

1. 情境發(fā)現(xiàn)，感受建模

問題1：如圖1所示 ，一棵高8 m的樹，當太陽光線與水平面的夾角為30°時，影子在什么位置？影長是多少？

師生活動：學(xué)生回顧用三角函數(shù)解決問題的方法，將樹干抽象成線段AB，將太陽光線抽象成平行線，于是得到了Rt△BAC（如圖2所示，∠A=90°，∠C=30°）. 已知對邊求鄰邊，可以利用正切求解.

設(shè)計意圖 ?學(xué)生在學(xué)習(xí)“圖形的相似”這一章節(jié)時，曾遇到過將樹干抽象成線段AB，將太陽光線抽象成平行線，熟悉的情境、簡單的問題，學(xué)生能夠很快得到答案. 在解決問題的過程中，讓學(xué)生初步感受將實際生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題，用三角函數(shù)解題的過程其實就是一種建模的過程.

問題2：如圖3所示，一個直徑為22 cm的足球，當太陽光線與水平面的夾角為30°時，影子在什么位置？影長是多少？

師生活動：將球抽象成圓，由兩條與圓相切的平行線確定影子的位置. 連接切點（B，C）和圓心（O），可證B，O，C三點共線，BC=22. 師生共同探究，得出：

方法1：如圖4所示，過點E作EG⊥BF于G，易證四邊形CEGB為矩形. 在Rt△EFG中，∠F=30°，可得EF=44.

方法2：如圖5所示，過點C作CI∥EF與BF相交于點I，易證四邊形CEFI為平行四邊形. 在Rt△BCI中，∠BIC=30°，可得EF=CI=44.

方法3：如圖6所示，延長BC與EF相交于點J. 在Rt△JCE中，∠CEJ=30°，JE=2CJ;在Rt△BJF中，∠BFJ=30°，JF=2BJ. 由△JCE∽△JBF可得EF=44.

然后總結(jié)方法思路：通過添加輔助線將已知的邊和角集中到同一個直角三角形中，再用三角函數(shù)解決.

設(shè)計意圖 ?根據(jù)維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，求足球的影長能調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段的水平. 學(xué)生再次經(jīng)歷建模的過程，讓每位學(xué)生都參與課堂活動，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述問題，積極地分析、思考、解決問題 ，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活，與生活密切相關(guān).

2. 問題深究 ，感悟建模

問題3：如圖7所示，遮陽傘可以抽象出什么數(shù)學(xué)圖形？畫出太陽光線下影子的位置.

小組討論：如圖8、圖9所示，遮陽傘可以抽象成線段、弓形等數(shù)學(xué)圖形，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號語言刻畫出研究對象的主要的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

問題4：如圖10所示，BC過點O，PQ與圓O相切于點P，圓O的半徑為1 m，PQ∥BC，∠BOE=120°，求此時傘面的影長.

動手操作：畫出平行光線，找到確定影子位置的兩條平行光線. 類比問題2，共同探究影長的求解方法，然后請小組的代表上臺展示：

方法1：如圖11所示，連接OP，過點C作CN⊥PQ于N. 易證∠PQC=30°，四邊形POCN為矩形. 在Rt△CNQ中，CQ=2.

方法2：如圖12所示，連接OP，過點O作OM∥CQ，與PQ相交于點M. 易證∠PQC=30°，四邊形OCQM為平行四邊形. 在Rt△OPM中，OM=2，所以CQ=2.

設(shè)計意圖 ?學(xué)生自主探究與小組合作探究相結(jié)合，在集體中相互交流個人的看法，相互啟發(fā)、相互學(xué)習(xí). 設(shè)置問題由淺入深、循序漸進，通過類比前問所學(xué)的方法，每個學(xué)生都能想出至少一種解決本題的方法，逐步構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu)，從整體上掌握知識，同時幫助學(xué)生認識自我、建立信心.

3. 應(yīng)用拓展，探究建模

問題5：如圖13所示的遮陽篷，遮陽篷寬100 cm.

（1）當太陽光線與水平面的夾角為30°時，求陽光照射不到的高度.

（2）若太陽光線與水平面的夾角變大，被遮陽篷遮擋的區(qū)域會發(fā)生怎樣的變化？什么時候陽光恰好照不到室內(nèi)？

（3）當太陽光線與水平面的夾角為30°時，想讓陽光恰好照入室內(nèi)，要如何安裝遮陽篷？

師生活動：

學(xué)生自主探究，抽象出數(shù)學(xué)圖形，提出數(shù)學(xué)問題：在Rt△BCD中，∠BDC=30°，CD=100 cm，求BC的長. 當夾角變大時，通過幾何畫板的動態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)BC在變大，再引導(dǎo)學(xué)生進行邏輯證明：BC=CD·tan∠BDC=100·tan∠BDC，當∠BDC變大，tan∠BDC的值變大，BC也變大，當點B與點A重合時陽光恰好照不到室內(nèi). 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生畫出了陽光恰好照入室內(nèi)的示意圖（如圖14所示），求得遮陽篷安裝在門上方的 cm處.

設(shè)計意圖 ?從研究影子落在水平面上轉(zhuǎn)換到影子落在豎直墻壁上，從利用三角函數(shù)解決具體的數(shù)學(xué)問題到利用三角函數(shù)的知識去解決實際生活中的安裝遮陽篷的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的形成與應(yīng)用的過程，從而能更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義.

問題6：（1）惹玻璃門AB高200 cm，冬天某一時刻，陽光剛好全部照入室內(nèi)，此時太陽光線與水平面的夾角為31°;夏天某一時刻，陽光剛好全部被擋住，此時太陽光線與水平面的夾角為80°，則遮陽篷的寬是多少？（tan31°≈0.6，tan80°≈5.6）

（2）（一般化）若玻璃門AB=h，冬天某一時刻，陽光剛好全部照入室內(nèi)，太陽光線與水平面的夾角記作α;夏天某一時刻，陽光剛好被全部擋住，此時太陽光線與水平面的夾角記作β，用α，β，h的代數(shù)式表示遮陽篷的寬.

師生活動：請學(xué)生將題目信息標注在圖形中，利用電腦一體機投影學(xué)生答題情況，由學(xué)生講解.

設(shè)計意圖 ?冬天某一時刻，陽光恰好照入室內(nèi);夏天某一時刻，陽光恰好被擋住，這為后面學(xué)生自主設(shè)計遮陽篷做好了鋪墊. 將具體數(shù)據(jù)換成字母，讓學(xué)生體會到從特殊到一般的思想方法.

4. 遷移應(yīng)用，內(nèi)化提升

課后作業(yè)：為我們學(xué)校門衛(wèi)室設(shè)計一款遮陽篷.

設(shè)計意圖 ?設(shè)計遮陽篷是北師大版九年級下冊教材“綜合與實踐”的一小節(jié)內(nèi)容，把這個完整的數(shù)學(xué)建模作為課后作業(yè)，由小組共同協(xié)作完成. 由于學(xué)生的直觀感受不同、所處的地理位置不同、太陽光線與水平面的夾角不同等，其中涉及了多種學(xué)科知識，因此需要學(xué)生查閱資料，找到合適的夾角. 學(xué)科融合有利于提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升. 通過小組協(xié)作分工完成，可以激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性和主動性，并有效發(fā)揮各自的學(xué)習(xí)潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力.

思考

1. 模型思想在課堂中的逐步滲透

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出的十個核心概念之一. 在實際的教學(xué)過程中，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，從學(xué)生的實際生活經(jīng)驗中提取教學(xué)素材創(chuàng)造機會，轉(zhuǎn)化成教學(xué)資源，使學(xué)生經(jīng)歷“觀察實際情境—發(fā)現(xiàn)并提出問題—抽象成數(shù)學(xué)模型—解決實際問題”的過程，逐步從簡單到相對復(fù)雜，從具體到相對抽象，了解建模的一般步驟，掌握建模的一般方法，滲透模型思想. 引導(dǎo)學(xué)生從情境中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中感悟，在感悟中探究，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 通過數(shù)學(xué)建模改善教與學(xué)的方式

數(shù)學(xué)建模不同于簡單完成一道應(yīng)用題，它是一個綜合性非常強的過程，從傳統(tǒng)的教師的教轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的學(xué)，由教師引導(dǎo)、啟發(fā)，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體自主去查閱資料、分析并解決問題、撰寫報告，可以有效加強數(shù)學(xué)應(yīng)用. 建模的過程可以幫助學(xué)生認識數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)，形成正確的數(shù)學(xué)觀，同時使學(xué)生通過這一過程學(xué)會數(shù)學(xué)思考，掌握數(shù)學(xué)思想方法. 在實際的教育教學(xué)中可以從多個方面進行嘗試，比如：可以嘗試以課堂教學(xué)為鋪墊，確定數(shù)學(xué)建模課題，在課后作業(yè)中嘗試建模，采用小組協(xié)作的學(xué)習(xí)方式，提交課題研究報告;也可以嘗試在學(xué)校的趣味數(shù)學(xué)社團課程中組織學(xué)生，從實際的生活經(jīng)驗出發(fā)，自主確定建模課題，走入社會，進行調(diào)查，收集信息;還可以嘗試組織計算機學(xué)得較好的學(xué)生，借助于計算機特有的編程功能尋求建模新方法.

結(jié)語

數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，還是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四條主線之一，并要求數(shù)學(xué)建模理念貫穿整個高中數(shù)學(xué)的始終. 根據(jù)心理學(xué)家皮亞杰的研究，初中學(xué)生還處在具體思維到抽象思維的過渡階段. 數(shù)學(xué)建模對學(xué)生能力的要求較高，對于很多初中學(xué)生來說具有一定的難度. 如何根據(jù)具體的課程內(nèi)容和要求逐步滲透模型思想，如何做好初高中的銜接，讓學(xué)生的“學(xué)”更自主、有效，都很值得一線初中數(shù)學(xué)教師進行研究.

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