大觀念下借助教材與課標對小初同題課的研究與思考

【摘 要】 初中教材中有部分內容在小學教材中曾經出現(xiàn)過，在引入形式、探索過程、活動設計上有類似之處，但在教學目標及能力要求上均存在差異.本文通過對比兩位來自不同學段的教師在課堂中呈現(xiàn)出來的行為差異進行深度分析，在大觀念的視角下對如何借助教材與課標對這類課進行充分備課以實現(xiàn)教學效益最大化展開研究，并闡述了相關成果與思考.

【關鍵詞】? 大觀念;課程標準;方程;小初銜接;代數(shù)

0 引言

筆者作為“泰州市朱金祥名師工作室”的一員，參與了2021年下半年特級（骨干）教師“牽手農村教育”送教活動，形式為同題異構，共同演繹蘇科版七年級教材上冊“4.2解一元一次方程”一課.值得關注的是，執(zhí)教本節(jié)課的兩位教師，一位是該鄉(xiāng)村學校的本土教師（下文中稱A教師），另一位常年在城市初中教初三的教師（下文中稱B教師）.A教師之前一直在小學部工作，由于教學效果出色，今年剛被調入初中部.更巧合的是在蘇科版五年級下冊教材中曾經出現(xiàn)過與“解一元一次方程”類似的課題“簡易方程”，A教師兩年前就執(zhí)教過.本次活動中兩位教師展現(xiàn)出了截然不同的課堂形式與風格，尤其是關于小初知識的銜接以及教學設計理念的分歧引人深思，以下作簡要闡述.

1 小初同題課的成因與教學現(xiàn)狀

1.1 什么是小初同題課

剛剛步入職場，工作年限不長的青年教師一定都遇到過這樣的情況，課前絞盡腦汁地備課為學生引入新知結果卻換來一句“我們小學早就學過了”.隨著教學經驗逐漸豐富，很多教師開始了解到在初中教材中大致有哪些內容已經在小學教材中出現(xiàn)過，但具體學了什么，學到什么程度并不清楚.小初學段有一些課不僅主題相似，甚至連引入形式、探索過程、活動設計都如出一轍，最終得出的結論也大同小異，只是表述方式略微不同，但這些課往往形同質不同，雖然有著類似的主題，教學目標及呈現(xiàn)方式卻存在著差異.事實上《義務教育階段數(shù)學課程標準》（以下簡稱課標）對不同學段的學生是有不同素養(yǎng)要求的.若同一主題的內容同時出現(xiàn)在了兩個學段中，那兩者之間必然構成某種關系，是一種或螺旋式、或遞進式的發(fā)展過程，這便是小初同題課出現(xiàn)的根源.為了更好地說明本文的研究成果，筆者以蘇科版教材為樣本，將小初同題課羅列成表1，以供后期持續(xù)地展開研究.

1.2 小初同題課在初中學段的教學現(xiàn)狀

基于問卷調查、對話訪談以及個案研究，筆者發(fā)現(xiàn)絕大部分教師對小初同題課很少關注，幾乎不會特地為此去查閱小學教材與課標，更不會分析兩種學段在同一主題下內容設置、教學目標等方面的異同，并以此重新審視自己的教學.大多數(shù)時候，教師并不知道自己花很長時間的情境引入與新知探索是學生在小學時就經歷過的，依舊上演一幕幕重復、無效的課堂活動，造成思維“空轉”與“滯留”的現(xiàn)象.與之相反，也有教師僅通過學生提供的只言片語獲知某些知識小學曾經學過，于是便走馬觀花、浮光掠影地將知識的發(fā)生、發(fā)展過程匆匆略過.殊不知這其中包含了關于學段差異、學情差異、心理認知規(guī)律差異、對知識技能掌握要求的差異以及素養(yǎng)達成目標的差異等，與初中生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展息息相關.

2 借助教材與課標對案例中教學內容與目標達成的基本分析

2.1 關于不同學段教材內容設置的比較分析

2.1.1 情境創(chuàng)設與引入方式的比較分析

在引入解方程以及方程的解概念的方式上，小學教材選用了天平如何保持平衡的真實情境，通過實驗操作不斷調整天平兩端的重量，使得有未知重量物體的一端逐漸只剩下本身，最終求出未知量的值，形成相關概念.初中教材并未采用這一情境，而是讓學生先計算代數(shù)式的值，感受變量的取值與代數(shù)式的值之間的對應關系，即每當變量取一個確定的值時，代數(shù)式也存在一個確定的值與之對應，隨后再根據(jù)計算出來的若干代數(shù)式的值找到符合要求的解，這是以枚舉法的方式引入解方程與方程的解的概念[1] .

2.1.2 等式性質的表述方式與所處結構的比較分析

小學教材中對于等式性質的描述是：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍是等式（下文簡稱性質1）;等式兩邊同時乘或除以一個不是0的數(shù)，所得結果仍然是等式（下文簡稱性質2）.中學教材中對性質1的描述略有區(qū)別，將“同一個數(shù)”改為了“同一個數(shù)或同一個整式”，對性質2未作改動.

從等式的性質在本節(jié)課所處教材的結構位置上看，小學教材是先通過天平平衡的活動探究引入性質1，隨后繼續(xù)讓學生從天平問題中抽象出方程，并用運用性質1解方程.在此基礎上，教材繼續(xù)設置天平實驗并探究得出性質2，但這次沒有再借助于天平，而是用一道已知面積和寬求長的“長方形實驗田”問題作為性質2的運用與鞏固.中學教材則直接對兩類方程分別做性質1與性質2的代數(shù)變形，最終得到兩個方程的解，并提出問題：從上面的變形中，你發(fā)現(xiàn)等式具有怎樣的性質？與此同時得出本節(jié)課的兩個性質且給出對應的例題.值得關注的是，中學教材全程沒有提及“天平”二字，并未明確指出要以此來探究等式的性質，只是在方程變形的過程中在右側畫有對應的天平示意圖，起到幫助學生直觀理解的輔助作用[2] .

2.2 在課標中不同學段目標行為動詞的描述、比較與分析

2.2.1 課標中目標行為動詞的相關描述

在課標中課程內容的“第二學段（4～6年級）”對于解方程的目標描述是：了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程，而“第三學段（7～9年級）”對于解方程的目標描述是：掌握等式的性質，能解一元一次方程.課標在兩個不同的學段中對等式的性質分別提出了“了解”與“掌握”兩種不同層級的要求，“了解”是要根據(jù)具體實例知道或舉例說明對象的有關特征，根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象，注重的是將知識與實際生活相關聯(lián)，能從實例中抽象出等式的性質，并在該情境中運用等式的性質，這里所指的情境在小學教材中是以天平形式呈現(xiàn)的.而“掌握”則是在理解的基礎上，把對象用于新的情境，它更關注的是運用與遷移，而非探索與歸納[3] .

2.2.2 目標行為動詞的比較與分析

等式的性質在兩個學段中的行為目標動詞分別為了解與掌握，這之間直接越過了一個目標層級：理解.理解需要描述對象的特征與由來，闡述此對象與相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系，也就是說在初中學段已經不能再將等式的性質與天平“綁定”，兩者可以適當結合但不能相互依賴，要尋求更多自然現(xiàn)象或實例與等式性質之間的關系，形成更一般、全面的認識.其次，基于理解，掌握需要在新情境中熟練運用，這就意味著等式的性質不僅要從各個維度、層面進行提煉、歸納，而且要盡可能地脫離天平的具象表征，逐漸向抽象化、符號化過渡，形成“情境——抽象——規(guī)律——新情境”的學習范式與路徑.

3 結合案例比較研究不同學段教師在小初同題課中的行為差異

3.1 關于天平實驗的兩種處理

由于A教師在五年級時已經帶領學生做過天平實驗，于是毅然決定“砍掉”這一環(huán)節(jié)，用簡易動畫來代替，A教師秉持著發(fā)展的觀念，希望在學生已有知識與活動經驗的基礎上尋求新的突破，而非停留在現(xiàn)有的水平之上.

與之形成鮮明對比的是B教師，B教師并不清楚學生在五年級時已經做過天平實驗.B教師分析了學生在上一學段的年齡特征與思維方式，特地增添了天平實驗的操作活動，他認為學生剛從小學過渡到中學，抽象思維能力還有所欠缺，需要通過動手實踐、分析觀察等方式積累數(shù)學活動經驗從而獲得等式性質的感性認識.

3.2 關于概念生成的兩種引入

A教師認為學生在五年級時已經學過方程的解與解方程的概念，而且從小初課本的表述來看幾乎沒有區(qū)別，只是設計了一個代值檢驗方程是否成立的環(huán)節(jié)，如將x=0，1，2，3，4，5代入方程2x+1=5、3x=3+2x等，當學生在計算時發(fā)現(xiàn)某個值能使等式成立，便得出本節(jié)課的兩個概念，采用了“一帶而過”的引入方式.

B教師由于常年在初三教學，深知本節(jié)課所蘊含的代數(shù)發(fā)展價值，其不僅是前一章中“求代數(shù)式的值”的延伸，更是后續(xù)探索“一元一次不等式”“一元二次方程”“函數(shù)”等代數(shù)分支的研究基礎.B教師設計了這樣的教學活動，先讓學生按方程的復雜程度依次口答能使等式成立的x值，分別是x+1=2，x-2=3，2x+1=5，3x=3+2x，13x-4=14x-1，8+6（n-1）=140，5+x=14（32+x）.學生對于前兩個方程能不假思索地迅速報出答案，但對于第三、第四個方程則需要一定的思考時間，后來通過談話得知由于在前兩個方程中一下子就找到了可以使等式成立的值，所以在后面的問題中雖然不能一眼“看”出答案，但會嘗試著將幾個可能的x值代入看等式是否成立.隨著方程復雜程度的提升，到第五個及之后的問題學生便無法再用類似的方法求出方程的解.B教師注意引導學生巧用枚舉法，以發(fā)展的眼光讓學生感受x的值與代數(shù)式的值之間的對應關系，滲透函數(shù)思想的同時引入本節(jié)課的兩個概念，并生成了研究方程優(yōu)化解法的必要性，體現(xiàn)了等式性質的學習價值.

3.3 關于目標達成的兩種見解

A教師意識到無論是解方程、方程的解的概念，還是等式的性質都在小學探索過，所以整節(jié)課前期非常緊湊，把大量時間留給了例題講解與練習.或許是因為小學教材中的習題大多數(shù)只需要用一次等式的性質就能解決，而A教師又想在此基礎上有所發(fā)展，所以適當加大了題量與難度，在A教師眼中將性質運用熟練了，能解更復雜的方程時，本節(jié)課的教學目標也就達成了.

B教師與A教師不同，他將本節(jié)課的教學重點與難點聚焦于數(shù)與式的比較與分析上.該教師從代數(shù)變形的角度讓學生先探索方程“2x+1=5”的解并說出變形的依據(jù)，學生基本上能用流暢的語言進行表述，但依然停留在“數(shù)”的層面，隨后繼續(xù)讓學生探索方程“3x=3+2x”的解并追問：你認為剛剛的表述嚴謹嗎？學生立馬發(fā)現(xiàn)若等式的性質不從數(shù)躍遷到式，在很多情況下便不再適用，從而想到將性質1中的“一個數(shù)”更改為“一個數(shù)或一個整式”.此時又有學生提出疑問，等式的性質2也需要作這樣的改動嗎？B教師順勢引導學生對等式兩邊同乘或同除一個數(shù)與一個整式的兩種情況作對比，并對其是否有意義進行討論，最終確定性質2不作任何改動，因為“式”具有不確定性與多樣性，若“式”中包含0，那么等式的性質便不再成立，B教師還以方程“3x=2x”作為反例加深了學生的理解和認識.

4 大觀念下借助于教材與課標對小初同題課的深度思考

4.1 從核心素養(yǎng)發(fā)展的大觀念角度進行分析

核心素養(yǎng)主要指學生應具備的，能夠適應終身學習和社會發(fā)展需要的必備品格與關鍵能力.學生在不同時期有不同核心素養(yǎng)的發(fā)展需求，例如本案例中的兩位老師對天平實驗的處理方式代表了各自學段視角下對核心素養(yǎng)的理解，其中分歧產生的主要原因在于等式性質的探究到底應該更傾向于“直觀”還是“抽象”，事實上無論在小學還是初中，這兩種素養(yǎng)的發(fā)展都是必要的，并非要進入一個二選一的定勢圈內，但若一定要有所偏重的話就需要以“大觀念”解讀關于不同學段的課標與教材之間的目標差異，并在此基礎上進行統(tǒng)領與權衡.

所謂“大”就是要全、要廣，要用發(fā)展的眼光看問題，要綜合分析能找到的任何體現(xiàn)學段特色的物化資料，如教材、課標等進行深度挖掘、分析與對比.比如基于上文中關于課標與教材的分析后發(fā)現(xiàn)，初中教材比較“明顯”地不希望學生繼續(xù)借助于天平實驗探索等式的性質，一是按要求該實驗在小學已經做過，完成一次實驗是需要大量時間和精力的，重復實驗體現(xiàn)不了任何價值;二是天平實驗只能探索等式與正數(shù)之間的運算關系，不利于由數(shù)到式的推廣，發(fā)展學生的代數(shù)意識;三是課標中對等式性質的要求由“了解”上升到了“掌握”，由“具體實例”得出性質，到運用于“新的情境”中去.天平只是體現(xiàn)等式性質的一種客觀存在，但并非只有天平才能體現(xiàn)，所以不能過度依賴，要嘗試與新的問題情境產生聯(lián)結;四是在小學教材中從引入到例題到習題幾乎全程以天平貫穿，在內容設置上以天平為載體螺旋式展開，沿著“天平—性質1—天平—例題1—天平—概念（方程的解、解方程）—天平—性質2”的路徑探索，唯獨在得到性質2后例題的設置首次脫離了天平背景，改為“長方體實驗田”作為新情境.如果說小學教材刻意將天平與方程“綁定”，借助于天平的直觀性來幫助學生理解方程的抽象性，那么在初中教材中對天平二字只字未提，也未曾出現(xiàn)以天平為背景的實際問題，這似乎就是在刻意“解綁”，希望學生更多地從數(shù)的角度去理解等式的性質.因為A教師是自下而上地教學，關注到了這一點，而B教師未涉足過小學領域，也沒有查閱相關資料，所以出現(xiàn)了這兩種不同的對待天平實驗的態(tài)度.

4.2 從學科結構發(fā)展的大觀念角度進行分析

概念教學應該注重對前概念的了解，基于學生的已有認識來設計教學，幫助學生科學、合理地建構新概念，尤其需要建立一個能凸現(xiàn)學科特征的知識結構，一個能體現(xiàn)“大觀念”的“大框架”，這里的“大”應該理解為生長，生長包括“橫跨”與“縱延”，要能從圖式系統(tǒng)的構建與生成出發(fā)，以不同的維度和視角進行擴展.那么如何找到學段、章節(jié)、課時之間的結構聯(lián)系，找到已有知識經驗與新概念之間的生長點呢？這就需要教師對整個學段甚至跨學段的教材與課標有整體且詳盡的認識，這樣才能以全局、交叉、融合的大觀念進行高位解讀，幫助學生形成深度、概貌樣的認識（如圖1）.

初中階段的課標將“數(shù)與代數(shù)”分為“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”三部分，方程位于數(shù)與式之后，列于不等式與函數(shù)之前，其在課標中所處的位置決定了本節(jié)課必然起到承前啟后的作用.在七年級上冊數(shù)學教材中，方程的前一章正是代數(shù)式，其中“求代數(shù)式的值”一課為用枚舉法研究方程的解提供了理論依據(jù)，同時也進一步揭示了研究解方程優(yōu)化解法的價值與必要性，是非常寶貴的教學資源與素材，在滲透函數(shù)思想的同時還能讓學生體會到方程的特殊性與代數(shù)式的一般性.初中教材用求代數(shù)式的值代替小學教材用天平引入方程的用意正來源于此.B教師由于長期從事初三教學工作，知道學生需要在初中階段搭建怎樣的代數(shù)知識體系，如何形成一個完整的“大代數(shù)觀”，這是一個反復滲透、逐步明晰的過程，否則學生對于代數(shù)的理解是支離破碎的，知識之間也是是相互割裂的.A教師沒有從事過完整的初中循環(huán)教學，也沒有過多地了解過初中的課程內容，在這方面有所欠缺.

另一方面，在第一學段與第二學段的課標中，雖然也有“數(shù)與代數(shù)”這一部分，但其更偏向于數(shù)的認識與運算，對于式的要求相對較低.如果說從“代數(shù)式—方程—函數(shù)”是一條橫向發(fā)展的主線，那么從“數(shù)—式”的躍遷則是本節(jié)課縱向延伸的另一條主線.既然小學已經學過等式的性質，那么初中再次學習的價值到底在哪里？縱觀學段之間的學習目標差異與素養(yǎng)發(fā)展要求，本節(jié)課的重點與難點就在于此，初中與小學最大的不同就是要逐步學會將數(shù)上升為式，要能以從特殊到一般的視角發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.B教師雖然沒有詳細地研究過小學課標與教材，但大致知道小學數(shù)學的學習基本以數(shù)為主，較少涉及式的研究，而初中階段除了七上第二章的有理數(shù)外，后面的代數(shù)部分幾乎都與式有關，比較精準地找到了本節(jié)課的生長點，幫助學生很好地區(qū)分了等式性質中數(shù)與式的不同，并在小學已有結論的基礎上加以修改，實現(xiàn)了由數(shù)到式的發(fā)展遷移，這既是思維層級的提升，也是數(shù)學觀念的完善.A教師同樣沒有以初中學段的視角看問題，沒有抓住這一凸顯學段特色的矛盾點，錯失了一次思維躍遷的良機.

5 結束語

在當今教育背景下，小學與初中是兩個教育系統(tǒng)，哪怕是九年一貫制學校的教師也是分開管理的.雖然目前也有很多關于小初銜接的教育研究，但若不是本次活動在教師安排上極具戲劇化的一幕，或許很難有機會觀看來自兩個不同學段的教師站在各自不同學段視角上一節(jié)兩個學段都有同樣主題的數(shù)學課.不過這樣一節(jié)特殊的“同題異構”課帶給我們的思考其實遠不止本文所提到的，這中間還存在著一些矛盾與對立，如城市與鄉(xiāng)村、男教師與女教師、青年與中年等，也有共性與統(tǒng)一，如年齡、心理、經驗等.作為一線教師，我們既是教育的實踐者，同時也是教育的研究者，只要有一顆想研究的心，哪里都可以引發(fā)深度思考，形成教育見解，幫助教師尋找心中屬于自己的教育哲學.

參考文獻

[1]楊裕前，董林偉.義務教育教科書·數(shù)學（七年級上冊）[M].南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2018.12.

[2] 孫麗谷，王林.義務教育教科書·數(shù)學（五年級下冊）[M].南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2013.5.

[3] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

作者簡介 周煉（1992—），男，江蘇泰州人，中學一級教師;曾獲江蘇省青年教師初中數(shù)學教學基本功大賽一等獎，泰州市“五一勞動獎章”“五一創(chuàng)新能手”，泰州市卓越教師培養(yǎng)對象，泰州市教壇新秀.

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