探究性長作業(yè)活動教學(xué)
——以《一次函數(shù)的應(yīng)用》教學(xué)為例

諸 蓮 上海市毓華學(xué)校

一、研究背景

數(shù)學(xué)教育從注重數(shù)學(xué)知識的講授轉(zhuǎn)向更加關(guān)注學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，注重知識的遷移和應(yīng)用，用學(xué)到的知識解決真實的生活問題，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。讓學(xué)生在真實的操作、生活問題解決的過程中進(jìn)一步領(lǐng)悟核心知識和體悟思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其要義是從“領(lǐng)會”到“探究”，而長作業(yè)就是提供給學(xué)生學(xué)以致用、解決真實問題的探究性活動。為了進(jìn)一步提升學(xué)生的探究合作、分析總結(jié)等能力，我們圍繞《一次函數(shù)》這一單元開展了長作業(yè)的實踐探索。

二、長作業(yè)活動的前期準(zhǔn)備

（一）基于學(xué)情，確定長作業(yè)目標(biāo)

《一次函數(shù)》是滬教版八年級下冊中的知識點，在學(xué)習(xí)此節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了變量、平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)、正比例函數(shù)的概念。在學(xué)習(xí)本單元的內(nèi)容后，學(xué)生要理解一次函數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)，能用一次函數(shù)相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題。

考慮到我們學(xué)校的學(xué)生情況，選擇九年級的學(xué)生參與此次探究活動?；趯W(xué)生的情況，我們確定了《長作業(yè)探究一次函數(shù)的應(yīng)用》的探究目標(biāo)：（1）通過在領(lǐng)會“一次函數(shù)”的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思考”，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高解決問題的能力；（2）經(jīng)歷實驗操作、數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)分析、建立模型、分析模型、得到結(jié)果的過程，獲得從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的數(shù)理方法，領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的實際意義；（3）通過自主探究及組內(nèi)的交流，培養(yǎng)學(xué)生自我管理和溝通協(xié)調(diào)的能力及批判性思維，在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

（二）基于目標(biāo)，選擇合適的主題

為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們不僅僅停留在表面學(xué)習(xí)，必須要讓學(xué)生有持續(xù)探索的沖動，因此“長作業(yè)”需要一個“真問題”來驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行持續(xù)的探究。

我們通過問卷訪談形式，讓學(xué)生圍繞函數(shù)這個知識點提出感興趣的問題，學(xué)生提出了如學(xué)生睡眠時間和年齡的關(guān)系、青浦環(huán)線時刻表設(shè)定的原因、家庭水電煤階梯收費的情況等問題。

但是這些問題不適合都布置成長作業(yè)，比如學(xué)生提出的“學(xué)生睡眠時間和年齡的關(guān)系”這個問題，現(xiàn)在電子產(chǎn)品的大范圍普及影響了時間和年齡這兩個變量之間的關(guān)系；又如“青浦環(huán)線時刻表設(shè)定的原因”，需要學(xué)生從早班車到末班車去各個站點實地考察記錄，記錄內(nèi)容大，考慮到安全問題和數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，調(diào)查起來難度較大。我們匯總所有問題后，進(jìn)行比較，最終選出了三個主題：

項目一 家庭電費調(diào)查。隨著網(wǎng)絡(luò)的興起，人們的生活充滿了各種家用電器，對于電的需求也越來越大，電費的收費標(biāo)準(zhǔn)一直在改變，那么現(xiàn)在的階梯電費是怎么收取呢？為什么這么設(shè)置呢？什么時候的用電量最大呢？

項目二 學(xué)校里浪費水資源的情況。水是不可再生資源，可是很多人生活中并沒有重視水資源，有很多浪費現(xiàn)象，比如學(xué)校里洗手后，水龍頭就隨便一關(guān)，沒有擰緊水龍頭，一個水龍頭一天會浪費多少水？整個學(xué)校一年又要浪費多少水？我們該如何節(jié)約用水？

項目三 火箭下降高度和時間關(guān)系的調(diào)查。隨著中國航天技術(shù)的發(fā)展，越來越多人重視火箭這方面的研究，學(xué)校里也開展了火箭興趣班，那么火箭下降的高度與時間之間存在怎樣的關(guān)系呢？火箭下降的原理又是什么呢？

這些主題前兩個和學(xué)生的日常生活相關(guān)，最后一個是學(xué)生感興趣的且學(xué)校內(nèi)有相應(yīng)的配套設(shè)施支持，它們都和函數(shù)這個核心知識緊密聯(lián)系，并符合學(xué)生能力的最近發(fā)展區(qū)。

（三）基于主題，設(shè)計長作業(yè)工作單

雖然有了活動主題，但是學(xué)生并不清楚怎么去完成。因此，我們首先要基于這些主題，確定好工作單的內(nèi)容，在設(shè)計工作單時要為學(xué)生提供學(xué)習(xí)支架并注重工作單整體的策略設(shè)計。

學(xué)生都是第一次接觸長作業(yè)，對于如何去做比較茫然，整個調(diào)查過程需要學(xué)生自主探究合作后嘗試總結(jié)，有很多外在的因素讓學(xué)生在探究的過程中脫離了最終的目標(biāo)。為了讓學(xué)生始終圍繞學(xué)科核心知識實施長作業(yè)，我們要為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)支架。這些學(xué)習(xí)支架作為橋梁，可以增加學(xué)生思維的梯度，同時又降低思維的難度，提高學(xué)生探究的興趣。因此，每一份調(diào)查主題我們都設(shè)計了一份長作業(yè)工作單，比如“家庭電費調(diào)查”：（1）集齊同一用戶一年度的電費發(fā)票聯(lián)；（2）根據(jù)發(fā)票的數(shù)據(jù)繪制用電量（千瓦時）與電費（元）之間的函數(shù)圖像；（3）分析并建立用電量（千瓦時）與電費（元）之間的函數(shù)關(guān)系；（4）根據(jù)探究的結(jié)果談?wù)勲娰M收費制度是否合理和節(jié)約用電的一些建議。通過這四個學(xué)習(xí)支架的設(shè)置，明確問題解決的步驟，又聚焦問題解決的數(shù)學(xué)方法。

（四）基于“工作單”，合理任務(wù)分配

由于學(xué)生之間存在差異，我們要合理分配各個長作業(yè)之間的任務(wù)。我們要區(qū)分各個任務(wù)的難易度，每份長作業(yè)、每一個任務(wù)都有不同層次知識的延伸，可以滿足不同水平學(xué)生的發(fā)展需求。比如“家庭電費調(diào)查”要求學(xué)生根據(jù)電費單描點作圖，根據(jù)圖形的特點，計算得到最符合趨勢的函數(shù)關(guān)系；“學(xué)校里浪費水資源的情況”要求學(xué)生自己動手操作實驗，再根據(jù)實驗數(shù)據(jù)得到每一個水龍頭浪費水與時間之間的變化規(guī)律；“火箭下降高度和時間關(guān)系的調(diào)查”要求學(xué)生學(xué)習(xí)火箭模型的組裝，并利用DIS 傳感器等設(shè)備記錄的實時數(shù)據(jù)分析時間和下降高度之間的關(guān)系。三個項目是三個不同方面的拓展，分別建立在不同水平學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。

三、長作業(yè)活動的探究過程

（一）學(xué)生自主探究解決“真問題”

長作業(yè)活動的整個探究過程都應(yīng)該在學(xué)生的興趣的驅(qū)動下進(jìn)行，在這個過程中學(xué)生習(xí)得的知識和方法得以遷移，思維得以提升，能力得到發(fā)展。我們希望此次活動能夠在學(xué)生的自主合作探究、教師加以適時的指導(dǎo)下開展。下面以項目一“家庭電費調(diào)查”為例簡單闡述。

1.查閱資料，提出假設(shè)

學(xué)生網(wǎng)上查閱了資料，發(fā)現(xiàn)電費三階收費標(biāo)準(zhǔn)，“電費—用電量”函數(shù)應(yīng)該是一個分段函數(shù)：第一段是用電量在0～3 120 千瓦時的第一檔用電量收費情況；第二段是用電量在3 120～4 800 千瓦時的第二檔用電量收費情況；第三段是用電量在大于4 800 千瓦時的第三檔用電量收費情況。

2.收集數(shù)據(jù)，繪制圖像

學(xué)生首先集齊了某用戶2019年度的12個月電費發(fā)票聯(lián)。觀察并分析發(fā)票聯(lián)，發(fā)現(xiàn)影響每月電費的變量有兩個，一個是峰時電量，一個是谷時電量，他們之間不存在確定的依賴關(guān)系，所以電費和用電量不是函數(shù)關(guān)系。學(xué)生決定將電費分成兩部分：“峰時電費—峰時電量”函數(shù)關(guān)系，“谷時電費—谷時電量”函數(shù)關(guān)系，分別畫出函數(shù)圖像進(jìn)行比較觀察。

另外3月份和8月份這兩個跳檔的月份未細(xì)分峰時和谷時的電量。如何較為準(zhǔn)確地分配呢？在老師的指導(dǎo)下，學(xué)生利用該月中峰時和谷時用電量的比來估算這部分電量中峰時、谷時的電量各為多少，并計算出相應(yīng)的電費，然后根據(jù)累計的用電量和累計的電費，運用EXCEL軟件繪制圖像。

3.分析圖表，提出假設(shè)

經(jīng)過逐一進(jìn)行計算分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)1～2 月用電量在第一檔，按第一檔的峰時和谷時費用收費；4～7 月份，用電量在第二檔，按第二檔的峰時和谷時費用收費；9～12月份，用電量在第三檔，按第三檔的峰時和谷時費用收費，這與第一次討論時的猜測基本吻合。

學(xué)生觀察預(yù)設(shè)的圖像和實際圖像，發(fā)現(xiàn)除了3 月份和8 月份以外，其他十個月的變化趨勢跟提出的猜測基本相同，但3月份和8月份都涉及兩檔電費，所以各有兩個點，3 月份的第一個點，用電量屬于第一檔，所以跟1月、2月的點在同一條直線上，3月份的第2個點，表示第二檔，峰時圖像比1 月、2 月的圖像陡些，相較于4～7 月份的圖像平緩些，由于三月份價格變動幅度不大，所以圖像變動不明顯。

4.建立模型，得出結(jié)論

從上述圖像的比較，我們發(fā)現(xiàn)：不管是“峰時電費—峰時用電量”函數(shù)圖像還是“谷時電費—谷時用電量”函數(shù)圖像，都不是我們最初預(yù)設(shè)的只是三段，受到跳檔收費標(biāo)準(zhǔn)的不同，都分為六段，可見在研究的過程中，猜測只是一個方向，而真正起到作用的是實際數(shù)據(jù)的詮釋。

（二）學(xué)生匯報交流、評價反思

在各小組完成探究后，學(xué)校組織讓各小組代表輪流匯報，展示成果。分享交流是學(xué)生思維表達(dá)的過程，在此過程中其他小組可以進(jìn)行評價、提出困惑，讓學(xué)生再次思考反思，進(jìn)一步提升了思維的層級。

比如項目一“家庭電費調(diào)查”在小組匯報的最后，調(diào)查組學(xué)生提出2、3 月份和8、9 月份是該用戶的用電高峰，這應(yīng)該是因為冬季天氣寒冷以及夏季天氣炎熱，開空調(diào)所致，可見，空調(diào)是我們生活中用電量驟升的主要因素之一。而其他小組則對跳檔月份的電量計算提出質(zhì)疑，調(diào)查組學(xué)生當(dāng)堂為大家展示了計算方法，并表示之后會向電力公司咨詢具體的收費標(biāo)準(zhǔn)。

四、長作業(yè)的反思與體會

1.通過本次長作業(yè)的活動我們發(fā)現(xiàn)長作業(yè)實施的幾個要點：（1）長作業(yè)需要強調(diào)課內(nèi)外核心知識的關(guān)聯(lián)，即有適切的主題是長作業(yè)開展的根本；（2）學(xué)生好奇心和求知欲的激發(fā)是長作業(yè)開展的靈魂和主線；（3）長作業(yè)的設(shè)計內(nèi)容與評價標(biāo)準(zhǔn)起到了導(dǎo)向功能；（4）長作業(yè)作為作業(yè)的一種類型，具備作業(yè)的基本功能，但是它更多關(guān)注的是大概念下學(xué)生自主的問題化學(xué)習(xí)；（5）教師更多的是關(guān)注、引導(dǎo)，遇到困難給予提示、點撥和指導(dǎo)，促進(jìn)研究的進(jìn)行。

2.通過本次活動，有的學(xué)生說：“對于一次函數(shù)解析式中的k和b又有了深一層的理解?！庇械膶W(xué)生說：“原來數(shù)學(xué)課還可以以活動課的方式呈現(xiàn)，通過本次活動，我更愛數(shù)學(xué)了。”也有的學(xué)生說：“通過本次活動，我們碰到了書本中碰不到的困難，但我們學(xué)會了分工合作，通過討論、嘗試各種方法并解決困難，我們都特別有成就感。”

3.老師們通過本次長作業(yè)活動發(fā)現(xiàn)學(xué)生不但對學(xué)習(xí)內(nèi)容感興趣，更能掌握學(xué)習(xí)方法，主動與他人合作交流，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，并且能在教師和同伴的互助下挑戰(zhàn)高層次的學(xué)習(xí)任務(wù)，享受高品質(zhì)的深度學(xué)習(xí)。

4.長作業(yè)研究的過程更像是教師和學(xué)生共同栽種了一棵生命之樹，這棵樹以核心知識為樹根，以學(xué)生興趣、學(xué)習(xí)能力為土壤，以學(xué)習(xí)工作單為樹干，以實踐過程為樹葉，教師陪伴學(xué)生，共同澆灌，共同成長。