分式常見錯誤例析

史新景

中考對分式的考查主要集中在分式有意義的條件和分式的化簡求值上。在2021年的中考試卷中，泰州、無錫考查了分式有意義的條件;南京、蘇州、無錫、揚州、鎮(zhèn)江、鹽城、徐州、淮安8個設(shè)區(qū)市考查了分式的化簡求值。有很多市對分式化簡的考查基本是逢考必有，比如徐州，自2013年以來，每年均在第19題的第2小題設(shè)置對分式化簡的考查，分值固定為5分。因此，不論是考查頻率還是題目的分值，分式的化簡均需引起同學(xué)們的重視。本文將以2021年江蘇省13個設(shè)區(qū)市中考數(shù)學(xué)試卷中分式的部分考題為例，和同學(xué)們一起揭開分式的面紗。

例1 函數(shù)y=[1x+1]中，自變量x的取值范圍是 。

【分析】若分式有意義，則其分母不為0，觀察原函數(shù)表達式可得答案。

解：∵x+1≠0，∴x≠-1。

故答案為x≠-1。

【點評】當函數(shù)表達式是分式，在求自變量取值范圍時，需考慮分式的分母不能為0。

例2 化簡：[4a][-a+82a]。

【分析】根據(jù)分式的加減運算法則即可求出答案。

解：原式=[82a][-a+82a]=[-a2a]=[-12]。

【點評】遇到分式的加減運算，解決的關(guān)鍵是找最簡公分母。確定最簡公分母的三步為：1.確定系數(shù)（各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)）;2.確定字母（各分母中的所有字母）;3.確定指數(shù)（各字母的最高次冪）。

分式化簡的最后結(jié)果一定是最簡分式或整式。因此，在加減計算之后一定要檢查是否還可以繼續(xù)約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，確定公因式也有三步：1.確定系數(shù)（分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)）;2.確定字母（分子、分母中都含有的字母）;3.確定指數(shù)（各字母的最低次冪）。

本題的易錯點是在通分時忽視了分數(shù)線具有括號的作用。我們應(yīng)將分子a+8看作一個“整體”，否則會在化簡時出現(xiàn)類似于原式=[82a][-a+82a]=[8-a+82a]=[16-a2]的錯誤。

例3 計算：（[ab2+ab][-2a+b][+ba2+ab]）

÷[a-bab]。

【分析】本題考查分式的加、減、乘法混合運算，需要先進行括號內(nèi)的運算，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法進行計算。

解：原式=[[ab（a+b）][-2a+b][+ba（a+b）]]

·[aba-b]

=[a2-2ab+b2ab（a+b）]·[aba-b]

=[（a-b）2ab（a+b）]·[aba-b]

=[a-ba+b]。

【點評】解決本題的關(guān)鍵是要明確分式混合運算的順序，有括號的要先進行括號內(nèi)的計算。確定最簡公分母時，要先把能進行因式分解的分母進行因式分解，比如此題將a+b看作整體，再確定最簡公分母為ab（a+b）。我們注意到，解題的第三步也涉及因式分解，所以在化簡分式時，要注意觀察各分子、分母，能因式分解的，一定要先進行因式分解，然后再進行計算。

例4 先化簡，再求值：（1+[1m-1]）·[m2-1m]，其中m=2。

【分析】先將括號內(nèi)兩式通分化簡，括號外分子因式分解，然后約分，代入m的值求解。

解：原式=（[m-1m-1][+1m-1]）·[（m+1）（m-1）m]

=[mm-1]·[（m+1）（m-1）m]

=m+1。

當m=2時，原式=2+1=3。

【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握因式分解及分式運算法則是解題關(guān)鍵。括號內(nèi)對“1”的處理是本題的易錯點，應(yīng)把“1”化為[AA]的形式。2021年蘇州、鎮(zhèn)江、徐州、淮安等市也對這一易錯點做了考查。此外，在代入求值時，如果遇到開放性的字母取值，我們一定要注意使原式中出現(xiàn)的分式都有意義，如本例中m值不能為0和1。

通過以上問題的解決，同學(xué)們應(yīng)不難總結(jié)分式化簡的一般步驟：

1.有括號先算括號內(nèi)的，加減法的計算關(guān)鍵在通分：尋找最簡公分母（分母能進行因式分解的要先進行因式分解，再按照三個步驟確定最簡公分母）;

2.進行乘除運算（除法變?yōu)槌朔ǎ?

3.分子、分母能因式分解的先進行因式分解;

4.約分：尋找公因式;

5.結(jié)果化為最簡分式;

6.代入相應(yīng)的數(shù)字或式子，求代數(shù)式的值。

只有明確了考查方向，掌握了正確的方法，再加上仔細審題，認真計算，分式的相關(guān)問題才能迎刃而解。

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）

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