Ti圖形計算器支持下的高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)實踐

周大勇

（江蘇省前黃高級中學(xué) 江蘇 常州 213161）

傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教育模式是教師在前面講授定義、公式和解題方法,學(xué)生在下面聽,記住老師所講的基本解題技巧,背熟公式，進(jìn)行大量練習(xí)。而Ti圖形計算器的使用可有效改變這一陳舊模式。Ti圖形計算器是一款既有計算功能又能繪圖功能甚至可以編程的計算器。Ti圖形計算器以其獨特的強大功能和小巧便攜,操作簡單的特點,成為現(xiàn)代數(shù),理,化等學(xué)科教育教學(xué)中的一種先進(jìn)的輔助工具,被人們廣泛稱為“掌上數(shù)學(xué)”,是當(dāng)今個人電腦所無法替代的。教師利用Ti圖形計算器探究復(fù)雜的高中數(shù)學(xué)問題，有助于教學(xué)化繁為簡、化難為易。學(xué)生也可利用這一技術(shù)自主研討數(shù)學(xué)問題。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生利用Ti圖形計算器觀察給定的數(shù)學(xué)事實，方便學(xué)生分析和深入研究，總結(jié)深層次的數(shù)學(xué)規(guī)律，而且學(xué)生也能把理解的數(shù)學(xué)規(guī)律、概念記得更牢。學(xué)生利用Ti圖形計算器探究復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式、概念等，能獲得更為嚴(yán)謹(jǐn)解釋或者是證明過程，這有利于高中生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)研究意識。

1.Ti圖形計算器學(xué)習(xí)價值分析

1.1 直觀形象呈現(xiàn)知識形成過程

高中數(shù)學(xué)知識晦澀難懂，形成過程也非常抽象復(fù)雜。僅憑教師的語言描述和文字講解難以保證學(xué)生能真正理解。此時可使用Ti圖形計算器來呈現(xiàn)知識形成的完整過程，進(jìn)而促進(jìn)高中生形成數(shù)學(xué)知識的直覺想象。Ti圖形計算器能描述幾何圖形的變化過程。而且還能演示三維立體圖形，在向?qū)W生展示知識形成過程時，有動態(tài)化、直觀化和形象化的特征。提高學(xué)生使用圖表研究數(shù)學(xué)問題的意識，能有效培養(yǎng)高中生對數(shù)學(xué)知識的直觀想象力，促進(jìn)高中生在研究數(shù)學(xué)問題時能逐漸增加深度，拓展廣度。

1.2 促進(jìn)教師積極更新教學(xué)理念

教師利用Ti圖形計算器展開教學(xué)活動，方便開展多種新的嘗試，積極更新教學(xué)觀念的同時，也將獲得新型教學(xué)觀念付諸于實踐。促進(jìn)教師教學(xué)行為的變化，更好體現(xiàn)課堂教學(xué)藝術(shù)，在此條件下，高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)水平也自然會有所提升。將Ti圖形計算器運用其中，學(xué)生讀死書的問題也能得到改善。課堂學(xué)習(xí)期間、課后自學(xué)期間，學(xué)生都樂于邊操作邊開動腦筋，這與學(xué)生本身好奇好動特征相適應(yīng)。有了Ti圖形計算器學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時興趣盎然，也真正讓抽象的數(shù)學(xué)知識活起來，Ti圖形計算器為高中生探究數(shù)學(xué)知識提供了一個好的平臺，促進(jìn)教師開展的教學(xué)活動良好適應(yīng)學(xué)生認(rèn)知特征。

1.3 有助于培養(yǎng)學(xué)生的建模能力

利用Ti圖形計算器能在講解高中數(shù)學(xué)知識時，建立科學(xué)有效的數(shù)學(xué)問題情境，促進(jìn)高中生形成數(shù)學(xué)建模意識。實踐中不難發(fā)現(xiàn)面向特定的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，能大大增強數(shù)學(xué)問題的鮮活性。高中生實際利用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，常常依賴于公式，容易陷入到機(jī)械的計算活動中。此時，高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的樂趣會大大降低。利用Ti圖形計算器完成數(shù)學(xué)建模的過程，有助于學(xué)生將更多的精力投入到探究和分析的學(xué)習(xí)活動中。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生更容易洞悉數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，也讓高中生能夠真正體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。將Ti圖形計算器應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，真正實現(xiàn)了信息技術(shù)與課程教學(xué)的深度融合，使得高中生的學(xué)習(xí)有效性大大提高，能參與更多探究性、實踐性的學(xué)習(xí)過程，深度學(xué)習(xí)有助于學(xué)生形成良好的探究能力，促進(jìn)高中生積極發(fā)現(xiàn)問題，并在短時間內(nèi)順利解決。學(xué)生利用Ti圖形計算器能順利進(jìn)行常規(guī)作圖，不僅如此學(xué)生的計算速度也大大提高。另外在Ti圖形計算器的輔助作用下，學(xué)生提出的問題更多更有價值。在解決這些問題的過程中，學(xué)生相互之間的交流次數(shù)也明顯增加。Ti圖形計算器具備無線導(dǎo)航功能，教師利用這一功能可實時了解到班級里任何一名同學(xué)的學(xué)習(xí)動態(tài)，此時教師給予學(xué)生有針對性的幫助也非常方便。

2.基于Ti圖形計算器促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實踐策略

2.1 重視課前預(yù)習(xí)自測

利用于Ti圖形計算器促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)要積極將提出的教學(xué)理論應(yīng)用于實踐。高中數(shù)學(xué)中的圓錐曲線直線存在性問題一直都是教學(xué)重點，有很大一部分學(xué)生在遇到這一類問題時萬分苦惱、望洋興嘆，在教學(xué)實踐中可嘗試?yán)糜赥i圖形計算器來幫助學(xué)生分析、研究和理解類似的問題，使得高中生能夠借助這一有效的探索發(fā)現(xiàn)、獲得知識的平臺克服學(xué)習(xí)上的困難。上課前，教師安排學(xué)生預(yù)習(xí)自測，為新課教學(xué)做好鋪墊。教學(xué)時教師加強對學(xué)生的引導(dǎo)，使得學(xué)生對問題的思考能朝著正確的方向發(fā)展，將思路集中到圓錐曲線存在的直線問題上。數(shù)學(xué)教師在不同的環(huán)節(jié)設(shè)置相應(yīng)的問題，在預(yù)習(xí)自測環(huán)節(jié)中，為學(xué)生準(zhǔn)備了兩個數(shù)學(xué)題目，一個是求弦所在的方程，另一個是公共點的取值范圍問題。在預(yù)習(xí)自測的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，教師要利用Ti圖形計算器實現(xiàn)對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的有效引導(dǎo)，為學(xué)生接下來類比圓錐曲線性質(zhì)做好鋪墊。有了課前的預(yù)習(xí)自測，學(xué)生在課堂上更有可能順暢的說出題目的解題思路和過程。解決相應(yīng)的問題需采用點差法、韋達(dá)定理，教師通過學(xué)生對問題的解答情況，就能了解學(xué)生對相應(yīng)基本解題技巧的掌握情況。

2.2 啟動情境設(shè)置疑問

2.2.1 概念情境

學(xué)生建立和掌握概念的前提條件是對概念有良好的理解，概念的生成過程自然而又流暢對學(xué)生理解有益。利用Ti圖形計算器為學(xué)生建立較為完整的概念學(xué)習(xí)過程，先是從具體到抽象，然后是從抽象到具體，最后是從孤立到系統(tǒng)。經(jīng)歷了這樣的過程，學(xué)生對概念的掌握才更加牢固。在實際的教學(xué)活動中，教師注重概念教學(xué)情境的建設(shè)，重視與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的實際生活距離更近，此時學(xué)生就會感到自己對數(shù)學(xué)知識是比較熟悉的。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，最終獲取是關(guān)鍵，學(xué)習(xí)和理解的過程也同樣重要。也就是說教師要把概念形成的過程以及概念提供的解題方法教授給學(xué)生。在學(xué)生的頭腦中建構(gòu)概念，要保證利用Ti圖形計算器設(shè)計出有梯度的教學(xué)情境，逐漸提高問題的難度，讓學(xué)生能夠產(chǎn)生探究問題的欲望，學(xué)生逐一解決概念性問題后，能產(chǎn)生成就感。教師創(chuàng)建合理的概念情境，讓學(xué)生產(chǎn)生交流溝通的欲望，學(xué)生回答教師提出的問題，逐漸找到解決問題的最佳途徑。教學(xué)完成后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧概念建立的整個過程，幫助學(xué)生總結(jié)關(guān)鍵內(nèi)容，將概念牢牢記住。

2.2.2 問題情境

高中數(shù)學(xué)課堂上，教師要善于激發(fā)學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)知識的欲望，需科學(xué)創(chuàng)設(shè)問題情境，將需要探究的數(shù)學(xué)問題作為主要依據(jù)。教師創(chuàng)建了合適的問題情境后，學(xué)生通過調(diào)動已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識，能發(fā)現(xiàn)問題，并在頭腦中產(chǎn)生一些與問題有關(guān)的數(shù)學(xué)線索。教師所設(shè)置的問題，最好是學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的進(jìn)階部分，是高中生深度探究后能解決并且學(xué)到新知識的問題。教師要積極創(chuàng)設(shè)容易引發(fā)學(xué)生思想沖突的情境，學(xué)生需要借助Ti圖形計算器來解決教師提出的問題。

例如在教學(xué)函數(shù)模型應(yīng)用知識時，教師在問題情境的創(chuàng)設(shè)上不僅注重激發(fā)學(xué)生探究欲望，而且重視將數(shù)學(xué)知識的魅力展示給學(xué)生。向?qū)W生發(fā)送了城市的GDP資料，學(xué)生在計算器終端就能接收到，要探究的問題是當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的數(shù)學(xué)反映。圖表顯示了某城市近十年來的經(jīng)濟(jì)總量變化情況，符合新中國成立后的經(jīng)濟(jì)變化形勢，學(xué)生在探究的過程中，能夠感受到該城市的綜合經(jīng)濟(jì)競爭力。教師利用Ti圖形計算器創(chuàng)設(shè)的問題情境，成功建立了數(shù)學(xué)與學(xué)生實際生活的聯(lián)系，也是高中生熟悉且比較關(guān)注的內(nèi)容，有助于消除同學(xué)們對知識的陌生感。為促進(jìn)進(jìn)一步深入探究，教師可將2021年還沒有公布的數(shù)據(jù)作為問題的線索，讓學(xué)生依據(jù)已經(jīng)獲得的條件和掌握的數(shù)學(xué)計算方法來估計2021年的GDP數(shù)值。在通過這樣的探究活動，使得同學(xué)們能夠發(fā)覺GDP數(shù)值與年份之間存在著的函數(shù)關(guān)系。

2.3 教師演示學(xué)生實踐

2.3.1 引導(dǎo)學(xué)生參與實踐

在探索數(shù)學(xué)知識的過程中，學(xué)生需積極使用Ti圖形計算器這一工具，進(jìn)入到深度學(xué)習(xí)狀態(tài)中。Ti圖形計算器能夠有效把抽象的知識以形象的方式展示出來，學(xué)生可借助Ti圖形計算器的圖像功能，推導(dǎo)并看到題目所要求的直線。

比如在教學(xué)圓錐曲線直線存在性問題時，教師通過Ti圖形計算器的無線系統(tǒng)功能向?qū)W生發(fā)送圓錐曲線直線存在性問題的題目，題目中給出了直線和橢圓的方程式，要求的是直線與橢圓的公共點。學(xué)生讀懂題目后，就會想到常規(guī)的解題思路，實踐操作一番后學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這一問題使用常規(guī)的解題思路費時費力，整個解題過程也越來越抽象，越來越困難。在這個過程中，學(xué)生并沒有良好掌握圓錐曲線直線存在性問題的重要知識點，在做題過程中學(xué)生也發(fā)現(xiàn)自己已經(jīng)遺忘了計算兩平行線距離的公式。在同學(xué)們一籌莫展之際，教師做出科學(xué)的引導(dǎo)，用Ti圖形計算器直觀呈現(xiàn)解題的思路和過程，這也是本節(jié)課教學(xué)的重點內(nèi)容，直觀詳細(xì)的呈現(xiàn)探究過程。在教師的演示下，學(xué)生也嘗試用Ti圖形計算器進(jìn)行解題，通過實際動手操作，確定了曲線與直線兩者的公共點個數(shù)。

學(xué)生通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，能更好的了解圓錐曲線中直線存在問題，同時也學(xué)會了用Ti圖形計算器來還原整個解題過程。有的學(xué)生在課堂上一步一步跟著教師演示，沒有絲毫的懈怠，而有的學(xué)生由于能力有限，跟不上老師的演示過程，沒有良好掌握圓錐曲線與直線共同點存在性問題的解題步驟。所以就需要教師帶領(lǐng)學(xué)生做進(jìn)一步的鞏固練習(xí)，設(shè)置變式練習(xí)題目，并將全班學(xué)生分成若干個小組，學(xué)生在小組中積極討論交流，進(jìn)而真正掌握利用Ti圖形計算器求解公共點的完整步驟。學(xué)生邊操作邊在草紙上落實規(guī)范的步驟和得到的結(jié)論，在這個過程中，學(xué)生的科學(xué)思維品質(zhì)得到有效鍛煉。

2.3.2 注重知識歸納總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)的探究性學(xué)習(xí)活動中，歸納總結(jié)是關(guān)鍵內(nèi)容，也是學(xué)生一節(jié)課學(xué)習(xí)的結(jié)果。此外，教師還應(yīng)重視對學(xué)生反思習(xí)慣的有效培養(yǎng)，使用Ti圖形計算器解決相應(yīng)的問題，完成這一過程后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，并反思質(zhì)疑。在歸納和總結(jié)的過程中，要從知識和方法兩方面入手，從而將課程所學(xué)內(nèi)容有效歸納出來。具體實踐中，教師需通過設(shè)置合理的問題來引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)。比如在教學(xué)圓錐曲線上直線存在性問題時，教師在歸納總結(jié)環(huán)節(jié)設(shè)計了三個問題：（1）探究知識過程中，你從Ti圖形計算器的演示過程中受到了什么啟發(fā)。（2）說出你學(xué)到的數(shù)學(xué)知識點和解決問題的方法，說出知識與方法之間的聯(lián)系與區(qū)別。（3）利用Ti圖形計算器探究圓錐曲線直線存在性問題的一般步驟是什么？

2.4 生動展示圖像變化

比如在教學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)時，教師將全班學(xué)生分成四人一個小組，課堂上，教師為學(xué)生演示操作，并要求學(xué)生跟著教師一起做。教師完成演示后，會在教室內(nèi)巡視，查看學(xué)生的實際動手情況。學(xué)生實踐過程中，難免遇到各種各樣的問題，組間同學(xué)對遇到的問題進(jìn)行深入的討論交流，并在學(xué)生實際使用Ti 圖形計算器過程中，教師全程為學(xué)生提供科學(xué)的指導(dǎo)。教學(xué)這一節(jié)的內(nèi)容要分三部分完成，學(xué)生拖動 P點，圖像發(fā)生相應(yīng)的變化，此時教師引導(dǎo)學(xué)生觀察并尋找角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，通過觀察這一內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生有效探求三角函數(shù)之間的關(guān)系，找到探索三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵線索。完成探究后，教師向?qū)W生總結(jié)結(jié)論，并搶到得到結(jié)論適用于任意角。

在第一部分的探究活動中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下探究有關(guān)于α的三個問題（α為任意角）：（1）說出α與-α終邊的位置關(guān)系。α與-α的終邊與單位圓交點的關(guān)系。（2）交點坐標(biāo)相互之間有什么聯(lián)系。（3）用等式表示α三角函數(shù)值。

在第二部分的探究活動中，思考的主要內(nèi)容是三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律，這也是三角函數(shù)的教學(xué)難點。如果不使用Ti圖形計算器，學(xué)生難以有機(jī)會實際進(jìn)行有關(guān)圖形變換規(guī)律的操作。也意味著學(xué)生不能很好了解三角函數(shù)圖像的變換規(guī)律。在有了Ti圖形計算器之后，教師能在課堂上演示變換的過程，幫助學(xué)生理解這一重要的規(guī)律，也能更好理解三角函數(shù)圖像變換知識的本質(zhì)。從學(xué)生的做題實際情況來看，學(xué)生對三角函數(shù)圖像規(guī)律不能很好理解，解題時經(jīng)常出錯，這是因為學(xué)生遺忘了三角函數(shù)變換規(guī)律，或者是混淆了三角函數(shù)圖像變換規(guī)律。教師利用Ti圖形計算器教學(xué)，探究問題經(jīng)過了觀察、猜想、驗證的過程，學(xué)生使用Ti圖形計算器將函數(shù)解析式輸入其中，主要是操作其中的游標(biāo)卡尺功能。三角函數(shù)解析式是y=sin（x+φ），要求學(xué)生思考φ對該解析式圖像的影響。Ti圖形計算器成功顯示圖像的變化過程。

在第三部分的教學(xué)活動中，教師給出的函數(shù)解析式是y=sin（ωx），利用Ti圖形計算器生動形象的展示ω對函數(shù)圖象的影響。并要求學(xué)生畫出分別畫出ω=0.5、1、2的圖像。要求學(xué)生設(shè)計探究方案、記錄實驗數(shù)據(jù)的表格，為后續(xù)的實驗分析提供可靠依據(jù)。學(xué)生設(shè)計了不同的實驗記錄表格，最終經(jīng)過教師的簡化，呈現(xiàn)出科學(xué)且實用的表格，表格中能記錄游標(biāo)卡尺ω的數(shù)據(jù)，同時也詳細(xì)展示圖像特點。

在上述教學(xué)活動中，Ti圖形計算器發(fā)揮了關(guān)鍵作用，能有效促進(jìn)學(xué)生在課堂探究活動中自主學(xué)習(xí)，順利完成實驗，得到有價值的實驗數(shù)據(jù)。如果沒有Ti圖形計算器，學(xué)生就只能借助“五點法”畫出函數(shù)圖像，得到的有效數(shù)據(jù)也不多。使用Ti圖形計算器這些問題就都得到了解決，呈現(xiàn)圖像的速度更快，質(zhì)量也更高。促進(jìn)學(xué)生深度思考，對一般情況與特殊情況有深度的理解。

總之，Ti圖形計算器有很高的教學(xué)價值，能幫助教師將數(shù)學(xué)知識直觀形象的呈現(xiàn)給學(xué)生，證明知識的過程更加流暢具體，有助于促進(jìn)高中生想象思維的發(fā)展，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。使用Ti圖形計算器促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，在實踐中教師應(yīng)重視學(xué)生的課前預(yù)習(xí)自測情況，課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中，創(chuàng)設(shè)科學(xué)合理的情境，設(shè)置有引導(dǎo)作用的問題，教師為學(xué)生演示數(shù)學(xué)問題的探究過程，學(xué)生也積極跟隨教師動手實踐，課堂教學(xué)結(jié)束后注重知識歸納總結(jié)。教師利用Ti圖形計算器生動展示圖像變化，使得高中生對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生深層次的理解。