“矩陣?yán)碚摗卑咐龓旖ㄔO(shè)的探索與實(shí)踐

李 敏，嚴(yán)志國，紀(jì) 鵬，朱禮營，郭俊美

（齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院)信息與自動(dòng)化學(xué)院 山東 濟(jì)南 250353）

控制工程專業(yè)研究生的培養(yǎng)目標(biāo)是培養(yǎng)控制專業(yè)領(lǐng)域的高層次應(yīng)用型專門人才，使他們具備堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)理論和寬廣的專業(yè)知識，有較強(qiáng)的解決實(shí)際問題的能力，能從事專業(yè)技術(shù)或管理工作的能力，擁有良好的職業(yè)素養(yǎng)等[1]。因此，控制工程專業(yè)學(xué)位研究生的課程教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)課程的理論性與應(yīng)用性的有機(jī)結(jié)合，尤其突出案例分析和實(shí)踐研究。

為了促進(jìn)專業(yè)學(xué)位培養(yǎng)的高效性，輔助工科學(xué)科前沿領(lǐng)域解決基礎(chǔ)理論問題，加大研究生必修課程的應(yīng)用實(shí)踐內(nèi)容勢在必行。必修課程的案例庫建設(shè)可以提高研究生運(yùn)用基礎(chǔ)理論知識進(jìn)行應(yīng)用研究的能力，拓寬研究生的專業(yè)視野，促進(jìn)交叉學(xué)科的研究，提升研究生的應(yīng)用創(chuàng)新能力。為推動(dòng)控制專業(yè)研究生的培養(yǎng)模式改革，齊魯工業(yè)大學(xué)控制專業(yè)已經(jīng)建設(shè)了一批案例庫，例如，智能控制系統(tǒng)與應(yīng)用，智能電網(wǎng)控制技術(shù)，系統(tǒng)仿真，數(shù)字圖像處理與應(yīng)用和工業(yè)系統(tǒng)故障診斷與預(yù)測等。自20世紀(jì)80年代以來，為了滿足各學(xué)科領(lǐng)域計(jì)算的需要，“矩陣?yán)碚摗敝鸩匠蔀楦咝？刂啤㈦娮?、電氣等工學(xué)類專業(yè)學(xué)位研究生的基礎(chǔ)理論課程之一。本文以控制工程專業(yè)“矩陣?yán)碚摗卑咐龓斓慕ㄔO(shè)為例，進(jìn)一步探究專業(yè)學(xué)位研究生的教育教學(xué)改革。

1 案例庫建設(shè)的國內(nèi)外現(xiàn)狀

案例教學(xué)是以案例為基礎(chǔ)，通過呈現(xiàn)案例解決過程的現(xiàn)實(shí)情境，將基礎(chǔ)理論知識與實(shí)際問題緊密結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決實(shí)際問題，從而掌握理論、形成觀點(diǎn)、提高能力的一種教學(xué)方式[2]。故案例教學(xué)對解決專業(yè)學(xué)位教育的理論實(shí)踐結(jié)合問題具有重要意義。

19世紀(jì)70年代，美國哈佛法學(xué)院和哈佛醫(yī)學(xué)院依次開展案例教學(xué)法。20世紀(jì)20年代哈佛商學(xué)院也開始運(yùn)用案例教學(xué)法。此工作奠定了哈佛商學(xué)院基于案例教學(xué)法進(jìn)行商業(yè)教育的主要引領(lǐng)者地位。從20世紀(jì)40年代中期開始，哈佛大學(xué)的案例教學(xué)法對外界的影響不斷擴(kuò)大。目前美國哈佛商學(xué)院雖然也采用課堂講授、模擬、實(shí)地調(diào)查或者其他教學(xué)形式，但80%以上的課程仍然采用案例法。其他國家大學(xué)的法學(xué)、醫(yī)學(xué)、工商管理教育等爭相效仿美國哈佛商學(xué)院的案例教學(xué)法。

我國專業(yè)學(xué)位教育引入案例教學(xué)法是在20世紀(jì)90年代。由于對案例教學(xué)法的認(rèn)知不夠，案例教學(xué)法的推廣比較緩慢。我國研究生案例教學(xué)的整體水平還比較低，雖有一部分大學(xué)和研究所在某些專業(yè)已經(jīng)施行案例教學(xué)，但缺乏公開的案例庫平臺，許多專業(yè)的課程案例庫還處于空白階段[3-5]。從哈佛商學(xué)院案例教學(xué)的發(fā)展歷程可以看出，案例庫建設(shè)是開展案例教學(xué)的前提。案例教學(xué)法已經(jīng)成為教學(xué)方法改革的重要措施之一，與之相對應(yīng)的案例庫建設(shè)也作為案例教學(xué)法的一個(gè)必要環(huán)節(jié)納入研究生課程建設(shè)的范疇。教育部關(guān)于加強(qiáng)專業(yè)學(xué)位研究生案例教學(xué)的意見指出“加強(qiáng)案例教學(xué)，是強(qiáng)化專業(yè)學(xué)位研究生實(shí)踐能力培養(yǎng)，推進(jìn)教學(xué)改革，促進(jìn)教學(xué)與實(shí)踐有機(jī)融合的重要途徑，是推動(dòng)專業(yè)學(xué)位研究生培養(yǎng)模式改革的重要手段?！盵1]

2 案例庫建設(shè)內(nèi)容

控制工程專業(yè)研究生應(yīng)掌握本學(xué)科的基礎(chǔ)理論，并能夠靈活運(yùn)用其創(chuàng)造性地解決控制專業(yè)工程問題；把握本學(xué)科的前沿動(dòng)態(tài)，在跟蹤本學(xué)科領(lǐng)域前沿的基礎(chǔ)上開展原創(chuàng)性的研究工作；掌握與數(shù)學(xué)方法、網(wǎng)絡(luò)與通信技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、圖像信息獲取與處理等相結(jié)合的跨學(xué)科領(lǐng)域的知識結(jié)構(gòu)，開展新興交叉學(xué)科的研究。為此，“矩陣?yán)碚摗卑咐龓觳捎萌壗ㄔO(shè)方案。

矩陣?yán)碚摽煞譃榫仃嚪匠?、矩陣范?shù)、矩陣分解、矩陣函數(shù)和廣義逆矩陣等現(xiàn)代理論組成部分?！熬仃?yán)碚摗卑咐龓焖婕暗幕A(chǔ)理論應(yīng)用主要分為三類：一是矩陣?yán)碚撛诟鱾€(gè)專業(yè)學(xué)科領(lǐng)域的基礎(chǔ)應(yīng)用；二是矩陣?yán)碚撟鳛榛A(chǔ)工具課程在相關(guān)課程中的關(guān)鍵作用，特別是控制理論學(xué)科方向的應(yīng)用案例，涉及的課程有“線性系統(tǒng)、隨機(jī)過程、最優(yōu)化方法、最優(yōu)控制、數(shù)字圖像處理與應(yīng)用和機(jī)器人控制技術(shù)”等；三是交叉學(xué)科領(lǐng)域運(yùn)用矩陣?yán)碚摰膹?fù)雜應(yīng)用案例。所建設(shè)案例要具備完整性、可讀性和規(guī)范性。案例庫根據(jù)應(yīng)用領(lǐng)域、適用場合和難度程度分為三個(gè)等級進(jìn)行建設(shè)。

第一級案例庫舉例：重點(diǎn)突出矩陣?yán)碚撛诟鱾€(gè)專業(yè)領(lǐng)域的基礎(chǔ)應(yīng)用。①矩陣基本運(yùn)算在圖像基本處理過程中的應(yīng)用：圖像可以用矩陣描述，給出了矩陣加減法及矩陣轉(zhuǎn)置與圖像相加、圖像求反及圖像轉(zhuǎn)置之間的關(guān)系，并利用MATLAB對經(jīng)典圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。②矩陣在電路分析中的應(yīng)用：首先構(gòu)造電網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)矩陣、基本回路矩陣和基本割集矩陣，然后基于矩陣知識運(yùn)用KVL和KCL定律分析電路，并求解復(fù)雜的電路問題。③矩陣在分析機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用：引入齊次變換矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣在機(jī)器人位姿描述中的作用。④矩陣在計(jì)算機(jī)視覺中的應(yīng)用：建立世界坐標(biāo)系與相機(jī)坐標(biāo)系的關(guān)系。⑤矩陣在幾何光學(xué)中的應(yīng)用：將光學(xué)系統(tǒng)看成一個(gè)2×2的ABCD矩陣，導(dǎo)出光的反射和折射定律的線性系統(tǒng)矩陣形式。⑥矩陣在網(wǎng)頁排序中的作用：借助鄰接矩陣的非負(fù)特征向量求得反映網(wǎng)頁重要性的權(quán)重。

第二級案例庫：重點(diǎn)突出矩陣?yán)碚撟鳛榛A(chǔ)工具課程在相關(guān)課程中的關(guān)鍵作用，特別是控制學(xué)科方向的專業(yè)課程。①向量、矩陣函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分在研究線性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判定條件中的應(yīng)用。②向量、矩陣函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分在研究線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制中的應(yīng)用。③線性空間基的思想和初等變換等在研究線性規(guī)劃最優(yōu)解的單純形算法中的應(yīng)用。④矩陣的范數(shù)和無窮級數(shù)在研究離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性中的應(yīng)用。⑤基于矩陣的哈密爾頓凱萊定理研究離散系統(tǒng)的李雅普諾夫方程的解的表達(dá)式。⑥基于矩陣運(yùn)算研究連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫方程的解的表達(dá)式。⑦矩陣冪級數(shù)和約旦標(biāo)準(zhǔn)型在求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)解的過程中所起的作用。⑧非奇異變換不改變狀態(tài)空間模型的能控性，借助系統(tǒng)矩陣的相似矩陣形式—約旦標(biāo)準(zhǔn)型來判定線性系統(tǒng)的能控性。⑨以線性定常系統(tǒng)為研究對象，運(yùn)用矩陣函數(shù)的相關(guān)知識和方法討論線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。⑩以矩陣冪級數(shù)的收斂性判別系統(tǒng)矩陣的譜半徑大小，以粗略估計(jì)特征值的大小或者分布范圍，從而判定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

第三級案例庫：重點(diǎn)突出交叉學(xué)科領(lǐng)域運(yùn)用矩陣?yán)碚摰膹?fù)雜應(yīng)用案例。①奇異值分解和矩陣范數(shù)在圖像降噪中的應(yīng)用：將奇異值分解和能量最小法則聯(lián)系起來，在代數(shù)空間中建立了一種圖像降噪的自適應(yīng)算法。②正交對角化和奇異值分解在圖像處理和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用：運(yùn)用主成分分析方法，針對衛(wèi)星圖像問題分析多維數(shù)據(jù)，只需要一兩幅合成圖像就可以提供大部分信息的有效方法。③基于矩陣奇異值分解的人臉識別方法：提出一種矩陣的秩逼近法，基于矩陣奇異值分解得出人臉識別新方法。借助ORL人臉數(shù)據(jù)庫進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并使用最近鄰決策規(guī)則進(jìn)行分類識別。④廣義逆矩陣方法在陶瓷坯料配方設(shè)計(jì)中的應(yīng)用：將陶瓷坯料配方問題轉(zhuǎn)化為求解廣義逆矩陣的問題，通過求解廣義逆矩陣，得到陶瓷坯料的最佳配方。⑤在通信信號數(shù)據(jù)融合算法中的應(yīng)用：鑒于試驗(yàn)中針對微弱通信信號的檢測難度比較大的問題，基于矩陣?yán)碚撎岢鲆环N通信信號數(shù)據(jù)的融合算法。⑥矩陣奇異值分解在分析配電網(wǎng)電壓諧波中的應(yīng)用：基于矩陣的奇異值分解法，選擇靈敏度矩陣對角元素的最大值為有源電力濾波器的最優(yōu)安裝方法。⑦在隨機(jī)過程隨馬爾可夫鏈中的應(yīng)用：以預(yù)測某一固定地區(qū)美國國會選舉的投票結(jié)果為案例，馬爾科夫鏈可以預(yù)測遙遠(yuǎn)的未來，初始狀態(tài)對馬爾科夫鏈的長期行為沒有影響。⑧在多輸入多輸出技術(shù)（MIMO）信道容量中的應(yīng)用：建立MIMO無線信道模型，基于相關(guān)矩陣?yán)碚摲治鯩IMO信道的相關(guān)性。利用奇異值分解計(jì)算MIMO信道容量。

3 案例庫建設(shè)的特色

①案例分級建設(shè)，難易結(jié)合，適應(yīng)不同層次學(xué)生的需求。第一級案例庫考慮課上學(xué)生的接受能力，選擇一些典型的不需較深專業(yè)背景的應(yīng)用案例，具有普遍的適用性；第二級案例庫考慮矩陣?yán)碚摰挠?jì)算工具功能，反映矩陣論在其他專業(yè)課程中的理論應(yīng)用，主要以控制專業(yè)的相關(guān)必修課程為主；第三級案例庫具有一定的深度和廣度，案例資源從學(xué)科前沿研究領(lǐng)域中搜集整理，既有相關(guān)工科專業(yè)的應(yīng)用背景案例，增加案例庫的普適性，也有深入地反映控制工程主要研究方向的應(yīng)用案例。

②案例的教學(xué)策略有兩個(gè)。一是對于前兩級案例以課內(nèi)應(yīng)用教學(xué)為主，配合其他研究生課程的教學(xué)，部分精講，部分粗講；二是對第三級的經(jīng)典案例采用專題形式進(jìn)行課內(nèi)精讀研究，與學(xué)生一起研究案例背景、問題的描述，分析矩陣?yán)碚撛诎咐械墓δ?，總結(jié)矩陣?yán)碚撟鳛楣ぞ咴谶@個(gè)研究方向的價(jià)值；大部分第三級案例以課外拓展為主，另外由學(xué)生自主選擇部分案例以小組報(bào)告的形式錄制視頻，進(jìn)行線下討論和交流。

③視頻案例庫的建設(shè)。課時(shí)是有限的，有些難度較大的案例很難在正常教學(xué)時(shí)進(jìn)行交流和討論，另外案例庫的資源很豐富，也不可能一一在課內(nèi)展示，所以建設(shè)在線視頻案例庫，供教師和學(xué)生在課下交流是非常有必要的。

④案例研究與教學(xué)研究并舉。案例庫的建設(shè)有助于提升研究生教育質(zhì)量，但對于課程建設(shè)而言，僅有案例庫是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。本項(xiàng)目把課程理論與案例實(shí)踐教學(xué)緊密結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生分析案例背景，運(yùn)用概念、性質(zhì)和定理結(jié)論解決工程背景問題。

⑤價(jià)值觀專業(yè)塑造。將思政教學(xué)融入典型教學(xué)案例，既有利于促進(jìn)學(xué)生掌握知識，又有利于提高學(xué)生個(gè)體的思想品德和素養(yǎng)，同時(shí)還有利于研究生將來的專業(yè)科研工作，促進(jìn)學(xué)生的智育、德育和科研能力的提高。

⑥案例庫資源涉及領(lǐng)域是多樣的。控制工程專業(yè)是為所有自動(dòng)控制行業(yè)服務(wù)的，與各類工科應(yīng)用領(lǐng)域相關(guān)。寬領(lǐng)域的案例庫增大了矩陣?yán)碚撜n程的信息量，促進(jìn)了學(xué)科交叉，拓寬了學(xué)生的應(yīng)用研究視野，啟迪了創(chuàng)新意識。

4 結(jié)語

案例教學(xué)不是簡單的例子教學(xué)，一個(gè)成功的案例教學(xué)離不開案例教學(xué)過程的合理設(shè)計(jì)[6]。在案例教學(xué)的過程中，首先明確案例的教學(xué)目標(biāo)，其次針對案例情境設(shè)計(jì)科學(xué)的思考問題，再次啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系案例情境所匹配的知識工具，逐步提供啟發(fā)性的分析路徑及邏輯，然后訓(xùn)練學(xué)生知識情境化應(yīng)用的過程，最終實(shí)現(xiàn)該案例教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)。

“矩陣?yán)碚摗卑咐龓斓慕ㄔO(shè)團(tuán)隊(duì)，既有控制工程專業(yè)各任課教師，又有各研究方向的碩士生導(dǎo)師。本案例庫經(jīng)過建設(shè)和實(shí)踐階段之后，矩陣?yán)碚摰乃枷敕椒ㄓ行鬟f給了后續(xù)控制工程專業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用研究教學(xué)和學(xué)習(xí)，也有利于“矩陣?yán)碚摗钡陌咐虒W(xué)與研究生培養(yǎng)目標(biāo)有效結(jié)合。