分式常見錯(cuò)誤例析

文／史新景

中考對(duì)分式的考查主要集中在分式有意義的條件和分式的化簡(jiǎn)求值上。在2021年的中考試卷中，泰州、無(wú)錫考查了分式有意義的條件；南京、蘇州、無(wú)錫、揚(yáng)州、鎮(zhèn)江、鹽城、徐州、淮安8個(gè)設(shè)區(qū)市考查了分式的化簡(jiǎn)求值。有很多市對(duì)分式化簡(jiǎn)的考查基本是逢考必有，比如徐州，自2013年以來(lái)，每年均在第19題的第2小題設(shè)置對(duì)分式化簡(jiǎn)的考查，分值固定為5分。因此，不論是考查頻率還是題目的分值，分式的化簡(jiǎn)均需引起同學(xué)們的重視。本文將以2021年江蘇省13個(gè)設(shè)區(qū)市中考數(shù)學(xué)試卷中分式的部分考題為例，和同學(xué)們一起揭開分式的面紗。

例1函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_____。

【分析】若分式有意義，則其分母不為0，觀察原函數(shù)表達(dá)式可得答案。

解：∵x+1≠0，∴x≠-1。

故答案為x≠-1。

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式，在求自變量取值范圍時(shí)，需考慮分式的分母不能為0。

例2化簡(jiǎn)

【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則即可求出答案。

解：原式

【點(diǎn)評(píng)】遇到分式的加減運(yùn)算，解決的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母。確定最簡(jiǎn)公分母的三步為：1.確定系數(shù)（各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)）；2.確定字母（各分母中的所有字母）；3.確定指數(shù)（各字母的最高次冪）。

分式化簡(jiǎn)的最后結(jié)果一定是最簡(jiǎn)分式或整式。因此，在加減計(jì)算之后一定要檢查是否還可以繼續(xù)約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，確定公因式也有三步：1.確定系數(shù)（分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)）；2.確定字母（分子、分母中都含有的字母）；3.確定指數(shù)（各字母的最低次冪）。

本題的易錯(cuò)點(diǎn)是在通分時(shí)忽視了分?jǐn)?shù)線具有括號(hào)的作用。我們應(yīng)將分子a+8看作一個(gè)“整體”，否則會(huì)在化簡(jiǎn)時(shí)出現(xiàn)類似于原式=的錯(cuò)誤。

例3計(jì)算

【分析】本題考查分式的加、減、乘法混合運(yùn)算，需要先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算。

解：

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是要明確分式混合運(yùn)算的順序，有括號(hào)的要先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的計(jì)算。確定最簡(jiǎn)公分母時(shí)，要先把能進(jìn)行因式分解的分母進(jìn)行因式分解，比如此題將a+b看作整體，再確定最簡(jiǎn)公分母為ab（a+b）。我們注意到，解題的第三步也涉及因式分解，所以在化簡(jiǎn)分式時(shí)，要注意觀察各分子、分母，能因式分解的，一定要先進(jìn)行因式分解，然后再進(jìn)行計(jì)算。

例4先化簡(jiǎn)，再求值，其中m=2。

【分析】先將括號(hào)內(nèi)兩式通分化簡(jiǎn)，括號(hào)外分子因式分解，然后約分，代入m的值求解。

當(dāng)m=2時(shí)，原式=2+1=3。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握因式分解及分式運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵。括號(hào)內(nèi)對(duì)“1”的處理是本題的易錯(cuò)點(diǎn)，應(yīng)把“1”化為的形式。2021年蘇州、鎮(zhèn)江、徐州、淮安等市也對(duì)這一易錯(cuò)點(diǎn)做了考查。此外，在代入求值時(shí)，如果遇到開放性的字母取值，我們一定要注意使原式中出現(xiàn)的分式都有意義，如本例中m值不能為0和1。

通過以上問題的解決，同學(xué)們應(yīng)不難總結(jié)分式化簡(jiǎn)的一般步驟：

1.有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的，加減法的計(jì)算關(guān)鍵在通分：尋找最簡(jiǎn)公分母（分母能進(jìn)行因式分解的要先進(jìn)行因式分解，再按照三個(gè)步驟確定最簡(jiǎn)公分母）；

2.進(jìn)行乘除運(yùn)算（除法變?yōu)槌朔ǎ?/p>

3.分子、分母能因式分解的先進(jìn)行因式分解；

4.約分：尋找公因式；

5.結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式；

6.代入相應(yīng)的數(shù)字或式子，求代數(shù)式的值。

只有明確了考查方向，掌握了正確的方法，再加上仔細(xì)審題，認(rèn)真計(jì)算，分式的相關(guān)問題才能迎刃而解。