一類帶對數(shù)非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階偽拋物方程的存在性與爆破

王冬秀,鄧啟剛,曾福庚

(貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴陽 550025)

考慮如下一類帶對數(shù)非線性項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階偽拋物方程的初邊值問題：

(1)

方程(1)在自然科學(xué)中有廣泛應(yīng)用,尤其可應(yīng)用到一些物理、生物場景.比如非線性、色散、長波的單向傳播[1],種群聚集[2]和晶體半導(dǎo)體中的非平穩(wěn)過程[3]等.

當(dāng)s趨向于1時,方程(1)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的拉普拉斯方程：

(2)

圍繞方程(2)解的性質(zhì)研究通常采用由Sattinger[4]、Payn和Sattinger[5]建立的位勢阱法以及一些改進(jìn)的位勢阱理論[6].Chen和Tian[7]給出了關(guān)于方程(2)解的最新理論,證明了全局存在性和無窮遠(yuǎn)處爆破等系列結(jié)果.對于其他結(jié)果,可參見文獻(xiàn)[8-11].

在分?jǐn)?shù)階情形下,Nezza等[12]在索伯列夫(Soblev)空間上建立了相應(yīng)的Sobolev不等式和Poincare不等式.Fu和Pucci[13]研究了方程：

(3)

(4)

并得到了方程(4)在初始能量J(u0)≤d時解的全局存在性、衰減性以及在無窮時間的爆破.

1 預(yù)備知識

首先回顧分?jǐn)?shù)階Soblev空間的一些定義和性質(zhì)[12].

注1當(dāng)p=2時,Ws,2(Rn):=Hs(Rn)是Hilbert空間.

定義能量泛函J(u)和Nehari泛函I(u)如下,

(5)

(6)

由引理1有

(7)

由式(5)(6)和(7),可得

(8)

(9)

緊接著定義位勢阱集

(10)

并且給出位勢阱集相對應(yīng)的集合為

(11)

其中d為位勢阱深度，

(12)

給出Neheri流形為

(13)

通過式(8)和式(9)有

(14)

下面給出弱解、最大存在時間、有限時間爆破的定義.

(15)

(iii) 對于0≤t

(16)

定義3(最大存在時間) 設(shè)u=u(x,t)是方程(1)中的解,最大存在時間定義為

(i) 如果u(x,t)存在區(qū)間為[0,∞),則Tmax=+∞;

(ii) 如果存在t0∈[0,∞),使得u(x,t)在0

2 主要結(jié)果和證明

(17)

(18)

由式(18)有J(um(0))→J(u0).對于足夠大的m和J(u0)

(19)

由式(18)和J(u0)0,可知對于足夠大的m,um0=um(x,0)∈W.下面證明um(x,t)∈W.由反證法,假設(shè)?t0∈(0,T0)使得um(x,t0)∈?W，即J(um(t0))=0且um(t0)≠0,則有J(um(t0))≥d,這與式(19)矛盾;若J(um(t0))=d,這也與式(19)矛盾.

因此,對于足夠大的m和0≤t≤T0有

um(x,t)∈W.

(20)

由式(14)(19)和(20)有

(21)

對于足夠大的m和0≤t≤T0,即

(22)

(23)

(24)

由式(22)可得T0=+∞.

(25)

umt?ut在L2([0,∞);L2(Ω))中弱收斂.

(26)

由式(25)(26)和Aubin-Lions-Simon引理[16]有

um→u在C([0,∞);L2(Ω))中強(qiáng)收斂.

因此，

(27)

(28)

由式(27)(28)可得

(29)

根據(jù)式(25)(26)和(29),在(17)中取極限m→+∞,則對a.e.t∈(0,+∞)有

(30)

對式(30)從0到t積分有

(31)

類似地,對式(17)從0到t積分,然后取極限m→+∞有

(32)

由式(31)(32)可得u(0)=u0.令θ(t)∈C([0,T])是非負(fù)函數(shù),則有

(33)

因此有

因?yàn)棣?t)是任意的,則有

證明由反證法,不妨設(shè)方程(1)具有全局解u(t),最大存在時間Tmax=+∞.定義

(34)

則有

(35)

(36)

由式(36)有

(37)

根據(jù)式(15)(16)可得

(38)

因?yàn)镴(u0)0,t∈[0,Tmax].

由引理2,?λ*∈(0,1),使得I(λ*u)=0,通過d的定義,可以推出

(39)

由式(38)(39),可得

(40)

結(jié)合(37)和I(u)<0有G″(t)>0,所以，

(41)

由式(36)和Holder不等式,有

(42)

結(jié)合(34)(40)和(42),得到

(43)

現(xiàn)在固定t0>0,那么由式(39)有

(44)

因此,

(45)

取T>t0足夠大,定義

(46)

那么,M(t)≥G(t)>0,M′(t)=G′(t)-G′(0)且G″(t)=M″(t)>0,則由式(42)可得,

(47)

(48)

(49)

3 結(jié)語