對(duì)稱三勢(shì)阱玻色—愛(ài)因斯坦凝聚體的非線性效應(yīng)

舒鵬麗，王燕鋒，雒衛(wèi)廷

(呂梁學(xué)院物理系，山西呂梁 033000)

自1995年首次實(shí)現(xiàn)堿金屬氣體原子的玻色—愛(ài)因斯坦凝聚[1]以來(lái)，原子間的非線性相互作用就成為研究者關(guān)注的內(nèi)容之一。雙勢(shì)阱的BECs 體系作為研究量子非線性隧穿行為的重要模型[2]，引發(fā)了很多迥異的物理現(xiàn)象，如能級(jí)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[3]，非線性不穩(wěn)定態(tài)的存在[4]等，特別是非線性約瑟夫振蕩和自囚禁現(xiàn)象[5]，實(shí)驗(yàn)中用BEC 的吸收譜直接觀測(cè)到這一現(xiàn)象[6]。隨著研究的深入，有不少工作致力于三勢(shì)阱的BECs 體系[7]，使得人們對(duì)BECs 的宏觀量子隧穿效應(yīng)有了更深刻的理解。對(duì)于三勢(shì)阱的BECs 體系，利用平均場(chǎng)近似得到的Gross-Pitaevskii 方程和經(jīng)典哈密頓理論[8]，來(lái)研究復(fù)空間的量子波函數(shù)和非線性的量子演化。本文從非線性薛定諤方程出發(fā)，在一定的初值條件下，研究粒子在三勢(shì)阱中出現(xiàn)的幾率密度隨非線性作用的演化關(guān)系。

1 物理模型

三勢(shì)阱中的BECs 在平均場(chǎng)近似下，可以用Gross-Pitaevskii 方程[4,8]來(lái)描述，其中GP 方程的波函數(shù)ψ(r,t)是3個(gè)勢(shì)阱中波函數(shù)的疊加，表示為：

其中，φj(r)可看作第j(j=1,2,3)個(gè)能級(jí)的基態(tài)波函數(shù)，aj(t)=是概率幅，滿足

經(jīng)代換，三勢(shì)阱的BECs 體系可用非線性Schr?dinger方程[9]描述：

假設(shè)第二個(gè)勢(shì)阱的零點(diǎn)能為0，γ和-γ是第一個(gè)勢(shì)阱和第三個(gè)勢(shì)阱的零點(diǎn)能，c是原子之間的相互作用強(qiáng)度，在討論中，設(shè)c>0，即原子之間相互排斥，v是三勢(shì)阱間的耦合常數(shù)。式（3）多出了原子相互作用導(dǎo)致的非線性項(xiàng)這時(shí)候Schr?dinger 方程式（2）不能解析求解，只能從數(shù)值上研究[10]非線性項(xiàng)所帶來(lái)的物理效應(yīng)。

2 對(duì)稱三勢(shì)阱，即γ=0

2.1 幾率密度在強(qiáng)弱非線性作用下的變化

從圖1 可以看出，在弱相互作用c=0.4 下，粒子在3 個(gè)勢(shì)阱間出現(xiàn)的幾率呈現(xiàn)Josephson 振蕩。(a)初始時(shí)，粒子都放在第一個(gè)勢(shì)阱中，隨著時(shí)間的演化，粒子可通過(guò)第二個(gè)勢(shì)阱隧穿到第三個(gè)勢(shì)阱，然后再隧穿回來(lái)；(b)初始時(shí)，粒子都放在中間勢(shì)阱中，粒子可隧穿到兩邊的勢(shì)阱，且左右勢(shì)阱呈現(xiàn)相同的振蕩周期；(c)初始時(shí)，粒子均勻分布在相鄰的兩個(gè)勢(shì)阱中，勢(shì)阱中的粒子都可隧穿到第三個(gè)勢(shì)阱中，但是中間勢(shì)阱的隧穿概率明顯小于左邊勢(shì)阱；(d)初始時(shí)，粒子均勻分布在不相鄰的兩個(gè)勢(shì)阱中，兩邊勢(shì)阱中的粒子可隧穿到中間勢(shì)阱中，且左右勢(shì)阱具有相同的振蕩周期。另外圖1(b)和(d)顯示，粒子相對(duì)勢(shì)阱對(duì)稱放置時(shí)，振蕩具有相同的周期。

圖1 幾率密度pj在弱非線性作用下隨時(shí)間的演化

圖2(a)和(b)為強(qiáng)相互作用c=5，(c)和(d)為強(qiáng)相互作用c=10，粒子在不同的初值條件下，都表現(xiàn)出自囚禁行為，這和對(duì)稱雙勢(shì)阱中的BECs 在強(qiáng)非線性作用的情況正好吻合[11]。

2.2 平均幾率密度隨非線性作用強(qiáng)度的變化

為更好地理解粒子在對(duì)稱三勢(shì)阱出現(xiàn)的幾率密度隨非線性作用的變化，引入平均幾率密度，研究平均幾率密度隨非線性相互作用c的演化關(guān)系，如圖3所示。選取初值與圖1相同。

圖3 平均幾率密度隨非線性相互作用c的演化

(a)初始時(shí)所有的粒子放在第一個(gè)勢(shì)阱中，當(dāng)0

(b)初始時(shí)所有的粒子放在第二個(gè)勢(shì)阱中，當(dāng)非線性作用小于臨界值時(shí)，粒子從第二個(gè)勢(shì)阱隧穿到左右兩個(gè)勢(shì)阱中，做周期性振蕩，第一個(gè)勢(shì)阱和第三個(gè)勢(shì)阱中的粒子具有相同的振蕩行為，隨著非線性作用的增大，粒子的隧穿行為逐漸減弱，發(fā)生自囚禁現(xiàn)象。

(c)初始時(shí)在第一個(gè)勢(shì)阱和第二個(gè)勢(shì)阱中各放入相等數(shù)量的粒子，粒子在非線性作用0

(d)初始時(shí)在第一個(gè)勢(shì)阱和第三個(gè)勢(shì)阱中各放入相等數(shù)量的粒子，第一個(gè)勢(shì)阱和第三個(gè)勢(shì)阱中的粒子具有相同的振蕩行為，這兩個(gè)勢(shì)阱中的粒子隧穿到中間勢(shì)阱中，振蕩隨著非線性作用的增大逐漸減弱，當(dāng)c>7.8時(shí)，粒子被束縛在各自的勢(shì)阱中。

圖3(b)和(d)可以看出，當(dāng)粒子相對(duì)勢(shì)阱對(duì)稱放置時(shí)，第一個(gè)勢(shì)阱和第三個(gè)勢(shì)阱的粒子的振蕩行為相同，約瑟夫振蕩和自囚禁現(xiàn)象隨非線性作用的增大變化明顯。當(dāng)粒子相對(duì)勢(shì)阱中不對(duì)稱放置時(shí)，圖3(a)和(c)，粒子的振蕩隨非線性作用的變化出現(xiàn)混沌，說(shuō)明對(duì)稱三勢(shì)阱中粒子的行為不僅受到非線性作用的影響，同時(shí)也受到不對(duì)稱初始值的影響。

2.3 混沌可通過(guò)改變相位初值轉(zhuǎn)變?yōu)樽郧艚?/h3>

圖3(a)和(c)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子在勢(shì)阱中不對(duì)稱放置時(shí)，粒子的振蕩隨非線性作用的變化出現(xiàn)混沌。對(duì)方程（2）進(jìn)行正則變換[4]，對(duì)稱三勢(shì)阱BECs 構(gòu)成的3能級(jí)量子系統(tǒng)相應(yīng)的正則方程為

從(4)～(7)式可以判斷p1、p2、p3、θ1、θ2，也可通過(guò)正則方程求得，并且p1、p2、p3的值受初始相對(duì)相位θ1、θ2的影響。如圖4，選取初值(a)(p1=0.7，p2=0.3，p3=0，θ1=0，θ2=π/2)；(b)(p1=0.7，p2=0.3，p3=0，θ1=0，θ2=π)，研究平均幾率密度隨非線性作用的變化關(guān)系。圖4(a)中粒子振蕩出現(xiàn)明顯的混沌區(qū)域，改變初始相對(duì)相位的取值，如圖4(b)，粒子的混沌行為被減弱，振蕩較平穩(wěn)地由混沌轉(zhuǎn)為自囚禁，可以看出相對(duì)相位可以控制混沌的產(chǎn)生和轉(zhuǎn)變。

圖4 平均幾率密度在改變初始相位下的演化

3 結(jié)語(yǔ)

利用平均場(chǎng)近似得到三勢(shì)阱BECs 的非線性薛定諤方程，采用數(shù)值求解的方法，模擬在不同的非線性相互作用c下，粒子出現(xiàn)的幾率，可得到BECs 相應(yīng)的非線性隧穿行為—約瑟夫振蕩和自囚禁，而且在一定的非線性作用范圍內(nèi)下，粒子出現(xiàn)不規(guī)則振蕩，即混沌現(xiàn)象，如改變相對(duì)相位的初始值，混沌可以平穩(wěn)地轉(zhuǎn)變?yōu)樽郧艚麪顟B(tài)，這為研究非對(duì)稱三勢(shì)阱的非線性效應(yīng)提供一定的理論基礎(chǔ)。