m-幾何凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型積分不等式

劉 倩，王淑紅

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028000)

凸函數(shù)是一個簡單而自然的概念，在工業(yè)、商業(yè)、 醫(yī)學(xué)和藝術(shù)中均有大量應(yīng)用.但遺憾的是涉及實際問題中的大量函數(shù)都是非凸函數(shù).這就促使人們考慮有別于通常凸性的其他形式的凸性，如擬凸函數(shù)、s-凸函數(shù)、預(yù)不變凸函數(shù)、p-凸函數(shù)、h-凸函數(shù)等，這些統(tǒng)稱為廣義凸函數(shù)，使其既能保持凸函數(shù)的一些良好性質(zhì)又具有比凸性更弱的條件，其實用的范圍卻比凸函數(shù)要廣.Toader[1]引入了m-凸函數(shù)的概念，并研究了m-凸函數(shù)的基本性質(zhì).Dragomir[2]建立了m-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard類不等式.Zhang等[3]引入了幾何凸函數(shù)和s-幾何凸函數(shù)的概念，并建立了一些幾何凸函數(shù)和s-幾何凸函數(shù)的Hermite-Hadamard類不等式.Tun?[4]建立了幾何凸函數(shù)和s-幾何凸函數(shù)的Hermite-Hadamard類積分不等式.Xi等[5]定義了m-幾何凸函數(shù)和(α,m)-幾何凸函數(shù)，并建立了一階可微單調(diào)遞減m-幾何凸函數(shù)和(α,m)-幾何凸函數(shù)的Hermite-Hadamard類不等式.?nalan等[6]建立了m-幾何凸函數(shù)和(α,m)-幾何凸函數(shù)的Simpson類不等式.Tun?[7]建立了m-幾何凸函數(shù)和(α,m)-幾何凸函數(shù)的Ostrowsk類Riemann-Louville分?jǐn)?shù)積分不等式.Baloch等[8]建立了調(diào)和(s,m)凸函數(shù)的Fejér類不等式.Bracamonte等[9]建立了第二種意義下互(s,m)-凸函數(shù)的一些不等式.在此基礎(chǔ)上，本文繼續(xù)研究m-幾何凸函數(shù)，建立了一些新的基于區(qū)間[a,b]上m-幾何凸函數(shù)的積分均值、區(qū)間[a,b]端點幾何均值的像和區(qū)間[a,b]端點像的幾何均值的Hermite-Hadamard類不等式.

1 預(yù)備知識

首先給出經(jīng)典凸函數(shù)的概念：

定義1[10-11]設(shè)f:I?R=(-∞,∞)→R，如果f滿足

f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y)，

其中x,y∈I,t∈[0,1]，則稱f(x)是I上的凸函數(shù).

下面的雙不等式就是著名的Hermite-Hadamard積分不等式.

定理1[12-13]設(shè)f:I∈R→R是一個定義在實區(qū)間I上的凸函數(shù)，a,b∈I且a

1985年，Toader引入了m-凸函數(shù)的概念.

定義2[1]設(shè)f:[0,b]?R→R,m∈(0,1]，如果

f(tx+m(1-t)y)≤tf(x)+m(1-t)f(y),

其中x,y∈[0,b],t∈[0,1]，則稱f(x)是[0,b]上的m-凸函數(shù).

2002年，Dragomir給出了m-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型積分不等式.

定理2[2]設(shè)f:[0，∞)→R是一個m-凸函數(shù)，0≤a

2012年，Zhang等人引入了幾何凸函數(shù).

定義3[3]設(shè)f:I?R+=(0,+∞)→R+,如果

f(xty1-t)≤[f(x)]t[f(y)]1-t,

其中x,y∈I,t∈[0,1]，則稱f(x)是I上的幾何凸函數(shù).

2012年，Tun?給出了幾何凸函數(shù)的Hermite-Hadamard類積分不等式.

定理3[4]設(shè)f:I?R+→R+是一個定義在I上幾何凸函數(shù).若f在區(qū)間[a,b]?I上是單調(diào)遞減的,則

2012年，Xi等人給出了m-幾何凸函數(shù)的概念，并建立了m-幾何凸函數(shù)的Hermite-Hadamard類積分不等式.

定義4[5]設(shè)f是[0,b]上的正值函數(shù)，t∈(0,1]，如果

f(xtym(1-t))≤[f(x)]t[f(y)]m(1-t),

其中x,y∈[0,b],m∈[0,1]，則稱f(x)是[0,b]上的m-幾何凸函數(shù).

定理4[5]設(shè)f:I?[0,∞)→(0,∞)是可微函數(shù).若f′∈L([a,b])，且|f′(x)|在區(qū)間[min{1,a},b]上是單調(diào)遞減的m-幾何凸函數(shù),0≤a

2 主要結(jié)論

為了方便起見，引入記號W0(x)=f(x),Wi(x)=fmi(xm-i),(i=1，2).對數(shù)均值L(u,v)：

(1)

定理5設(shè)f：I?R+→R+是一個可積函數(shù),a,b∈I且a

(2)

其中G(u,v)是幾何均值，L(u,v)是對數(shù)均值.

證明由f的m-幾何凸性有

(3)

取x=atb1-t,y=a1-tbt，代入式(3)有

(4)

將式(4)在區(qū)間[0,1]上對t積分，即得式(2)的左邊不等式.

再次利用f的m-幾何凸性，有

(5)

將式(5)在區(qū)間[0,1]上對t積分，即得式(2)的右邊不等式.

定理6設(shè)f：I?R+→R+是一個可積函數(shù)，a,b∈I且a

A(G(W1(b),L(W2(a),W0(a))),G(W1(a),L(W2(b),W0(b))))≤

(6)

其中A(u,v)是算術(shù)均值，G(u,v)是幾何均值，L(u,v)是對數(shù)均值.

證明在式(3)中分別取x=atb1-t,y=a1-tbt和x=a1-tbt，y=atb1-t得

求和得

(7)

將式(7)在區(qū)間[0,1]上對t積分，即得式(6)中的第一個不等式.

類似式(5)的討論，有

(8)

對式(5)和式(8)在[0,1]上對t積分，再利用式(7)即得式(6)中的第二個不等式.利用均方值不等式也得到式(6)的第三個不等式.

定理7設(shè)f：I?R+→R+是一個可積函數(shù)，a,b∈I且a

(9)

其中A(u,v)是算數(shù)均值，G(u,v)是幾何均值，L(u,v)是對數(shù)均值.

證明利用函數(shù)f的m-幾何凸性和均值不等式，得

(10)

將式(10)中第二個不等式在區(qū)間[0,1]上對t積分，即得式(9)中的第一個不等式.

再將式(10)中第三個不等式在區(qū)間[0,1]上對t積分，即得式(9)中的第二個不等式.

定理8設(shè)f：I?R+→R+是一個可積函數(shù)，a,b∈I且a

A(L(bW1(b),aW0(a)),L(aW2(a),bW1(b))),

(11)

其中A(u,v)是算術(shù)均值，G(u,v)是幾何均值，L(u,v)是對數(shù)均值.

證明類似定理7的討論，得到:

和

A(L(bW1(b),aW0(a)),L(aW2(a),bW1(b))).

3 結(jié)語

本文利用經(jīng)典的均值不等式和m-幾何凸函數(shù)的概念，建立了一些新的基于區(qū)間[a,b]上m-幾何凸函數(shù)的積分均值、區(qū)間[a,b]端點幾何均值的像和區(qū)間[a,b]端點像的幾何均值的Hermite-Hadamard類不等式.關(guān)于m-幾何凸函數(shù)以及(α,m)-幾何凸函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用還有待進(jìn)一步討論.