判斷函數(shù)奇偶性的三種途徑

王世輝

奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一.有關(guān)函數(shù)奇偶性問(wèn)題的常見(jiàn)命題形式有：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求參數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的值；等等.其中，判斷函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題側(cè)重于考查函數(shù)奇偶性的定義、簡(jiǎn)單基本函數(shù)的性質(zhì)和圖象.下面，結(jié)合實(shí)例，重點(diǎn)談一談如何判斷函數(shù)的奇偶性.

一、根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷

定義法是判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，也是比較常用的方法.若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可令 x =- x，求得 f（-x）的表達(dá)式，若 f（- x）=f（x），那么就可以判定該函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；若 f（- x）=-f（x），就可以判定該函數(shù)為奇函數(shù).

例1.判斷函數(shù) f（x）=|x +1|-|x -1|的奇偶性.

該函數(shù)的定義域?yàn)?R，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，將 f（-x）的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并與 f（x）、- f（x）相比較，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得出結(jié)論.值得注意的非奇非偶函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

二、根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷

函數(shù)的性質(zhì)有很多，如（1）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（2）奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù).在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，可巧妙運(yùn)用簡(jiǎn)單基本函數(shù)的這些性質(zhì)來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性.也可先根據(jù)題意，將函數(shù)式進(jìn)行合理的拆分，將其化為兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商；再根據(jù)簡(jiǎn)單基本函數(shù)的這些性質(zhì)來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性.

例2.已知 g（x）為偶函數(shù)，試判斷 f（x）= g（x）?的奇偶性.

將函數(shù)式 f（x）看成定義域相同的兩個(gè)函數(shù) g（x）與 f（x）的積，并分別判斷出這兩個(gè)函數(shù)的奇偶性，便可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)：偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，判斷出 f（x）的奇偶性.

三、根據(jù)函數(shù)的圖象判斷

根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可以出判斷函數(shù)的奇偶性.首先根據(jù)已知的函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象；然后仔細(xì)觀察函數(shù)在原點(diǎn)左右兩部分的圖象、在 y 軸左右兩部分圖象的特點(diǎn)，并作出判斷.圖象法較為簡(jiǎn)單、直觀，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫(huà)出正確的函數(shù)圖象.在解題時(shí)，根據(jù)已知的函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象，觀察圖形的特點(diǎn)，就可以判斷出函數(shù)的奇偶性.

例3.請(qǐng)判斷分段函數(shù) f（x）=〈的奇偶性.

解：分別作出函數(shù)在 x >0和 x <0時(shí)的圖象，如圖所示.通過(guò)觀察圖象可知：該函數(shù)關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，所以該函數(shù)是偶函數(shù).

對(duì)于一些較為復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)和抽象函數(shù)，我們很難畫(huà)出其圖象，那么此時(shí)就無(wú)法根據(jù)函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)性，可見(jiàn)，圖象法的適用范圍較小，往往只能用來(lái)解答較簡(jiǎn)單的函數(shù)以及分段函數(shù)的奇偶性問(wèn)題.

值得說(shuō)明的是，第二種途徑主要適用于解答由幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)問(wèn)題，第三種途徑適用于求解能夠畫(huà)出函數(shù)圖象的問(wèn)題，而第一種途徑的適用范圍就較為廣泛，對(duì)于大部分的函數(shù)奇偶性問(wèn)題，都可以通過(guò)該途徑進(jìn)行求解.（作者單位：江蘇省射陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)）