例析三類簡易邏輯問題的解法

葉松林

簡易邏輯問題的難度一般不大，但很多同學在解題時經常會出現錯誤.對此，筆者對三種常見的簡易邏輯問題及其解法進行了總結，以供大家參考.

一、充分條件、必要條件的判定

若p＝q，則p是q的充分條件；若q＝p，則p是q的必要條件.判定充分條件與必要條件的常用方法有如下三種.

1．定義法．運用定義法判定充分條件、必要條件，需先理清題目的條件、結論，判斷出“條件→結論”和“結論→條件”的真假.若“條件→結論”為真，而“結論→條件”為假，則為充分而不必要條件；若“條件＝結論”為假，而“結論＝條件”為真，則為必要而不充分條件.

2．集合法．可設集合A＝｛xlp（x）｝，表示命題p為真時變量x的取值范圍；B＝｛xlq（x）｝，表示命題q為真時變量x的取值范圍.若A是B的真子集，則p是q的充分而不必要條件；若B是A的真子集，則q是p的充分而不必要條件.

3．等價轉換法．若直接判斷命題的真假有困難時，則可以考慮判定它的等價命題，即逆否命題的真假.

例1．設點A，B，C不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是IAB＋ACI＞IBCI的（ ）.

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：因為點A，B，C不共線，所以AB與AC的夾角為銳角，可得AB·AC＞0．

因為IAB＋ACI＝AB＋AC2＋2AB·AC， IBCI=IAC-AB=AB+AC-2AB·AC， 所以IAB＋ACI＞IBCI，可得AB·AC＞0． 綜上可得，AB與AC的夾角為銳角，則IAB＋ACI＞IBC1．故選C項．

本題不僅考查了充分條件、必要條件的判斷，還考查了平面向量的線性運算、數量積、夾角.我們需將“AB與AC的夾角為銳角”視為條件，將“IAB＋ACI＞IBCI”視為結論，根據充分條件、必要條件的定義進行推理，得出結論.

二、寫全（特）稱命題的否定

寫全（特）稱命題的否定問題在高考中出現的頻率很高.題目一般以基礎題的形式呈現.寫含有一個量詞的命題的否定，需先明確這個命題是全稱命題還是特稱命題，并找到量詞的位置，對其進行否定，再寫出相應的否定結論.一些常用詞的“否定”：是→不是；全是→不全是；至少一個→都沒有；至多n個→至少n＋1個；小于→大于等于，對于含有邏輯聯結詞的否定，對應改變邏輯聯接詞，如p，q均變?yōu)閜，7q：p或q→yp且～q；p且q→7p或nq．

例2．（1）若命題p為假命題，命題～q為假命題，則命題“pVq”為假命題；（2）命題“若xy＝0，則x＝0或y＝0”的否命題為“若xy≠0，則x≠0或y≠0”；（3）命題“VxER，2＇＞0”的否定是“3xeR，2＂≤0”，則以上結論正確的個數為（）.

A.3

B.2

C.1

D.0

解析：（1）→q為假命題，則q為真命題，所以p，q一假一真，pVq為真命題，故（1）錯誤；

（2）“若…，則…”命題的否定，要將條件和結論均否定，而（2）中對“x＝0或y＝0”的否定應該為“x≠0且y≠0”，所以（2）錯誤；

（3）對于全稱命題的否定，要改變量詞和語句，且x的范圍不變．所以（3）正確．

因此本題的答案為C項.

需注意的是：全稱量詞的否定是存在量詞；存在量詞的否定是全稱量詞.對全稱命題或特稱命題否定時，需先更換量詞，然后再否定結論.全稱命題：p：VxEM，p（x）的否定為：p：xeM，p（x）；存在性命題： p：3xeM，p（x）的否定為-p：VxeM，-p（x）．

三、“任意型”“存在型”含參不等式問題

含有全稱或特稱量詞的含參不等式問題一般稱為“任意型”“存在型”含參不等式問題.一般可將“任意型”“存在型”含參不等式問題等價轉換為求兩個函數的最大或最小值，以及比較它們的大小問題.常見的轉化形式為：①Vx1E［a，b］和Vx2E［c，d］，恒有f（x）≤g（x2） M≤n；②］x，e［a，b］和Vx2E［c，d］，恒有f（x）≤g（x2）

例 3.已知函數 f （x）= 2e x + 2e -x 3 ，其中 e 為自然對 數的底數.

我們將“總存在 x1 ∈[-a，a]（a > 0）， 對任意 x2 ∈ R， f （x1） ≥ g（x2） 都成立”等價轉化為“函數 f （x） 在 [-a，a] 上的最大值不小于 g（x） 的最大值 ”.分別討論函數 f （x） 、g（x） 的單調性和最大值，建立滿足題意的關系式 即可解題.求解“任意型”“存在型”含參不等式問題，需 先將問題轉化為函數最值問題，然后將其轉化為不等 式恒成立問題.

總之，解答簡易邏輯問題，需熟練掌握基本定義 以及相關的結論，對題目中的條件、結論、量詞進行分 析、轉化，以便將問題轉化為易于求解的問題.（作者單位：江蘇省溧水高級中學）