巧用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)與數(shù)列問題

代思波

導(dǎo)數(shù)法是一種重要的解題方法.利用導(dǎo)數(shù)法解題，實際上是利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來求得問題的答案.對于一些與函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的最值、數(shù)列的最值有關(guān)的問題，利用導(dǎo)數(shù)法，可轉(zhuǎn)換解題的思路，將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題來求解，這樣便可從新的途徑尋找到解題的方案.

一、函數(shù)問題

導(dǎo)數(shù)是解答函數(shù)問題的重要工具，尤其在判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值時，靈活運用導(dǎo)數(shù)法，可有效地提升解題的效率.

1.判斷函數(shù)的單調(diào)性

一般地，若函數(shù) y =f（x）在區(qū)間 D 內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間 D 內(nèi) f ′（x）>0 ，則 f（x）在區(qū)間 D 上為增函數(shù)；若 f'（x）<0，則 f（x）在區(qū)間 D 上為減函數(shù).在解題時，可先對函數(shù)求導(dǎo)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)與0之間的大小關(guān)系，進而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性.

例1.若函數(shù) f（x）= ln（2x +3）+ x2 ，試討論 f（x）的單調(diào)性.

若題目中直接給出了函數(shù)的解析式，對于這種相對簡單的題目，可首先確定函數(shù)的定義域；然后對函數(shù)進行求導(dǎo)，并在其定義域內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系；最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系得出結(jié)論.

例2.已知函數(shù) f（x）= ln x +2x2+ mx +1在0， +∞內(nèi)單調(diào)遞增，求 m 的取值范圍.

有些函數(shù)式中含有參數(shù)，在運用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性時，若容易分離出參數(shù)，則先采用分離參數(shù)法將參、變量分離；然后對不含參數(shù)的式子進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式.若不容易分離參數(shù)，則需對參數(shù)進行分類，并在每一種情況下討論導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.

2.求函數(shù)的最值

運用導(dǎo)數(shù)法求可導(dǎo)函數(shù) y =f（x）的最值的步驟如下：

（1）利用導(dǎo)數(shù)公式及運算法則求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f'（x）；

（2）通過分解因式或利用求根公式求方程f'（x）=0在定義域內(nèi)的根；

（3）判斷 f ′（x）在方程 f ′（x）=0的根 x0左右兩側(cè)的符號.如果 f ′（x）在x0 的左側(cè)附近為正數(shù)、右側(cè)附近為負數(shù)，那么函數(shù) y =f（x）在 x = x0 處取得極大值.如果 f ′（x）在x0 的左側(cè)附近為負數(shù)、右側(cè)附近為正數(shù)，那么函數(shù) y =f（x）在 x = x0處取得極小值；

（4）若函數(shù)的定義域為閉區(qū)間[a， b]，則需將所求的極值與定義域端點處的函數(shù)值 f（a）、f（b）進行比較，最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值.

在求函數(shù)的極值時，往往可以結(jié)合函數(shù)的圖象或表格來分析問題，這樣有利于提升解題的效率.

例3.已知函數(shù) f（x）= x3-12x +8在區(qū)間-3， 3上的最大值與最小值分別為 M， m ，則 M - m =___.

在解題時，同學(xué)們要注意極大（?。┲蹬c最大（小）值之間的區(qū)別，在定義域為開區(qū)間時，極大（?。┲导礊楹瘮?shù)的最大（?。┲担辉诙x域為閉區(qū)間時，極大?????? （小）值不一定為函數(shù)的最大（?。┲?，有時最值在區(qū)間的端點處取得.

例4. 函數(shù) f（x）=? ，當(dāng) a≠0時，求f（x）的最值．

根據(jù)題意可知函數(shù)的定義域為 R，所以在利用導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性時，要用導(dǎo)函數(shù)的零點將實數(shù)集 R 劃分為三個子區(qū)間，并在每個子區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系.該解法中，用表格的形式直觀地呈現(xiàn)了導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，這為我們確定函數(shù)的極?。ù螅┲祹砹撕艽蟮谋憷?

二、求解數(shù)列問題

數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù).對于數(shù)列最值問題，通?？上葘?shù)列的通項公式、前n 項和式等看作關(guān)于n的函數(shù)式；然后對函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得最值.

利用導(dǎo)數(shù)法求解數(shù)列最值問題，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷數(shù)列及其關(guān)系式的單調(diào)性，從而根據(jù)其單調(diào)性求得最大、小值.

總之，在解答較為復(fù)雜的函數(shù)、數(shù)列問題時，同學(xué)們要學(xué)會將問題與導(dǎo)數(shù)關(guān)聯(lián)起來，利用導(dǎo)數(shù)法來判斷出函數(shù)、數(shù)列的單調(diào)性，從而使問題順利獲解.運用導(dǎo)數(shù)法解題的思路較為簡單，且容易入手，但是解題過程中的運算量較大.（作者單位：江西省宜春市第九中學(xué)（宜春外國語學(xué)校））