課程思政背景下的復合函數(shù)求導*

陳小燕 秦勇 梁素梅

（云南機電職業(yè)技術(shù)學院）

復合函數(shù)求導是導數(shù)與微分章節(jié)的重難點內(nèi)容，是導數(shù)計算中的“橋梁”，上接一般函數(shù)的導數(shù)計算，下連“隱函數(shù)、冪指函數(shù)、參數(shù)方程確定的函數(shù)”三大函數(shù)的導數(shù)計算。若復合函數(shù)導數(shù)計算未掌握，便在高等數(shù)學的學習中形成了阻礙，其難度打擊了不少學生學習高等數(shù)學的積極性，故而復合函數(shù)求導也是高等數(shù)學授課教師多年來積極探討的內(nèi)容之一。筆者于2021年11月19日在知網(wǎng)上以“復合函數(shù)導數(shù)”為主題進行搜索，搜索到586條記錄，其數(shù)量接近“高等數(shù)學課程思政”的兩倍，本文是在高等數(shù)學課程思政實施的背景下，對復合函數(shù)求導的一種新的教學嘗試。

一、高等數(shù)學課程思政介紹

“課程思政”于2014年在上海被提出，是指將思想政治教育貫穿于教育、教學全過程，將思想政治教育融合于通識課、專業(yè)課教學中，與思想政治理論課同向同行，實現(xiàn)全員、全程、全方位育人，從而達到立德樹人目的。

云南機電職業(yè)技術(shù)學院于2019年開始課程思政建設，分三批立項，迄今共建25門課程思政，既有公共基礎(chǔ)課、也有專業(yè)課，高等數(shù)學課程思政項目于2020年立項，迄今實施課程思政教學1.5個教學周期。在我院的高等數(shù)學課程思政教學中，項目組組建了融合式教學團隊，將思政教師納入團隊，負責團隊的思想政治理論培訓和案例的思想意識把關(guān)，團隊制定了課程思政的授課計劃和教案，明確了“教什么”“怎么教”，充分挖掘了高等數(shù)學課程中的思想政治元素，在教學設計中做到了“兩結(jié)合一貫穿”，即將數(shù)學知識的傳授和價值引領(lǐng)相結(jié)合，將培育和踐行社會主義核心價值觀與培養(yǎng)具有工匠精神的技能人才相結(jié)合，將中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、數(shù)學文化貫穿始終截至目前，團隊研討開發(fā)課程思政案例十余例，錄制課程思政授課視頻數(shù)段，充分利用網(wǎng)絡資源，采用線上線下混合式教學，經(jīng)問卷星調(diào)查，學生對引入的思政元素滿意度、對教師的教學滿意度達到88.5%，提高了高等數(shù)學課程的教學質(zhì)量。

二、課程思政背景下復合函數(shù)求導教學設計

復合函數(shù)求導是導數(shù)計算中的重難點內(nèi)容，是學生學習高等數(shù)學的一大阻礙，此重難點內(nèi)容打擊了部分同學的學習積極性。故而，筆者在本章節(jié)的教學設計中引入了堅持不懈、攻堅克難的科學家故事，引導同學們鍥而不舍、迎難而上，培養(yǎng)同學們勇于嘗試和探索的科學研究精神；筆者在本章節(jié)的教學實施中分析了復合函數(shù)求導公式的邏輯性和對稱性，引導同學們發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的美，一定程度上疏導了同學們的焦慮心情，培養(yǎng)同學們自主學習的能力和分析問題、解決問題的能力。在本章節(jié)的教學中，筆者采用雙螺旋式教學，數(shù)學知識的傳授和對綜合素質(zhì)能力的培養(yǎng)雙線并行。在教學設計中，根據(jù)學生情況制定教學目標，確定“教什么”“怎么教”，在教學過程中使用“引、思、論、探、測、評”6個環(huán)節(jié)，具體設計流程如圖1。

圖1 教學設計流程

圖2 教學方法分析

（一）摸清學生情況，教學設計有理有據(jù)

在我院，《高等數(shù)學》課程僅針對大一學生開設，大一學生對本課程的學習具有一定的積極性，00后的大學生喜歡使用手機進行學習，已習慣登錄智慧職教平臺進行學習，為混合式教學提供了條件；復合函數(shù)求導位于導數(shù)的四則運算法則之后，在此之前，學生已掌握一般函數(shù)求導的方法，已具備對復合函數(shù)求導的基礎(chǔ)。但我院學生文理方向均有，學生的數(shù)學基礎(chǔ)參差不齊，對于數(shù)學概念、定理的理解能力不一樣，多數(shù)同學在學習上有畏難情緒，部分同學缺乏自主學習的積極性和獨立思考的能力。

（二）分析教學目標，明確本章節(jié)教學重難點，確定“教什么”

根據(jù)教材內(nèi)容和學生情況，在復合函數(shù)導數(shù)章節(jié)的教學中，知識目標方面要使學生理解鏈式法則；技能目標方面要提高學生對數(shù)學概念、定理的理解能力，掌握復合函數(shù)的求導方法；素質(zhì)目標方面要培養(yǎng)學生不畏艱難、勇于嘗試和探索的科學研究精神，進而提高學生的綜合素質(zhì)。其教學重點為鏈式法則的使用，其難點內(nèi)容為復合函數(shù)求導。

（三）設計教學方法，明確“如何教”

經(jīng)日常教學觀察和數(shù)據(jù)收集發(fā)現(xiàn)，學生在進入復合函數(shù)導數(shù)學習時，有前后內(nèi)容銜接不順利、畏難情緒過重、對數(shù)學定理理解不到位、課時緊張等問題，故筆者在此章節(jié)采用了問題驅(qū)動法、線上線下混合式教學、類比教學法等教學方法。

（四）緊抓“引、思、論、探、測、評”六環(huán)節(jié)實施教學（見表1）

表1 課程思政背景下復合函數(shù)求導的教學實施

1.引：教師從課后作業(yè)和平臺課前測驗的情況，總結(jié)導數(shù)四則運算掌握的情況；利用的導數(shù)，對比與得出本章節(jié)的授課內(nèi)容；要求學生聚精會神聽課，跟隨授課教師的步伐，總結(jié)前次課內(nèi)容，分析個人的不足之處。 在對作業(yè)和測驗的分析中，展示優(yōu)秀樣本，并強調(diào)要逐步形成好的學習習慣。

3.論：教師請2-3人回答問題，點評，然后與學生一起討論上述問題，概括結(jié)論，引出復合函數(shù)求導法則；學生回答問題，在老師引導下討論上述問題。

4.探：教師講述曹聰稱象的故事，啟發(fā)學生得出曹聰稱象的方法，并將此方法遷移到復合函數(shù)求導中，以此得到復合函數(shù)求導的鏈式法則，引導學生歸納總結(jié)其四個步驟并講解例題。學生根據(jù)老師的講述主動進行知識遷移，理解復合函數(shù)求導的鏈式法則，掌握其求解步驟，記錄筆記；通過對曹聰象故事和鏈式法則的講解，將中國古人的智慧和數(shù)學的邏輯美、對稱美進行展示，增強大家的民族自豪感，激發(fā)大家的學習積極性。

5.測：教師給出課堂練習題，觀察學生練習情況，給予適當提示和糾正；學生完成課堂練習，進行匯報；通過課堂練習，讓學生體驗團隊合作提高團隊協(xié)作能力。

6.評：教師通過對練習情況的觀察和練習結(jié)果的考察，利用科學家的故事疏導同學們的畏難情緒，評價各個小組團隊合作的情況和復合函數(shù)求導鏈式法則的掌握情況，布置課后作業(yè)，簡要提出下次課的學習任務；學生聽取老師評價，做筆記，針對自身情況進行總結(jié)；通過科學家故事的講解，引導大家克服畏難情緒，嚴格按照四個步驟，逐步掌握復合函數(shù)求導方法。

（五）做好教學反思，總結(jié)經(jīng)驗再出發(fā)

本章節(jié)是導數(shù)計算中的重難點內(nèi)容，故設計用4學時來完成教學，另在線上平臺還上傳了課前預習視頻、課后復習視頻和課后測驗。經(jīng)個別交流、平臺互動和個人反思可見，在本章節(jié)的教學中還存在課堂教學中講解過長、留給同學思考的時間不足、未充分利用平臺數(shù)據(jù)、與實際生活關(guān)聯(lián)性不高等問題，在后期的教學實施中，將在上述方面進行改進。

三、課程思政案例

在以往教學過程和個別交流中發(fā)現(xiàn)，在復合函數(shù)求導章節(jié)中，個別同學畏難情緒重，其難度也打擊了部分同學的學習積極性，使其在思想上形成了一定壓力，進而抗拒學習。所以，在本章節(jié)的課程思政建設中引入了科學家不畏艱難、百折不撓的故事，幫助同學們重拾信心再出發(fā)；還引入了曹聰稱象的故事，幫助學生理解復合函數(shù)求導方法。

（一）有100次跌倒就有101次的爬起的愛迪生

托馬斯·阿爾瓦·愛迪生，世界著名的發(fā)明家、物理學家、企業(yè)家，被譽為“世界發(fā)明大王”，擁有重要的發(fā)明超過2000項，他發(fā)明的留聲機、電影攝影機和電燈對世界有極大影響。其實，愛迪生發(fā)明創(chuàng)造的過程并不是一帆風順的，而是屢敗屢試、總結(jié)經(jīng)驗再試驗的過程。他在研制電燈的過程中經(jīng)歷了上萬次的失敗。1878年9月，愛迪生決定向電力照明這個堡壘發(fā)起進攻，他決心制造出價格便宜、經(jīng)久耐用，而且安全方便，普通百姓也能用的電燈。他先后用炭絲、白金、鋇、鈦、錮等接近1600種材料進行了上萬次的試驗，但都未達到理想狀態(tài)，但愛迪生并未灰心，而是不斷總結(jié)經(jīng)驗、不斷試驗，終于在1879年10月21日，找到了可以連續(xù)發(fā)熱發(fā)光45個小時的材料，這是人類第一盞有廣泛實用價值的電燈，燈絲用碳化棉絲制成。但愛迪生并不滿足于此，而是為延長燈泡壽命而繼續(xù)研究。最后，愛迪生找到了竹這種植物，把炭化后的竹絲裝進玻璃泡，通上電后，這種竹絲燈泡竟連續(xù)不斷地亮了1200個小時。到了1906年，愛迪生又改用鎢絲來做，使燈泡的質(zhì)量又得到提高，被一直沿用到今天。

所以，在學習和工作中，困難不可怕、失敗也不可怕，失敗乃成功之母，我們要像愛迪生一樣，學會思考、善于總結(jié)，有100次跌倒，就有101次爬起，總結(jié)經(jīng)驗再出發(fā)，成功就在不遠處。在復合函數(shù)求導的過程中也一樣，我們要不怕困難，勇于挑戰(zhàn)，重視積累，一步一個腳印，逐步解決復合函數(shù)求導中的重難點問題，最終掌握復合函數(shù)求導這個知識點。

（二）“化整為零”的稱象思想

曹沖生五六歲，智意所及，有若成人之智。時孫權(quán)曾致巨象，太祖欲知其斤重，訪之群下，咸莫能出其理。沖曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則校可知矣。”太祖悅，即施行焉。曹聰稱象的方法，就是典型的化整為零思想和類比轉(zhuǎn)化思想。古時候，沒有能稱象的工具，曹聰就用類比轉(zhuǎn)化思想，先記錄象站在船上水平面達到的高度，然后在船中放入石頭。當水平面上升到相同的高度時，船內(nèi)石頭的重量和象的重量就是一樣的；然后，又用化整為零的思想，一部分一部分地稱石頭的重量，最后，將所有重量加起來，就是象的重量。實際上，復合函數(shù)的導數(shù)也是如此，整個復合函數(shù)導數(shù)很難求解，那么，我們便化整為零，將復合函數(shù)分割成幾部分，然后一部分一部分求導，最后再合起來。

在本章節(jié)引入曹沖稱象的故事，一是向大家介紹中國古人的智慧，增強大家的民族自豪感，激發(fā)學生的學習積極性；二是以實際例子說明數(shù)學來源于實際生活，服務于實際生活，建立“數(shù)學有用論”，增強學生學習主觀能動性；三是用類比轉(zhuǎn)化法得出復合函數(shù)求導的方法“化整為零”—鏈式法則，并以鏈式法則體現(xiàn)數(shù)學蘊藏的對稱美、邏輯美，幫助大家克服畏難情緒，舒緩緊張心情。

四、教學成效

通過課堂教學的觀察、課堂練習、課后作業(yè)、測驗和個別交流的反饋，在復合函數(shù)求導環(huán)節(jié)引入思政元素，達到了以下教學效果：

一是有效激發(fā)學生學習興趣，降低畏難情緒，提升學習主觀能動性，樹立自信心。授課教師在課堂上講解愛迪生發(fā)明之路的故事后，讓同學們明白了“世上無難事，只要肯攀登”，失敗是成功的墊腳石，失敗也是一種寶貴的經(jīng)歷，同學們在學習上的畏難情緒明顯降低。授課教師在課堂講解曹聰稱象的故事，讓同學們體會到了數(shù)學思維的重要性，激發(fā)了學習數(shù)學的興趣，學習的主觀能動性得以提升。

二是有效拉近師生距離，高等數(shù)學不再“高冷”。授課教師在課堂上進行思想政治教育后，同學們體會到了老師的人文關(guān)心和關(guān)懷，拉近了師生之間的距離；通過對曹沖稱象故事的分析，讓同學們體會到高等數(shù)學思想與實際生活的聯(lián)系，使高等數(shù)學不再“高冷”。

三是有效提高教學質(zhì)量。通過課堂練習、課后作業(yè)和測驗發(fā)現(xiàn)，引入了思政元素的復合函數(shù)求導后，同學們更易理解和掌握復合函數(shù)求導方法，高等數(shù)學其它知識點亦是如此。據(jù)統(tǒng)計，2018—2019學年上學期本教學團隊授課班級的及格率為84.14%，分數(shù)在90及以上的達5.08%；2019—2020學年上學期本教學團隊授課班級的及格率為87.67%，分數(shù)在90及以上的達6.27%；2020—2021學年上學期本教學團隊授課班級的及格率為89.84%，分數(shù)在90及以上的達9.6%，可見同一時期的及格率穩(wěn)步上升，教學質(zhì)量明顯提升。

經(jīng)廣大學者研究和本教學團隊的教學實踐證明，在高等數(shù)學課程中融入思政元素是一種行之有效的方法，在復合函數(shù)求導環(huán)節(jié)引入思政元素，可以有效激發(fā)學生的學習興趣、有效對抗畏難情緒、有效拉近師生距離、有效樹立學生信心、有效提高教學質(zhì)量，達到高等數(shù)學的育人功效。