評析抗疫模型試題 漫話數學建模教學

華志遠

摘? 要：從兩道以抗擊新冠肺炎疫情為背景的高考試題出發(fā)，研究試題的解法，評析其考查的要點. 并以具體案例為依托，對數學建模的含義、原則、方法及步驟等進一步探究，以期為今后開展數學建模教學起到積極的引導作用.

關鍵詞：高考試題;抗疫模型;數學建模;指數函數

當下課程改革以培養(yǎng)學生關鍵能力和核心素養(yǎng)為目標，數學建模教學尤其令人矚目.《普通高中數學課程標準（2017年版）》在論及課程內容時強調數學與生活及其他學科之間的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力，同時注重數學文化的滲透;在論及數學學科核心素養(yǎng)時，對數學建模的課程目標明確提出：要讓學生認識數學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神.

針對2020年全球暴發(fā)的新冠肺炎疫情，高考命題將相關數學模型融入其中，讓廣大師生感受到了數學與科技、社會、生活等的緊密聯系. 例如，2020年全國新高考Ⅰ（Ⅱ）卷第6題考查了新冠肺炎流行病的兩個基本參數，以估算疫情初始階段累計感染病例數增加1倍需要的時間. 再如，2020年全國Ⅲ卷文（理）科第4題利用Logistic模型評估疫情發(fā)展情況等，追蹤了社會熱點、分享了研究成果，對數學建模教學起到了良好的導向作用.

一、試題分析

例1 （2020年全國新高考Ⅰ / Ⅱ卷·6）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數. 基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間. 在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：[It=ert]描述累計感染病例數[It]隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 = 1 + rT. 有學者基于已有數據估計出R0 = 3.28，T = 6. 據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為（? ? ）.（ln2 ≈ 0.69.）

（A）1.2天 （B）1.8天

（C）2.5天 （D）3.5天

解：由題意，得[r=R0-1T=0.38.]

代入，得[e0.38t=2，]

即[t=ln20.38≈1.8.]

【評析】此題以刻畫加速變化的指數函數模型為背景，考查學生對指數、對數概念的理解，以及數學運算能力. 雖然難度不大，但是寓意深刻，體現了數學的應用價值.

例2 （2020年全國Ⅲ卷·文 / 理4）Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域. 有學者根據公布數據建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數[It]（t的單位：天）的Logistic模型：[It=K1+e-0.23t-53，] 其中K為最大確診病例數. 當[It*=0.95K]時，標志著已初步遏制疫情，則[t*]約為（? ? ）.（ln19 ≈ 3.）

（A）60? ?（B）63? ?（C）66? ?（D）69

解：由[K1+e-0.23t*-53=0.95K，] 得

[e0.23t*-53=19，]

即[t*=53+ln190.23≈66.]

【評析】此題以刻畫收斂變化的Logistic模型為背景，考查學生對數學模型的理解，以及對指數和對數運算法則的掌握情況，同時為抗擊疫情提供了一定的想象空間. 如[t=53]（天），呼應了人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）中放射元素的“半衰期”，這里[I53=K2，] 恰好為最大確診數之半.

筆者在單元復習教學中，讓學生研究了函數[It=][K1+e-0.23t-53]的圖象及性質，發(fā)現雖然該函數是關于t的增函數，但當t = 53時，卻是S形曲線的拐點. 從圖象可以得出判斷：某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數達到最大確診病例數一半之前，是病例數的加速增長期，過了這一點，病例數的增長率就會下降，最后趨向于0，即進入逐漸降低增長的時期. 為此，引入函數[It=][K1+e-pt-t0，] 引導學生對比、分析不同地區(qū)的疫情發(fā)展情況，讓學生感受我國在抗擊疫情領域取得的非凡成績.

二、數學建模的含義及原則

什么是數學模型？著名數學家徐利治在《數學方法論選講》中指出，數學模型是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數量依存關系，采取數學語言，概括或近似地表述出的一種數學結構，建立數學模型來分析、解決問題的過程叫做數學建模. 數學模型是靈動的數學，是一種反映真實情境，并加以簡化、抽象、概括、推演及修正，以表達真實世界、問題原型的數學形式及結構，它是對現實的一種量化刻畫或是對未來的預估. 因此，數學建模一般符合反映性、簡化性及可推演性等原則.

三、數學建模的方法及步驟

數學模型是數學思想方法內涵的外顯形式，是數學家運用數學解決實際問題的智慧結晶，它將多元、復雜的實際問題，通過選取主要因素轉化為數學問題. 因此，所有數學模型都是與某類實際問題逼近的近似值，但有時現實變化過快，使得一些數學模型必須進行迭代升級，才能重新獲得應用價值.

例如，教材“函數模型的應用”一節(jié)中提到，針對人口的快速增長，1798年，英國經濟學家馬爾薩斯提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：[dydt=ky，] 其中[yt]表示[t]時刻某地區(qū)的人口數，[kt]表示出生率與死亡率之差. 若該地區(qū)人口是穩(wěn)定的，可假設[k]是常數，則人口變化率[yt=kyt，] 求得[y=cekt，c]為任意常數（由于高中生知識的局限，教材直接給出了該函數）. 設[t0]時刻某地區(qū)的人口數為[y0，] 則[y0=cekt0，] 代入函數解析式，得[yt=y0ekt-t0.] 該模型在提出后的很長時期內都是適用的，1965年之后的35年中，計算值與實際值仍較為靠近，但隨著工業(yè)、科技和社會的發(fā)展，自然資源、食物、居住條件等參數發(fā)生了較大的變化，該模型就出現了較大的偏差，人口不但沒有快速增長，反而出現了負增長，因此必須對該模型加以修正. 1837年，荷蘭的數學、生物學家弗爾哈斯特引進了一個正常數b，建立了新的方程：[dydt=ky-by2，] 其中k，b稱為生命系統(tǒng)參數，用來刻畫人口的增長率. 求得[yt=ky0by0+k-by0e-kt-t0，] 當t→+∞時，[yt→kb.] 這意味著，無論人口的初始值是多少，它一定趨向于一個極限值[kb.] 當[0

建立數學模型的方法主要有兩類：一類是機理分析法. 例如，離散型的問題可以運用代數方法模型. 另一類是數據分析法. 例如，根據采集的數據進行最好的擬合，并加以回歸分析. 前面的人口增長模型就采用了機理分析法，受知識的限制，現行教材中大量采用的是數據分析法，常見的擬合函數有正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、指數函數、對數函數和三角函數.

數學建模一般會經歷模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析和模型應用等步驟. 由于前三個步驟的復雜性，當前高考多數只考查后三個步驟. 綜覽高考命題，1999年高考全國卷中曾出現過一道關于“冷軋鋼”的數學建模題，許多學生反映無從下手. 2013年高考江蘇卷中曾出現過一道關于乘索道下山與走下山的人相互等待不超過3 min的試題，許多學生面對題中的“兩次時間差”不知所措. 2014年高考江蘇卷中有一道關于古橋保護的試題，得分率依然很低. 2017年高考江蘇卷考查了一道以正四棱臺為背景關于玻璃棒在水中部分長度的試題，由于多數學生缺乏數學建模的能力，導致得分率極低. 可見，數學建模雖然在理論界、學術界和教學研究上是熱點，而在實際課堂教學中，卻受到廣大教師的冷落. 究其原因，首先是教學觀念上存在急功近利的傾向;其次是課程資源匱乏，教學方法單一. 因此，加強教師關于數學建模內容的培訓，開發(fā)和積累優(yōu)秀的教學案例，研究科學的教學方法，是今后一個階段的工作重點.

四、教學案例的呈現與評析

通過與通用技術組教師的合作，筆者對教材第162頁至第164頁的“數學建?；顒拥囊粋€實例”嘗試進行了“探究不同杯子的保溫效果”一節(jié)課，將測定溫度、科學探究、數據擬合與物理原理有機融合，課堂教學效果良好. 現呈現簡要流程如下.

提出問題：生活中的杯子形狀、大小、材質不同，其保溫效果有可能存在差異. 將85 ℃的熱水分別倒入大小相同的圓柱形無蓋陶瓷杯和玻璃杯，哪個保溫效果更好？

學生猜測：陶瓷杯的保溫效果更好，因為物理中有這樣的基本事實：玻璃的導熱性能比陶瓷好.

這一判斷是否正確呢？教師利用兩個防水溫度傳感器、秒表、Romeo控制器、USB數據線實驗器材，每間隔5分鐘，使用防水溫度傳感器分別測量兩只杯子中的水溫，待溫度基本穩(wěn)定后記錄數據，測量5次后停止，記錄數據如下表所示. 從表格中發(fā)現，玻璃杯中的水溫比陶瓷杯中的水溫下降得略快一些，但每次所測溫度差異不大，僅在0.02 ～ 0.26 ℃之間，因操作等因素，這樣的誤差可以忽略不計.

為什么與現實的假設不完全一致呢？如果改變杯子的厚度、水量等因素，測得的數據又會怎樣？學生在后來的分組實驗中觀察到，不加蓋子時，各種材質的杯子保溫效果幾乎相同;加了蓋子，保溫效果會產生明顯差異.

在教學拓展性討論時，學生發(fā)現了其中的奧秘：在實驗操作過程中，杯子是否加蓋子對保溫效果起到了極其重要的影響，也就是說導熱性是在封閉容器中才起作用，在開口狀態(tài)下，杯子主要依賴杯口向外釋放熱量. 于是，筆者引導學生閱讀教材第161頁的習題10：把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是[θ1]℃，空氣的溫度是[θ0]℃，那么t min后物體的溫度[θ]（單位：℃）可由公式[θ=θ0+θ1-θ0e-kt]求得，其中[k]是一個隨著物體與空氣的狀況而定的正常數. 再將表格中測得的某兩個對應數據分別代入，通過計算器的運算得到環(huán)境溫度約為24 ℃，這與當時的室溫基本吻合. 這樣從科學假設到實驗測量，從數據統(tǒng)計到分析思考，從物理考證到數學建模，都模擬了科學探究的主要流程，從而使學生真實體驗了數學建模的全過程.

現行教材中，圍繞數學建模開展的活動、探究、例題及習題等占據了較多的篇幅，與之相呼應，高考命題明顯加快了改革的步伐，逐步將數學建模素養(yǎng)的考查融入試題之中，隨著《中國高考評價體系》的實施，關鍵能力和核心素養(yǎng)將成為測試和評價的核心指標和因素. 希望一線教師更新觀念、加強研究，讓數學建模教學在紓難中前行，以順應數學課程改革的潮流，提升學生的核心素養(yǎng)，為培養(yǎng)創(chuàng)新型人才打下堅實的基礎.

參考文獻：

[1]徐利治. 數學方法論選講[M]. 武漢：華中師范大學出版社，1993.

[2]孫宏安. 談數學建模[J]. 中學數學教學參考（上旬），2018（4）：2-6，17.