高考數(shù)列全國(guó)卷與浙江卷對(duì)比研究

朱成萬(wàn) 王紅權(quán)

【摘要】2023年浙江高考將使用全國(guó)卷，全國(guó)卷與浙江卷差別很大，如何應(yīng)對(duì)全國(guó)卷是迫切需要研究的問(wèn)題.本文統(tǒng)計(jì)近5年浙江卷與全國(guó)卷（數(shù)列部分）的題量、分值及知識(shí)點(diǎn)，對(duì)它們進(jìn)行系統(tǒng)地分析，并提出一些教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】高考;全國(guó)卷;浙江卷;復(fù)習(xí)教學(xué)

浙江省自2004年自主命題以來(lái)，形成了自己獨(dú)特的風(fēng)格，浙江教師的教學(xué)也形成了與之相應(yīng)的教學(xué)套路.比如，浙江卷常常把數(shù)列作為壓軸題，考查數(shù)列與不等式的綜合，浙江教師的思維定式是“因?yàn)榕c不等式放縮結(jié)合，所以高考數(shù)列題很難”，教學(xué)中出現(xiàn)大量的難題偏題、甚至怪題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)列望而生畏.2023年浙江省高考將使用全國(guó)卷，全國(guó)卷中的數(shù)列試題會(huì)有何特點(diǎn)？如何根據(jù)全國(guó)卷的特點(diǎn)來(lái)組織教學(xué)？這是迫切需要研究的問(wèn)題.

本文研究近5年（2017年～2021年）高考數(shù)列試題，其中浙江卷5份全為文理合卷，全國(guó)卷16份全為理科卷，分析它們的異同，以期對(duì)教學(xué)有啟示作用.

1數(shù)列題量與分值對(duì)比分析

1.1題量、分值統(tǒng)計(jì)

下面統(tǒng)計(jì)近五年高考浙江卷、全國(guó)卷中數(shù)列的題量與分值.

1.2題量、分值分析

從表1可以看出，無(wú)論是浙江卷還是全國(guó)卷，數(shù)列均是高考必考內(nèi)容，也是重點(diǎn)考查內(nèi)容，在試卷中處于重要地位.

就題型與分值而言，兩者還是有差別的.浙江卷中數(shù)列的題量與分值相對(duì)穩(wěn)定，每一年都有2題，分別為1道小題和1道大題，平均分值為19分.全國(guó)卷的題量與分值波動(dòng)較大，題量有的試卷為1題（比如2017年卷Ⅰ），有的為3題（比如2020年卷Ⅱ）;有的只有小題（比如2017年卷Ⅱ），有的只有大題（比如2021年的甲卷與乙卷）;分值最低為5分，最高為17分，16份試卷中數(shù)列的平均分值為10.68，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于浙江卷的分值.

需要注意的是，近兩年的新高考試卷中數(shù)列的題量與分值與浙江卷接近.

2考查內(nèi)容對(duì)比分析

2.1考查內(nèi)容統(tǒng)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)列的學(xué)習(xí)要求是：“通過(guò)對(duì)日常生活中實(shí)際問(wèn)題的分析，了解數(shù)列的概念;探索并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的變化規(guī)律，建立通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式;能運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用;了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.”＼[1＼]

下面統(tǒng)計(jì)近5年數(shù)列內(nèi)容在全國(guó)卷與浙江卷中的考查次數(shù)，以及對(duì)應(yīng)的年份與題號(hào).

2.2考查內(nèi)容分析

基于以上統(tǒng)計(jì)，并深入地進(jìn)行系統(tǒng)分析，從表2不難看出，高考對(duì)數(shù)列的考查，浙江卷與全國(guó)卷有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

2.2.1浙江卷考點(diǎn)集中，全國(guó)卷考點(diǎn)分散

從表2可以看到，浙江卷的考查內(nèi)容主要集中在3個(gè)方面：數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的和以及數(shù)列與不等式的綜合;全國(guó)卷的考查內(nèi)容相對(duì)分散，涉及9個(gè)知識(shí)點(diǎn)，除數(shù)列的通項(xiàng)外，其余知識(shí)點(diǎn)的考查頻率、分布都比較均勻.

從考查內(nèi)容看，兩者有一致的地方，也有不一致的地方.一致的是，數(shù)列的和與通項(xiàng)都是反復(fù)考查的重點(diǎn)內(nèi)容，兩者都沒(méi)有考查數(shù)列與函數(shù)的綜合.不一致的是，全國(guó)卷多次考查等比數(shù)列求和，等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合，浙江從未考查;全國(guó)卷4次考查數(shù)列的應(yīng)用，浙江卷從未考查;數(shù)列與不等式的綜合浙江卷考查了4次，而全國(guó)卷從未考查.

2.2.2兩者都注重對(duì)等差、等比基本概念和基本性質(zhì)的考查

等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩類(lèi)最重要、最基本的特殊數(shù)列模型，是兩者同時(shí)考查的重點(diǎn)內(nèi)容.表2中“等差數(shù)列的概念與性質(zhì)、等差數(shù)列的和，等比數(shù)列的概念與性質(zhì)、等比數(shù)列的和”4個(gè)欄目都屬于等差、等比基本概念和基本性質(zhì).全國(guó)卷共考查了19題，出現(xiàn)頻率為86%，浙江卷考查了3題，出現(xiàn)頻率為60%.可見(jiàn)，全國(guó)卷對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的考查頻次高于浙江卷.

全國(guó)卷對(duì)數(shù)列的基本概念與性質(zhì)的考查，題型可以分為三類(lèi)：一是僅考查等差數(shù)列的基本量（a1，an，d，n，Sn），比如2019年全國(guó)卷Ⅰ理科第9題;二是僅考查等比數(shù)列的基本量（a1，an，q，n，Sn），比如2019年全國(guó)卷Ⅰ理科第14題;三是考查等差與等比的綜合，比如2017年全國(guó)卷Ⅲ理科第9題.

2.2.3浙江卷強(qiáng)調(diào)解題技巧，全國(guó)卷注重知識(shí)應(yīng)用

浙江卷與全國(guó)卷對(duì)數(shù)列的考查側(cè)重點(diǎn)不同，對(duì)不同考點(diǎn)的取向不同，例如“數(shù)列與不等式”在浙江卷中作為壓軸題反復(fù)出現(xiàn)，而全國(guó)卷從未出現(xiàn).數(shù)列不等式綜合題是以數(shù)列的通項(xiàng)、遞推公式、前 n 項(xiàng)和為載體，考查數(shù)列的構(gòu)造、求和、等價(jià)轉(zhuǎn)化以及不等式放縮等，需要較強(qiáng)的解題技巧.例如2021年浙江卷第10題，該題作為選擇題的壓軸題，難度非常大，需從結(jié)構(gòu)入手，將遞推關(guān)系進(jìn)行放縮，其中放縮的方向，放縮的幅度都不容易看出.學(xué)生沒(méi)有經(jīng)過(guò)類(lèi)似訓(xùn)練，沒(méi)有高超的解題技巧是做不出的.

全國(guó)卷強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，例如2020年全國(guó)卷Ⅱ理科第4題，此題以北京天壇的圜丘壇為背景，將高考數(shù)學(xué)試題與中國(guó)古代文化相結(jié)合的考查形式，展現(xiàn)了文化自信，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

可見(jiàn)，浙江卷對(duì)數(shù)列的考查更注重能力的培養(yǎng)，著眼于知識(shí)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的綜合應(yīng)用，而全國(guó)卷在注重基礎(chǔ)的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)聯(lián)系實(shí)際，著眼于知識(shí)在數(shù)學(xué)外部的綜合應(yīng)用.

2.2.4從題目的難易看，浙江卷相對(duì)較難

題目的難易是相對(duì)的，而且很難量化，但是我們可以根據(jù)3∶5∶2的比例，按照題目出現(xiàn)的位置，將題目分成“易、中、難”三個(gè)層次.從表2可知，全國(guó)卷中數(shù)列試題的難度一般以容易題和中檔題為主.選擇題和填空題大致分為容易題、中檔題和難題;解答題則為容易題或中檔題（數(shù)列試題處于解答題的前三題的位置）.

相對(duì)而言，浙江卷中無(wú)論是小題還是解答題都較難， 5年中，小題有3次為選擇題壓軸題;2017年數(shù)列大題考查的是數(shù)列與不等式的綜合，作為壓軸題得分率較低，難度很大.2018—2021年數(shù)列大題編排在第20題，難度有所降低，但仍有一定的難度，特別是第2小問(wèn)，并不容易解答.

3考查內(nèi)容的理解

全國(guó)高考卷本著“一核、四層、四翼”的評(píng)價(jià)理念，注重學(xué)科特點(diǎn)，從學(xué)科思維價(jià)值和整體高度的角度出發(fā)，突出了數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性和綜合性，以數(shù)列的重點(diǎn)知識(shí)和主干知識(shí)為主體，著意數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的靈活性與創(chuàng)新性，將能力與素質(zhì)融為一體，全面檢測(cè)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).全國(guó)卷試題很好地檢測(cè)了學(xué)科素養(yǎng)的“學(xué)習(xí)掌握、實(shí)踐探索、思維方法”3個(gè)指標(biāo).

3.1注重基礎(chǔ)性，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)掌握

兩者都注重對(duì)數(shù)列的基本概念和基本性質(zhì)的考查，體現(xiàn)了知識(shí)立意，旨在檢測(cè)學(xué)生的“學(xué)習(xí)掌握”情況.在這方面，兩者的表現(xiàn)方式是相同的：通過(guò)數(shù)列的基本量，考查數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí).

例1? （2019年全國(guó)卷Ⅰ理科題9）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4=0，a5=5，則（）.

A.an=2n-5B.an=3n-10

C. Sn =2n2-8nD. Sn =12n2-2n

分析本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的和，等差數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式集中了等差數(shù)列的基本量（a1，an，d，n，Sn）之間的關(guān)系，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求“探索并掌握等差（比） 數(shù)列的變化規(guī)律，建立通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.”該題是典型的“知三求二”問(wèn)題，體現(xiàn)了方程思想，即根據(jù)已知量和未知量之間的等量關(guān)系，通過(guò)建立方程（組）求解.

浙江卷中也有類(lèi)似的試題，比如2019年第20題的第（1）題，考查等差、等比數(shù)列的基本量、方程的思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3.2注重綜合性，著意實(shí)踐探索

兩者都強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用，試題以基本知識(shí)為載體，考查綜合能力，體現(xiàn)了能力立意，旨在檢測(cè)學(xué)生的“實(shí)踐探索”情況.在試題的表現(xiàn)形式上，兩者有一定的差別：浙江卷對(duì)數(shù)列的考查更注重能力的培養(yǎng)，著眼于知識(shí)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的綜合應(yīng)用，而全國(guó)卷在注重基礎(chǔ)的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)聯(lián)系實(shí)際，著眼于知識(shí)在數(shù)學(xué)外部的綜合應(yīng)用.

例2（2021年浙江卷題9）已知a，b∈R，ab>0，函數(shù)f（x）=ax2+b（x∈R），若f（s-t），f（s），f（s+t）成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)（s，t）的軌跡是（）.

A.直線(xiàn)和圓B. 直線(xiàn)和橢圓

C. 直線(xiàn)和雙曲線(xiàn) D. 直線(xiàn)和拋物線(xiàn)

分析該題在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，將等比數(shù)列的概念、二次函數(shù)以及平面解析幾何等基本知識(shí)有機(jī)地融為一個(gè)整體，這是從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考查問(wèn)題，能有效考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

例3 （2021年新高考Ⅰ卷題16）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對(duì)折n次，那么∑nk=1Sk= dm2.

分析該題以“民間剪紙藝術(shù)”為背景，綜合考查了數(shù)列的概念、數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的和、錯(cuò)位相減等基本知識(shí).題中給出前2次的對(duì)折結(jié)果，需要據(jù)此寫(xiě)出第4次的結(jié)果，以及第n次的結(jié)果，這是一種歸納猜想的思想方法，也是解決實(shí)際問(wèn)題的有效方法.在猜想出Sn=120（n+1）2n-1后，該題并未到此為止，而是繼續(xù)考查“錯(cuò)位相減”求和的方法，即繼續(xù)考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.通過(guò)此題，引導(dǎo)學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從“解題”轉(zhuǎn)向“解決問(wèn)題”，從“做題”轉(zhuǎn)向“做人做事”，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的理性思維能力.

3.3強(qiáng)調(diào)靈活性，旨在思維方法

兩者都強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用，以檢測(cè)學(xué)生的思維方法.“思維方法是認(rèn)知加工的關(guān)鍵構(gòu)件，是個(gè)體在信息時(shí)代所必須具備的核心認(rèn)知品質(zhì)，也是未來(lái)社會(huì)人才所需要的終身素養(yǎng)”＼[2＼].在檢測(cè)思維方法方面，兩者的體現(xiàn)形式有所不同：浙江卷常常編制一些高難度的試題，以檢測(cè)學(xué)生的思維品質(zhì).而全國(guó)卷在創(chuàng)新的同時(shí)兼顧選擇性，常常編制一些“結(jié)構(gòu)不良試題”，以檢測(cè)考生的關(guān)鍵能力和必備品格.

例4（2021年浙江卷題10）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an+1=an1+an（n∈N）.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則（）.

A.32<S100<3B. 3<S100<4

C. 4<S100<92 D. 92<S100<5

分析該題是一道數(shù)列與不等式綜合的試題，常規(guī)的解法需要先對(duì)題中式子取倒數(shù)得：1an+1=1+anan=1an+1an，再放縮：1an+1an<1an+122，然后構(gòu)造差結(jié)構(gòu)得： 1an+1-1an<12，最后通過(guò)累加以及累乘得到an的范圍，從而估計(jì)S100的范圍. 從解答過(guò)程可知，該題技巧性非常強(qiáng)，對(duì)思維要求非常高，能較好地考查學(xué)生的思維品質(zhì).

例5 （2021年全國(guó)甲卷理科題18）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列{an}是等差數(shù)列：②數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列;③a2=3a1.

分析該題是一道“結(jié)構(gòu)不良”試題，若選①③作條件證明②：

因?yàn)閍2=3a1，an是等差數(shù)列，所以公差d=a2-a1=2a1，有了首項(xiàng)和公差這兩個(gè)基本量，就可直接求其前n項(xiàng)和.此法思路比較自然，解法也較簡(jiǎn)單.

若選②③作條件證明①：

設(shè)Sn=an+b（a>0），則Sn=an+b2=a2n2+2abn+b2，這里關(guān)鍵是對(duì) “{Sn}是等差數(shù)列”的理解，從數(shù)列的通項(xiàng)與和的結(jié)構(gòu)上看，通項(xiàng)可以寫(xiě)成an=dn+b（一次函數(shù)），和可以寫(xiě)成Sn=An2+Bn（二次函數(shù)不含常數(shù)項(xiàng)），由此得到b=0.

所以，對(duì)問(wèn)題的理解不同，選擇就不同，解答過(guò)程就不同，體現(xiàn)的思維品質(zhì)也就不同.所以，“選擇”本身也能檢測(cè)考生的思維方法和思維品質(zhì).

4教學(xué)建議

4.1聚焦全國(guó)卷，改變思維定式

從上面的分析可知，浙江卷與全國(guó)卷差別很大.浙江教師如果仍以浙江卷命題規(guī)律組織教學(xué)，那就很難應(yīng)對(duì)將來(lái)全國(guó)卷高考.比如浙江卷反復(fù)考查的“數(shù)列與不等式的綜合”，題目思維量較大，有較大的難度，學(xué)生需要花較多的時(shí)間才能掌握，但是全國(guó)卷從不考此類(lèi)題目，如果教師按照以往的思維定式，仍在該問(wèn)題上花大力氣，那是費(fèi)時(shí)、費(fèi)力且性?xún)r(jià)比不高.

再比如，“數(shù)列的應(yīng)用”是一個(gè)較難的問(wèn)題，學(xué)生需要一定的訓(xùn)練才能掌握.該內(nèi)容全國(guó)卷經(jīng)常出現(xiàn)，但浙江卷從不考.如果教師還是按照之前應(yīng)對(duì)浙江卷的思路，不涉及該內(nèi)容，那么學(xué)生在未來(lái)高考中遇到此類(lèi)問(wèn)題，一定會(huì)手足無(wú)措.

因此，浙江教師要以全國(guó)卷為導(dǎo)向，這樣復(fù)習(xí)教學(xué)才有針對(duì)性，才能在未來(lái)的高考中取得好成績(jī).

4.2在核心知識(shí)上下功夫，注重基礎(chǔ)

高考對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，既全面又突出重點(diǎn).對(duì)支撐學(xué)科知識(shí)的重要內(nèi)容，占有較大的比例，構(gòu)成試卷的主體＼[3＼].數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，在全國(guó)卷或浙江卷中都占有較多的分值.數(shù)列考查的核心是數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的和，等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本概念.數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列的前n項(xiàng)和、等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)等，這些既是數(shù)列的核心內(nèi)容，也是高考反復(fù)出現(xiàn)的高頻考點(diǎn).教學(xué)時(shí)在這些內(nèi)容上下功夫，既是掌握數(shù)列核心內(nèi)容，高考取得好成績(jī)的必要條件，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好載體.

4.3注重知識(shí)的應(yīng)用，提升素養(yǎng)

“數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.在日常生活中遇到的許多問(wèn)題，如貸款、利率、折扣、人口增長(zhǎng)、放射物質(zhì)的衰變等都可以用等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)刻畫(huà)”＼[4＼].全國(guó)高考試題通過(guò)聯(lián)系生產(chǎn)、生活實(shí)際的試題情境設(shè)計(jì)，將抽象的數(shù)學(xué)概念與實(shí)際生活相結(jié)合，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析與研究，進(jìn)而解決問(wèn)題.教學(xué)時(shí)應(yīng)以此為載體，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和應(yīng)用意識(shí)，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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[4]章建躍，李增滬.普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)＼[M＼].北京：人民教育出版社，2020.

作者簡(jiǎn)介朱成萬(wàn)（1973—），男，安徽安慶人，中學(xué)高級(jí)教師，人民教育出版社教材培訓(xùn)專(zhuān)家;主要研究數(shù)學(xué)教學(xué);著有《至精至簡(jiǎn)的高中數(shù)學(xué)思想與方法》等7部著作，發(fā)表論文100余篇.

王紅權(quán)（1970—），男，杭州市基礎(chǔ)教育研究室中學(xué)數(shù)學(xué)教研員，浙江省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師.人教A版高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)教材核心作者，人教義務(wù)教育新課標(biāo)教材修訂組核心成員，中國(guó)統(tǒng)計(jì)教育學(xué)會(huì)理事，浙江省數(shù)學(xué)會(huì)理事，浙江省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)分會(huì)常務(wù)理事;主要代表成果：《數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)行為理論與實(shí)踐研究》2016年浙江省基礎(chǔ)教育教學(xué)成果二等獎(jiǎng)，《對(duì)高中數(shù)學(xué)空轉(zhuǎn)現(xiàn)象的探究》杭州市第七屆國(guó)家基礎(chǔ)教育課程改革優(yōu)秀研究成果一等獎(jiǎng);主持浙江省、杭州市重點(diǎn)規(guī)劃課題10余項(xiàng)，參與國(guó)家社科、教育部重點(diǎn)課題3項(xiàng)，已在各類(lèi)雜志發(fā)表論文100余篇.