基于PISA2021分析高考情境題的數(shù)學(xué)推理能力

俞卓君 周瑩 陳基河

【摘要】本文以PISA2021數(shù)學(xué)推理與問題解決為框架，從情境、內(nèi)容、素養(yǎng)、過程四個(gè)維度，結(jié)合部分高考情境試題說明數(shù)學(xué)推理的具體體現(xiàn)，以期為教師教學(xué)提供參考.研究結(jié)果表明近幾年高考數(shù)學(xué)卷情境化試題背景在函數(shù)、幾何、概率等主線都有所體現(xiàn)，并貫穿于六大核心素養(yǎng)中.為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，在教學(xué)中可以注重對(duì)解釋部分的評(píng)價(jià)，同時(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，情境試題的素材選取更多貼近生活實(shí)際.

【關(guān)鍵詞】PISA2021;數(shù)學(xué)推理;問題解決;高考情境試題

1問題提出

PISA是一項(xiàng)跨國跨文化的指向?qū)W生素養(yǎng)評(píng)估的大規(guī)模測試，無論是試題還是測評(píng)結(jié)果都對(duì)教育評(píng)價(jià)有著重要的研究意義.PISA2021測評(píng)框架與前幾個(gè)版本的區(qū)別是重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)推理能力在問題解決過程中的體現(xiàn)＼[1＼]，如圖1.

PISA測試與中國的數(shù)學(xué)高考測試內(nèi)容完全不同，但都希望能在檢測過程中反映社會(huì)需求＼[2＼].高速發(fā)展的21世紀(jì)對(duì)培養(yǎng)多樣化高素質(zhì)人才、發(fā)展高階思維的需求愈加緊迫，＼[34＼]問題解決成為發(fā)展高階思維、培養(yǎng)21世紀(jì)技能的重要途徑.許多國家都把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力放在問題解決過程中培養(yǎng)，并成為了重要的教學(xué)目標(biāo)之一.推理能力在問題信息的提取、篩選和整理過程中起著至關(guān)重要的作用，更是幫助作出恰當(dāng)判斷和決策的重要思維能力＼[5＼].

PISA2021強(qiáng)調(diào)將對(duì)數(shù)學(xué)推理的理解置于現(xiàn)實(shí)世界的真實(shí)情境，數(shù)學(xué)情境問題解決需要學(xué)生多種核心素養(yǎng)在情境中共同作用，是一種較高水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng).＼[67＼]李娜等學(xué)者分析了PISA2021測試框架，提出可以結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來說明數(shù)學(xué)推理的具體體現(xiàn)＼[1＼].PISA2021給出了理解數(shù)學(xué)推理的六個(gè)關(guān)鍵：理解數(shù)量、數(shù)系及其代數(shù)性質(zhì);感知抽象和符號(hào)表征的力量;意識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和它們的規(guī)則;認(rèn)識(shí)數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系;借助數(shù)學(xué)模型作為觀察現(xiàn)實(shí)世界的鏡頭;理解方差是統(tǒng)計(jì)的核心＼[8＼].

為了深入探究數(shù)學(xué)推理在情境試題中的實(shí)際應(yīng)用，本文參考PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)重點(diǎn)關(guān)注的數(shù)學(xué)推理能力與問題解決相互聯(lián)系的框架，以近年來部分高考數(shù)學(xué)情境類試題為研究對(duì)象，將抽象的推理能力具體化，期望能夠?yàn)閿?shù)學(xué)問題解決過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力提供參考.

2分析維度

本文分別從情境維度、考察的內(nèi)容維度、情境中的素養(yǎng)維度以及問題解決的過程維度來分析高考試題中體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)推理能力，由于PISA2021中提出了理解數(shù)學(xué)推理能力的六個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，因此本文分析的高考樣題分別根據(jù)六個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行選取.

2.1情境維度

本文主要關(guān)注高考試題中的4類情境：一是個(gè)人情境，個(gè)人情境與個(gè)人生活息息相關(guān)，包括旅行、購物等;二是社會(huì)情境，社會(huì)情境與學(xué)生身邊環(huán)境相關(guān)，比如人口數(shù)量、經(jīng)濟(jì)政策等;三是職業(yè)情境，職業(yè)情境大多涉及財(cái)務(wù)成本、質(zhì)量控制等;四是科學(xué)情境，包括氣象、醫(yī)藥、遺傳、環(huán)境等.

2.2內(nèi)容維度

PISA2021的數(shù)學(xué)素養(yǎng)框架中將數(shù)學(xué)內(nèi)容分成了四類：數(shù)量、不確定性與數(shù)據(jù)、變化與關(guān)系、空間與圖形.由于分析樣題來自于高考試題，因此本文選取的內(nèi)容維度以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，結(jié)合高中數(shù)學(xué)三大主線：函數(shù)、幾何、概率與統(tǒng)計(jì)進(jìn)行闡述.

2.3情境中的核心素養(yǎng)維度

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了6種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.每一道情境問題的解決都涉及多個(gè)核心素養(yǎng)，這也是數(shù)學(xué)推理能力在多素養(yǎng)中的體現(xiàn).

2.4問題解決的過程維度

PISA2021將數(shù)學(xué)推理能力在問題解決的過程分成三方面：數(shù)學(xué)推理的表達(dá)、數(shù)學(xué)推理的應(yīng)用、數(shù)學(xué)推理的解釋＼[8＼].學(xué)生在“表達(dá)”過程中提取問題的關(guān)鍵信息，在“應(yīng)用”過程中解決問題，在“解釋”部分能結(jié)合實(shí)際闡述答案與結(jié)論.三個(gè)過程具體包括的活動(dòng)如表1所示[1].

3試題分析

3.1理解數(shù)量、數(shù)系及其代數(shù)性質(zhì)

在高中階段，學(xué)生需要掌握幾種重要的運(yùn)算對(duì)象：數(shù)、字母（代數(shù)式）、向量等＼[11＼].數(shù)字是數(shù)學(xué)的中心概念，學(xué)生對(duì)情境問題進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的前提是能夠正確理解數(shù)字體系及對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.中學(xué)數(shù)學(xué)包括多種數(shù)字表示形式，這需要學(xué)生能夠在多種形式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如建立簡單代數(shù)等式、繪制圖形、建模，并在數(shù)字的轉(zhuǎn)化應(yīng)用中進(jìn)行運(yùn)算.

例1（2019年全國卷理科17題）

為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70.

（Ⅰ）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值;

（Ⅱ）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

本題情境為科學(xué)情境（小白鼠醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)），在醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)運(yùn)用科學(xué)技術(shù)手段進(jìn)行藥物檢測的過程中，常常通過對(duì)小白鼠的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來分析檢測某種藥物的含量、有效性等關(guān)鍵信息.在內(nèi)容維度上，本題主要考查頻率分布直方圖及概率的運(yùn)算.主要考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).學(xué)生通過概率估計(jì)值與事件C描述的運(yùn)算過程，感悟其中蘊(yùn)含的邏輯推理.

數(shù)學(xué)推理的過程體現(xiàn)在：要求確定數(shù)學(xué)變量“事件估計(jì)值”和“平均值”在直方圖中的含義，能夠識(shí)別問題隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系，根據(jù)P（C）的估計(jì)值列出對(duì)應(yīng)關(guān)系式.在應(yīng)用中要能夠進(jìn)行基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果得到數(shù)學(xué)結(jié)論.本題要求學(xué)生解釋直方圖中呈現(xiàn)的信息，這一部分的解釋體現(xiàn)在學(xué)生的思維中，求出甲乙各自的平均值后，學(xué)生能夠根據(jù)均值的含義認(rèn)識(shí)兩種溶液的集中趨勢.

3.2感知抽象和符號(hào)表征的力量

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，具有高度的抽象性和形式化的特點(diǎn).在中學(xué)數(shù)學(xué)中，抽象是從問題情境中提取具體對(duì)象、運(yùn)用符號(hào)表征進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算等思維活動(dòng)的過程.

例2（2021年上海卷19題）

已知某企業(yè)2021年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，以后每個(gè)季度的營業(yè)額比上個(gè)季度增加0.05億元，該企業(yè)第一季度的利潤為0.16億元，以后每季度比前一季度增長4%.

（1）求2021年起前20季度營業(yè)額的總和;

（2）請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%？

本題情境屬于社會(huì)情境（企業(yè)利潤變動(dòng)），企業(yè)的營業(yè)額與利潤分析能夠反映該企業(yè)的經(jīng)營狀況，從而幫助財(cái)務(wù)部門根據(jù)分析結(jié)果對(duì)未來的營銷決策做出預(yù)測.在內(nèi)容上，這道題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理使用函數(shù)解決問題.過程中涉及符號(hào)語言和文字語言，文字語言用于描述情境問題，符號(hào)語言用于表征數(shù)學(xué)概念和原理.數(shù)學(xué)推理的過程體現(xiàn)在：學(xué)生應(yīng)該使用合適的變量、符號(hào)來數(shù)學(xué)化地描述問題情境.在本題中，文字語言為：首次超過該季度營業(yè)額的18%，符號(hào)語言為：0.16×（1+4%）n>（1.1+0.05n）×18%.在題中要?jiǎng)?chuàng)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)解決策略，如第一問要求學(xué)生能構(gòu)建以1.1為首項(xiàng)，0.05為公差的等差數(shù)列.在解釋上，有了計(jì)算結(jié)果則可根據(jù)提問說明對(duì)應(yīng)的實(shí)際結(jié)論.

3.3意識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和它們的規(guī)則

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是各種數(shù)學(xué)對(duì)象的統(tǒng)稱，在解題中往往起著支撐作用，解題者可以通過對(duì)結(jié)構(gòu)的感知、識(shí)別、聯(lián)想、歸納、類比、轉(zhuǎn)化等方式實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)＼[13＼].在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下，對(duì)結(jié)構(gòu)的另一種重要的處理方式是合情推理＼[14＼]，學(xué)生首先認(rèn)識(shí)到問題情境的結(jié)構(gòu)，判斷關(guān)鍵的結(jié)構(gòu)要素，通過歸納類比的方式了解結(jié)構(gòu)，再將結(jié)構(gòu)應(yīng)用到問題情境中.

例3（2019年理科全國卷Ⅱ16題）

中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長為.

本題情境為科學(xué)情境（中國金石文化），以中國文化為載體，以半正多面體為對(duì)象，主要考查正方體的結(jié)構(gòu)以及棱長的概念，考查了直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).本題借助學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的空間幾何體模型作為認(rèn)識(shí)世界的工具，對(duì)于不認(rèn)識(shí)的幾何體，能否通過觀察它的特殊結(jié)構(gòu)并聯(lián)想到已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，得到未知事物的特性. 數(shù)學(xué)推理的過程體現(xiàn)在：學(xué)生要能夠使用合適的圖形來數(shù)學(xué)化地呈現(xiàn)情境問題.金石是一種不規(guī)則形狀，但根據(jù)題目提示可將其抽象在正方體中.將圖2與正方體的結(jié)構(gòu)搭建聯(lián)系，這一步有助于學(xué)生能夠準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)兩者的形態(tài)位置，有了對(duì)圖2更加立體的觀察、比較，才能夠推斷并分析出二者棱長的位置關(guān)系.根據(jù)抽象出來的圖，可以推導(dǎo)出半正多面體棱長x與正方體棱長1的關(guān)系式為： 22x+22x+x=1，抽象的過程即為解釋圖形信息的過程.

3.4認(rèn)識(shí)數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系

變量之間相互依賴和相互作用會(huì)對(duì)問題情境產(chǎn)生影響，從而影響學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系蘊(yùn)含在問題情境中，可以選擇多種方式對(duì)其表示，如方程式、圖表、表格或文字描述.學(xué)生解決問題除了關(guān)注題目中確定的量，也要考慮可變的量，以及變量之間的變化規(guī)律，比如具有某種線性關(guān)系的函數(shù).

在問題解決中，函數(shù)有著雙重屬性，既可以作為過程，也可以作為對(duì)象.作為過程的函數(shù)在數(shù)學(xué)表征中是抽象的，要將其作為對(duì)象，需要學(xué)生通過數(shù)量關(guān)系將其具體化.

例4（2020年理科全國新高考卷6題）

基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I（t）=ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I（t）隨時(shí)間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為（ln2≈0.69）（）.

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

本題情境為科學(xué)情境（新冠肺炎疫情時(shí)間變化）.突如其來的新冠肺炎疫情在全球范圍內(nèi)大流行，疫情的傳播程度和嚴(yán)重性令人深感擔(dān)憂的同時(shí)，各國醫(yī)藥專家通過計(jì)算機(jī)等科技手段對(duì)疫情的傳播速度和感染人數(shù)進(jìn)行研究，在調(diào)取了大量現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上估計(jì)模型.在內(nèi)容維度上，這道題主要考查指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用.指數(shù)函數(shù)是高中重要的基本函數(shù)模型之一，解答本題的關(guān)鍵步驟是能夠建立兩個(gè)時(shí)間——病例數(shù)增加前（t1）與增加后（t2）的兩個(gè)關(guān)系式.同時(shí)本題考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)推理的過程體現(xiàn)在：對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)表述，學(xué)生也可以借助指數(shù)函數(shù)的圖象表征形式來翻譯時(shí)間變化的過程，通過圖象更直觀、立體地感受該模型變化的動(dòng)態(tài)性和過程性.本題建立在疫情大數(shù)據(jù)的背景下，學(xué)生要能夠處理數(shù)據(jù)信息、代數(shù)表達(dá)式I（t）=ert，并根據(jù)問題建立方程.

3.5借助數(shù)學(xué)模型作為觀察現(xiàn)實(shí)世界的鏡頭

模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)的簡化，數(shù)學(xué)模型可以使學(xué)生將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界存在的問題情境建立科學(xué)聯(lián)系.數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言來表述的，以圖象或者函數(shù)關(guān)系式的形式，突出某一情境中的某些因素.

在一般情況下使用數(shù)學(xué)模型，通常能夠進(jìn)行數(shù)據(jù)的分析和評(píng)估（模型是否適合數(shù)據(jù)），對(duì)未來做出預(yù)測，得到研究結(jié)果，并根據(jù)結(jié)果評(píng)估模型的充分性和準(zhǔn)確性.在模型的建立與使用中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注情境中最重要的元素，將復(fù)雜的問題歸結(jié)為某種數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而幫助學(xué)生利用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)推理.

例5（2021年北京卷8題）

對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（mm）進(jìn)行如下定義：

小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖3，則這一天的降水量屬于哪個(gè)等級(jí)（）.

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

本題情境為科學(xué)情境（氣象預(yù)測模擬），在地理氣象預(yù)測中，常常利用數(shù)學(xué)和信息技術(shù)對(duì)天氣現(xiàn)象進(jìn)行模擬分析以及預(yù)測，傳統(tǒng)氣象站的雨量器一般為圓筒，圖3筒內(nèi)含兩節(jié)裝置，上節(jié)為漏斗，下節(jié)為儲(chǔ)水瓶.在內(nèi)容維度上，這道題主要考查幾何主線中圓錐體積的計(jì)算，考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).該問題的核心是圓錐體積V與厚度h（mm）之間的關(guān)系.數(shù)學(xué)推理的過程體現(xiàn)在：要求學(xué)生能夠識(shí)別雨量器（圓錐體）是情境中模擬的數(shù)學(xué)模型，該模型對(duì)現(xiàn)實(shí)的氣象預(yù)測進(jìn)行了簡化，學(xué)生要轉(zhuǎn)換不同的數(shù)學(xué)語言對(duì)模型進(jìn)行描述，從圖象到數(shù)字再到文字，從而幫助做出預(yù)測.選擇題的題型對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)果準(zhǔn)確性要求較高，不僅要求學(xué)生能夠創(chuàng)建合適的計(jì)算策略，也要求學(xué)生能夠根據(jù)運(yùn)算答案以及表格對(duì)應(yīng)的信息得到對(duì)應(yīng)結(jié)果，從而能夠判斷這種方法在實(shí)際生活中的合理性.

3.6理解方差是統(tǒng)計(jì)的核心

現(xiàn)實(shí)生活充滿著不確定性，這種不確定性在21世紀(jì)的大數(shù)據(jù)背景下顯得尤為突出，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，方差可以刻畫隨機(jī)變量的離散程度，我們需要認(rèn)識(shí)到數(shù)據(jù)具有的偏離程度，對(duì)離散程度進(jìn)行描述，進(jìn)而對(duì)現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行判斷.

例6（2021年全國卷文科數(shù)學(xué)乙卷17題）

某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了 10 件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為 s21和 s22.

（1） 求， ，s21，s22;

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高 （如果-≥2s21+s222 ，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

本題情境為社會(huì)情境（設(shè)備質(zhì)量控制）.隨著機(jī)器使用時(shí)間加長，陳舊會(huì)帶來精度下降，但是否使用新設(shè)備，何時(shí)使用新設(shè)備也影響著工廠的成本，因此在實(shí)際生活中，通過新舊設(shè)備的測試指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，能夠幫助工廠做出決策.在內(nèi)容維度上，這道題主要考查均值與方差公式的計(jì)算，重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).在高中階段，數(shù)據(jù)分析的一個(gè)重要過程是整理數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)是有效進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)推理的過程體現(xiàn)在：本題直接考查均值與方差的概念，要求學(xué)生能夠?qū)懗鲇?jì)算，，s21，s22的步驟.學(xué)生應(yīng)能夠進(jìn)行簡單的數(shù)據(jù)運(yùn)算，能根據(jù)題目條件判斷計(jì)算結(jié)果.

4結(jié)論與思考

通過對(duì)近幾年高考部分情境試題數(shù)學(xué)推理能力體現(xiàn)的分析可以看出，數(shù)學(xué)推理不僅僅存在于某個(gè)知識(shí)板塊，而是囊括了函數(shù)、幾何、概率多個(gè)板塊.

在對(duì)情境問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的過程中，為了將最終的結(jié)果指向數(shù)學(xué)問題的解決，需要以符號(hào)語言為工具進(jìn)行推理.直觀強(qiáng)調(diào)可視化，想象則需要根據(jù)學(xué)生的個(gè)體數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)直觀圖形進(jìn)行判斷，用數(shù)學(xué)語言描述直觀想象的結(jié)構(gòu)過程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)推理能力.數(shù)學(xué)建模的目的是促進(jìn)現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，幫助對(duì)現(xiàn)實(shí)問題做出合理推斷和估計(jì).數(shù)學(xué)運(yùn)算屬于數(shù)學(xué)中程序性知識(shí)的范疇，程序性知識(shí)需要按照規(guī)則與邏輯關(guān)系進(jìn)行學(xué)習(xí)，因而在數(shù)學(xué)運(yùn)算中能夠潛移默化地滲透數(shù)學(xué)推理能力.學(xué)生在真實(shí)情境中進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，不僅要在收集數(shù)據(jù)時(shí)需要根據(jù)某些條件判斷數(shù)據(jù)的合理性與真實(shí)性，也要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息進(jìn)行整理推斷，在數(shù)據(jù)的認(rèn)識(shí)與分析過程中發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力.

基于研究結(jié)論，本文提出幾點(diǎn)建議：

4.1課堂教學(xué)關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)推理的解釋與評(píng)價(jià)

數(shù)學(xué)推理在問題解決中的過程包括表達(dá)、應(yīng)用與解釋，對(duì)數(shù)學(xué)推理的解釋與評(píng)價(jià)要求學(xué)生能夠結(jié)合問題的實(shí)際生活背景來闡述數(shù)學(xué)答案及其意義，這一過程鮮少能夠體現(xiàn)在考試答卷上.因此在日常教學(xué)過程中，可以結(jié)合PISA 2021所給出的數(shù)學(xué)解釋的具體信息（表1），幫助學(xué)生對(duì)問題解決中的數(shù)學(xué)推理進(jìn)行歸納總結(jié)，解釋推理不僅能培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，也能使學(xué)生在問題解決中經(jīng)歷的過程更加完整.

4.2加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)推理能力與核心素養(yǎng)緊密關(guān)聯(lián)，在現(xiàn)實(shí)情境中，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力尤為重要.數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)概念、原理和思維方法描述現(xiàn)實(shí)世界中具有數(shù)學(xué)規(guī)律性的事件.問題情境與數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象息息相關(guān)，情境常常通過文字或者圖形語言的模型來描述，提高抽象與建模的數(shù)學(xué)能力有助于學(xué)生在情境問題中發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力.

4.3試題情境與時(shí)俱進(jìn)，緊密聯(lián)系生活實(shí)際.

PISA對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評(píng)試題往往來自真實(shí)情境，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)具體的問題情境做出數(shù)學(xué)分析、推斷和數(shù)學(xué)解釋.數(shù)學(xué)問題情境種類繁多，涉及面廣，或貼近生活或與大環(huán)境相關(guān).例如在2020年新冠肺炎全球蔓延的環(huán)境下，學(xué)生親歷疫情人數(shù)暴增的階段，也常通過新聞媒體報(bào)道感染病例數(shù)與治愈人數(shù)等真實(shí)事件來感受疫情數(shù)據(jù)的變化情況.學(xué)生雖然不能直接參與醫(yī)學(xué)專家研制藥品、制定模型等事件，但在未來職業(yè)中可能會(huì)從事相關(guān)實(shí)際問題.在設(shè)置真實(shí)情境中的數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要考慮真實(shí)情境的語言描述，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行取舍，考慮學(xué)生的認(rèn)知水平.

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作者簡介俞卓君（1996—），女，廣西南寧人，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院在讀碩士研究生;主要研究數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.

周瑩（1962—），女，浙江嵊州人，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，特拉華大學(xué)訪問學(xué)者;主要研究數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論和教師教育.

陳基河（1996—），男，廣西玉林人，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院在讀碩士研究生;主要研究數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.