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    構建知識據(jù)點 勾勒數(shù)學系統(tǒng)

    2022-03-07 05:54:32何正文
    中學數(shù)學雜志(高中版) 2022年1期
    關鍵詞:增長點策略系統(tǒng)

    【摘要】數(shù)學知識據(jù)點是教學中的堡壘,構建合理的數(shù)學知識據(jù)點,使得數(shù)學教學有輪有廓.保持內部結構連貫性的同時,又使得數(shù)學系統(tǒng)具有模塊性,形成認知的片段性,有力地勾勒出連續(xù)與綿長的知識版圖.既照顧了數(shù)學知識本身的獨立性,又關注了數(shù)學系統(tǒng)的整體性.

    【關鍵詞】知識據(jù)點;系統(tǒng);增長點;策略

    構建數(shù)學知識的據(jù)點,使其成為鞏固數(shù)學知識的堅定堡壘,使得數(shù)學本質內容更容易為學生所理解,數(shù)學講授形式更豐富精彩,教學效果對學生的影響更深刻.

    1找準數(shù)學知識據(jù)點,描繪數(shù)學框架系統(tǒng)

    數(shù)學知識據(jù)點是指對某一部分數(shù)學知識,進行特定的教學活動,使得學生對這一部分數(shù)學知識掌握得更加透徹,把握得更加準確,使用得更加熟悉,使其對整個數(shù)學知識系統(tǒng)有著承上啟下的作用.數(shù)學知識據(jù)點一般布控在難點、盲點和生長點上.這三個關鍵點如同一個鐵三角,足以支撐數(shù)學教學的整體知識脈絡,同時又發(fā)揮相互補充、相互促進的重要作用.

    1.1將據(jù)點建在難點上,化難為易,降低數(shù)學系統(tǒng)構建門檻

    數(shù)學難點是指學生學習過程中的一個短板板塊.比如講授“回歸分析的基本思想及其初步應用”時,發(fā)現(xiàn)整節(jié)教學內容概念很多,且是學生相對不熟悉的領域,學生已經學習了兩個變量之間的相關關系,包括畫散點圖,求回歸直線方程,利用回歸直線方程進行預報等內容,因此確定教學難點:1.解釋殘差變量的含義;2.了解偏差平方和分解的思想.教師以難點為據(jù)點,分清主次,區(qū)別輕重,突出重點,解決難點.教師可以以PowerPoint為操作平臺,界面活潑,操作簡單,能有效支持多種其它技術,用EXCEL圖表展示,直觀形象,節(jié)約時間,幫助學生順利完成學習內容.使得學生學習更加輕松,知識更加清晰,為理解以后新知識和掌握新技能提供方便.因為難點具有很多的不確定性,給學生儲存的信息造成混亂,學生對于數(shù)學知識的理解和掌握,很大程度有賴于學生自身的知識水平、理解能力,以及教師的妥善指導.另外,難與易是相對,只要教師在教學中,了解學生需要,選擇問題驅動,善于處理,知識的難易是可以轉化的.

    1.2將據(jù)點建在盲點上,由模糊到清晰,明確了數(shù)學系統(tǒng)構建方向

    數(shù)學知識盲點是學生在學習過程中看不透、想不準、理不清的部分.例如在講授“回歸分析的基本思想及其初步應用”時,學生的盲點在于不知道如何討論一元線性回歸模型,分析模型中產生隨機誤差項的原因,難以從相關系數(shù)的角度研究兩個度量間線性相關關系的強弱,更不清楚在什么情況下可以考慮使用線性回歸模型.教師應該以點帶面,讓學生通過實際問題去理解回歸分析的必要性,從散點圖中點的分布上我們發(fā)現(xiàn)直接求回歸直線方程存在明顯的不足,從中引導學生去發(fā)現(xiàn)解決問題的新思路——進行回歸分析,進而介紹利用R2來表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率,從中選擇較為合理的回歸方程,最后是建立回歸模型基本步驟.

    1.3將據(jù)點建在生長點上,促快促優(yōu),激活了數(shù)學系統(tǒng)完善的動力.

    數(shù)學知識生長點是數(shù)學引申的源頭,同樣,在講授“回歸分析的基本思想及其初步應用”時,教師在教學中明確統(tǒng)計思想,函數(shù)思想,數(shù)形結合的方法是本節(jié)的生長點,在教學中適當?shù)卦黾訉W生合作與交流的機會,多從實際生活中找出例子,著力利用整體的觀點和互相聯(lián)系的觀點來分析問題,以科學的態(tài)度評價兩個變量的相互關系.

    2運用數(shù)學據(jù)點構建策略,升華數(shù)學系統(tǒng)勾勒版圖

    由學生數(shù)學學習的特點,歸納、演繹、類比往往是構建數(shù)學據(jù)點的快速策略,也是勾勒數(shù)學系統(tǒng)的有力手段.

    2.1歸納包括縱向歸納和橫向歸納,縱橫交錯,在縱向中深化,在橫向中擴展

    2.1.1縱向歸納

    (1)已知平面上不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2),求以線段AB為直徑的圓的方程.(圓上動點為P,則kPA·kPB=-1)

    (2)設A,B是橢圓的左右頂點,P是橢圓上一點,求kPA×kPB=.

    (3)設A,B在橢圓上,且關于原點對稱,P是橢圓上一點,求kPA×kPB=.

    2.1.2橫向歸納

    (1)已知圓O:x2+y2=1,點P在直線l:x+3y-8=0上,過P作圓的切線PA,PB,切點為A,B,則四邊形OAPB面積的最小值是.

    兩個基本思路:

    ①P在直線上,設P點的坐標,OP的長可用P點坐標參數(shù)表示,由于S四邊形OAPB=2S△OAP,再根據(jù)二次函數(shù)求最值.

    ②設OP=t,則S可用t表示,只有OP⊥直線l時,t最小.

    這兩個思路不足以鞏固經驗思維,比較引入新問題:

    (2)求向量PA,PB的數(shù)量積的最小值.

    數(shù)量積變化的根本原因是線段OP長度的變化,設OP=t,∠APO=θ,則tsinθ=1,cos2θ=1-2sin2θ,于是PA·PB=(t2-1)1-2t2=t2+2t2-3≥22-3.這個結論是錯誤的,原因就是等號不成立,因為問題中的t≥4105,根據(jù)函數(shù)的單調性知,t=42 瘙 綋 4105,+∞,當且僅當t=4105時,可求最小值.

    2.2演繹包括逆向演繹和反思演繹,在逆向中尋找據(jù)點,在反思中升華系統(tǒng)

    2.2.1逆向演繹

    比如:設f(x)=exx+k在區(qū)間(2,3)上不單調,求k的范圍.

    f′(x)=ex(x+k-1)(x+k)2在區(qū)間(2,3)上不單調,有兩種情況:

    在(2,3)上連續(xù),則f(x)=0有根,

    即f(2)f(3)<0,得-2

    在(2,3)上間斷,由x+k=0及2

    綜上,k∈(-3,-1).

    本題對“不單調”進行演繹分析,挖掘出在(2,3)連續(xù)與間斷兩個關鍵據(jù)點,逆向思考在(2,3)上連續(xù)時k的范圍,在(2,3)上間斷時k的范圍,兩面開花,從而完整把這道題進行解答.

    2.2.2反思演繹

    比如:在已知曲線3y=x3+4上,求過點P(2,4)的切線方程.

    (1)因為P在曲線上,可求出切線斜率為4,所以切線方程為4x-y-4=0.

    (2)先設切點,寫出切線方程,將P點帶入切線方程,得到切點的橫坐標為2或-1,所以切線方程為4x-y-4=0,或x-y+2=0.

    而(1)是對題目的表征意義不明確,或是把“過P點的切線”與“過P點處的切線”當成了同一個意思.

    2.3類比包括對比表征和比較猜想,在類比中鞏固據(jù)點,在類比中完善系統(tǒng)

    2.3.1對比表征

    例如:已知x2+px+1>2x+p,

    (1)x∈\[2,4\]時,不等式恒成立,求p的取值范圍;

    (2)|p|≤2時,不等式恒成立,求x的取值范圍.

    對第一問,常規(guī)思路1:函數(shù)法,研究函數(shù)f(x)>0,借用對稱軸進行分類討論;比較復雜(通法).

    常規(guī)思路2:分離變量,因為x>1,所以p>1-x,求其最大值.

    啟示:圖象法,原不等式化為:(x-1)2 >-px+p,作兩函數(shù)圖象,x∈\[2,4\],(x-1)2min=1.

    當p>0,得(-px+p)max<1;

    當p<0,得(-px+p)max<1;

    當p=0,恒成立.

    對第二問,常規(guī)思路1:函數(shù)法,此時,轉化后的左邊表示一次函數(shù),只需端點的函數(shù)值大于0.

    常規(guī)思路2:分離變量.

    啟示1:圖象法,不等式變?yōu)椋▁-1)p>-(x-1)2.x>1,p>-x+1,只需1-x<-2,所以x>3;x<1,p<1-x,只需1-x>2,所以x<-1.

    啟示2:討論,把不等式看成方程,有兩個根1,1-p,對根進行比較:

    1-p>0,所以x<1或x>(1-p)max=3;

    1-p<0,所以x>1或x<(1-p)min=-1;

    1-p=0,此時x≠1.取交集:x<-1或x>3.

    2.3.2比較猜想

    (1)過拋物線焦點的光線通過反射得到平行于對稱軸的光線,這條光線實際上是入射點的切線反射出來的,引申到過焦點的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B的切線互相垂直.切線交點的軌跡就是拋物線的準線.

    (2)猜想橢圓也有這樣的性質?反之,過橢圓外一點P引橢圓兩條互相垂直的切線,P點的軌跡是一個圓(2014年廣東20題).

    (3)猜想雙曲線也有這樣性質?

    3找點建系,找準數(shù)學知識據(jù)點,描繪數(shù)學框架系統(tǒng)

    “找據(jù)點”需要教學善喻、善導、善聯(lián)、善點、善講,“建體系”使得教學更合法、合情、合理、適時.

    3.1知識據(jù)點注重點與點遷移連接

    數(shù)學知識通過知識據(jù)點連接,由知識點與點遷移,由對照來揭示知識的本質屬性和非本質屬性之間的關系,從而展示知識的形成過程,促進學生對知識的理解\[1\].

    例如:(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-an=2,則該數(shù)列的通項公式為;

    (2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an,則該數(shù)列的通項公式為.

    等比數(shù)列與等差數(shù)列的知識隔閡得以打破.

    3.2知識據(jù)點注重線性發(fā)散遞進

    通過知識據(jù)點教學,變式教學側重對例題、習題的變形,提高學生自身的基本技能\[2\].

    例如:如果x>0,求函數(shù)f(x)=x+1x的最小值.

    遞進1:如果x<0,求函數(shù)f(x)=x+1x的最值;

    遞進2:如果x>3,求函數(shù)f(x)=x+1x-3的最值;

    遞進3:如果x>0,求函數(shù)f(x)=-x2-2x+3x的最值.

    3.3知識據(jù)點注重面到體伸展遷移遞進

    知識據(jù)點考慮知識面上的完整性,也要注重知識板塊的整體性.例如:“平面內,垂直于同一直線的兩條直線是否平行?”

    “空間內,垂直于同一直線的兩條直線是否仍然平行呢?”

    在正、反、側立體化遷移,縱橫知識,以完整打通知識內容聯(lián)系.

    我們在構建知識據(jù)點,切實提高學生相應的感性認識,避免教學中已知對新知的負遷移作用壓倒了正遷移作用,確定好教學中切合實際的靜態(tài)和動態(tài)重點難點.

    參考文獻

    [1]何正文.基于核心素養(yǎng)的多階數(shù)學思維的培養(yǎng)\[J\].中學數(shù)學雜志,2019(01):1416.

    [2]何正文.何謂彈性游擊教學\[J\].課程教學研究,2014,(09):9394.

    作者簡介何正文(1988—),男,廣東茂名人,廣東省肇慶市學科委員會委員,中學一級教師;主要研究課堂教學;發(fā)表論文40多篇,主持課題10多項,參與課題20多項.

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