巧妙構(gòu)造函數(shù)模型，快速解答不等式問題

李慧

構(gòu)造函數(shù)法是解答不等式問題的常用方法，而如何巧妙構(gòu)造合適的函數(shù)模型，是解題的關(guān)鍵.在運用構(gòu)造函數(shù)法解答不等式問題時，往往要將不等式進行適當?shù)淖冃?，然后結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造函數(shù)模型，可構(gòu)造一個函數(shù)，也可構(gòu)造兩個函數(shù).下面結(jié)合實例來談一談如何巧妙構(gòu)造函數(shù)模型，求解不等式問題.

一、構(gòu)造f（x）？g（x）型的函數(shù)

對于一些含有積式的不等式問題，我們通常可根據(jù)導數(shù)的運算法則[f（x）g（x）]′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x），來構(gòu)造出函數(shù)F（x）=f（x）g（x），然后通過研究導函數(shù)的性質(zhì)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，進而證明不等式成立.

例1.（1）已知f（x），g（x）均是定義在R上的函數(shù)，且f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），當x<0時，f′（x）g（x）+f（x）？ g′（x）>0，且g（-1）=0，則不等式f（x）g（x）<0的解集是_______.

（2）已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（-1）=0，當x<0時，xf′（x）+f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是______.

解：（1）由f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），可知f（x），g（x）分別為奇函數(shù)、偶函數(shù).

由此可見，在解不等式問題時，想要構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，需從不等式和已知關(guān)系式出發(fā)，認真分析，尋找相關(guān)“蛛絲馬跡”，根據(jù)導數(shù)的運算法則將代數(shù)式進行變形、配湊，以便為求得不等式的解集或參數(shù)的取值范圍搭建“橋梁”.運用構(gòu)造函數(shù)法解答不等式的目的是，利用函數(shù)單調(diào)性的定義、導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，從而建立使不等式成立的新不等式.

（作者單位：江蘇省昆山陸家高級中學）