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    優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型在橋梁線形控制中的應(yīng)用

    2022-03-01 12:12:22洪曉江張雪松李鴻鳴
    關(guān)鍵詞:預(yù)拱度剛構(gòu)橋階數(shù)

    洪曉江,張雪松,郭 寧,李鴻鳴

    (1. 西昌學(xué)院 土木與水利工程學(xué)院,四川 西昌 615000; 2. 重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 重慶 400074;3. 成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗室, 四川 成都 610059)

    0 引 言

    預(yù)拱度是大跨度懸臂橋梁施工線形監(jiān)控中的重要調(diào)節(jié)參數(shù),通過提高預(yù)拱度的預(yù)測精度能保證施工階段和成橋狀態(tài)的線形盡可能地達(dá)到設(shè)計要求。隨著橋梁跨度的逐漸增大和施工方法的不斷更新,預(yù)拱度控制不僅顯得尤為重要,也對其精度、穩(wěn)定性等各項性能指標(biāo)提出了更高的要求。從現(xiàn)代控制理論角度出發(fā),大跨徑剛構(gòu)橋梁線形監(jiān)控是一個非線性和時變性的不確定性系統(tǒng)問題??刂品椒ㄕ鸩綇膫鹘y(tǒng)的建模計算、人工測量、反饋分階段控制轉(zhuǎn)變?yōu)橹悄芑谋O(jiān)測預(yù)警預(yù)測一體化的自適應(yīng)控制。計算理論已由單純的力學(xué)問題演變?yōu)榱W(xué)、數(shù)學(xué)、計算機(jī)和信息技術(shù)等多學(xué)科的綜合問題。

    目前常用的預(yù)拱度預(yù)測方法主要分為兩大類,第1類是基于大數(shù)據(jù)、多樣本的概率論與隨機(jī)過程模型,以卡爾曼濾波[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[2]為代表;第2類基于少數(shù)據(jù)、貧信息的控制論模型,以灰色模型理論為代表。大跨徑剛構(gòu)橋梁懸臂施工具有節(jié)段數(shù)量有限、線形狀態(tài)受施工參數(shù)影響復(fù)雜多變的特點(diǎn),灰色預(yù)測理論正好適用于解決此類問題。灰色理論自20世紀(jì)80年代誕生以來,已經(jīng)成功運(yùn)用于軍、工、農(nóng)、醫(yī)、交通等諸多領(lǐng)域,在大跨徑剛構(gòu)橋梁施工監(jiān)控方面也取得了許多成果。張永水等[3]首次將GM(1,1)引入剛構(gòu)橋梁施工監(jiān)控,驗證了其可行性。為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)GM(1,1)的不足和提高預(yù)測精度,許多學(xué)者做了相關(guān)研究;李自林等[4]在連續(xù)剛構(gòu)橋梁施工監(jiān)控中利用殘差序列建立了殘差GM(1,1)模型,預(yù)測結(jié)果顯示殘差GM(1,1)優(yōu)于傳統(tǒng)GM(1,1);包儀軍等[5]針對GM(1,1)的背景值構(gòu)造方法進(jìn)行了改進(jìn),建立了一個效果較好且穩(wěn)定的懸臂橋梁線形預(yù)測模型;另外,姚榮等[6-7]均將GM(2,1)與GM(1,1)做了仿真對比分析,結(jié)論各異,說明了原始撓度數(shù)據(jù)的趨勢關(guān)系特性應(yīng)與合理的階數(shù)相匹配才能避免出現(xiàn)病態(tài)預(yù)測,進(jìn)而提高預(yù)測效果的穩(wěn)定性。

    綜上所述,整數(shù)階階數(shù)的灰色模型在大跨度橋梁施工監(jiān)控領(lǐng)域中已得到了廣泛的應(yīng)用,但是基于分?jǐn)?shù)階階數(shù)的灰色模型在該領(lǐng)域的研究和應(yīng)用幾乎沒有。近年來,分?jǐn)?shù)階灰色模型得到很高的關(guān)注度,它是對整數(shù)階灰色模型的拓展,有其特有的優(yōu)勢。孟偉[8]研究表明:相比整數(shù)階灰色模型,分?jǐn)?shù)階灰色模型不僅能滿足新信息優(yōu)先原則,而且在樣本數(shù)量達(dá)到最優(yōu)時預(yù)測具有穩(wěn)定性好、擾動小和精度高的特點(diǎn)。鑒于此,筆者將分?jǐn)?shù)階算子GM(1,1)引入大跨徑剛構(gòu)橋梁施工監(jiān)控,并對模型背景值進(jìn)行優(yōu)化,得到改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)預(yù)測模型。通過實(shí)例驗證新模型的擬合和預(yù)測效果,以期有一定的實(shí)際應(yīng)用價值。

    1 基于牛頓插值的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型

    1.1 分?jǐn)?shù)階拓展算子的GM(1,1)模型

    分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型的差分形式為:

    x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

    (1)

    式中:a為模型的發(fā)展系數(shù);b為灰色作用量。背景值z(r)(k+1)的常用構(gòu)造公式為:

    (2)

    (3)

    當(dāng)r=1時,由式(1)可得到x(0)(k)+az(1)(k)=b,模型變?yōu)閭鹘y(tǒng)的GM(1,1)。

    1.2 基于牛頓差值的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型

    實(shí)際上,背景值z(r)(k+1)的精確解為:

    (4)

    而式(2)是根據(jù)牛頓-柯特斯(Newton-Cotes)求積公式得到的梯形積分?jǐn)?shù)值解,該公式只有1次代數(shù)精度。大量文獻(xiàn)已證明該近似計算方法會影響預(yù)測精度[9-11]。另外,經(jīng)計算驗證,若采用具有3次代數(shù)精度的辛普森公式進(jìn)行一次牛頓差值計算,所得背景值構(gòu)造公式與式(2)相同,并未真正意義上進(jìn)行優(yōu)化。在保證求積公式穩(wěn)定及收斂的前提下,為了進(jìn)一步提高代數(shù)精度的次數(shù),減小逼近誤差,選用具有3次代數(shù)精度的求積公式對式(4)進(jìn)行二次牛頓插值求解,從而得到一個精度較高的分?jǐn)?shù)階灰色模型背景值構(gòu)造公式。

    根據(jù)牛頓-科特斯數(shù)值積分計算公式,具有3次代數(shù)精度的背景值構(gòu)造公式為:

    (5)

    Nk(t)=x(r)(k)+x(r)[k,k+1]×(t-k)+x(r)[k,k+1,k+2]×(t-k)×[t-(k+1)]

    (6)

    (7)

    (8)

    將式(7)和式(8)代入式(5),可得k=1,2,…,n-2 時的背景值構(gòu)造公式為:

    (9)

    而計算z(r)(n)應(yīng)以最后3個節(jié)點(diǎn)n-2、n-1和n進(jìn)行插值計算,同理可得:

    (10)

    綜上所述,可得到基于二次牛頓插值的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型,形式為:

    x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

    (11)

    其中:

    (12)

    1.3 最優(yōu)分?jǐn)?shù)階的算法步驟

    階數(shù)是分?jǐn)?shù)階灰色模型提高精度的關(guān)鍵因素。最優(yōu)階數(shù)r的求解以最小平均相對誤差為優(yōu)化指標(biāo),優(yōu)化公式為:

    (13)

    以自適應(yīng)變異粒子群優(yōu)化算法(簡稱PSO)[12-13]搜索最優(yōu)階數(shù)r。該算法不僅計算簡潔便于實(shí)現(xiàn),且具有全局收斂性能,主要流程為:

    Step 1初始化參數(shù)。δ為給定的收斂值,gbest設(shè)置為最佳粒子位置,取粒子初始位置pbest=r=1,此時模型為GM(1,1)。

    Step 2根據(jù)式(13)計算pbest=r時分?jǐn)?shù)階模型的f(r)。當(dāng)|f(pbest)-f(gbest)|<δ時,轉(zhuǎn)向Step 4;否則,執(zhí)行Step 3。

    Step 4輸出收斂準(zhǔn)則下的r值,即為分?jǐn)?shù)階灰色模型的最優(yōu)階數(shù)。

    2 連續(xù)剛構(gòu)橋線形監(jiān)控實(shí)例

    重慶石柱至黔江高速公路上在建的里頭河大橋主橋是跨徑為70 m+130 m+70 m的預(yù)應(yīng)力混凝土變截面連續(xù)剛構(gòu)橋,采用懸臂澆筑法施工。節(jié)段劃分為:0號塊,1號~16號懸臂澆筑段,合龍段。以3# 墩向中跨部分懸臂澆筑線形控制為例,其向跨中側(cè)懸臂澆筑節(jié)段尺寸如圖1。為了保障順利合龍以及成橋后橋面線形良好,需通過有限元軟件模擬仿真分析和現(xiàn)場監(jiān)測相結(jié)合的方法,對主梁施工過程中的預(yù)拱度變化狀態(tài)進(jìn)行有效地計算、監(jiān)測、分析和預(yù)測,已達(dá)到自適應(yīng)控制。

    圖1 懸臂澆筑節(jié)段(單位:cm)Fig. 1 Cantilever casting section

    首先,利用有限元軟件建立力學(xué)計算模型,如圖2。通過對各工況進(jìn)行正裝分析,計算各施工節(jié)段的應(yīng)力和位移等參數(shù),模型包含156個單元。其次,在各個節(jié)段施工時,在距離節(jié)段前10 cm布置高程測試截面,如圖1。每個截面布置5個高程控制點(diǎn),用于測試實(shí)際預(yù)拱度,如圖2。最后,通過對已澆筑節(jié)段預(yù)拱度的理論值、實(shí)測值進(jìn)行對比分析,尋找偏差原因,從而調(diào)整參數(shù),預(yù)測下一節(jié)段的預(yù)拱度。

    圖2 力學(xué)計算模型Fig. 2 Mechanical calculation model

    圖3 橫斷面控制點(diǎn)布置(單位:cm)Fig. 3 Layout of cross section control points

    限于篇幅,表1列出了4號~8號節(jié)段的高程控制橫斷面上的2# 監(jiān)測點(diǎn)在預(yù)應(yīng)力張拉后的預(yù)拱度監(jiān)測數(shù)據(jù)。從數(shù)據(jù)變化可推斷出,計算參數(shù)取值誤差、測量誤差以及現(xiàn)場施工環(huán)境多變等原因?qū)е铝烁鞴?jié)段實(shí)測預(yù)拱度值均大于理論值。

    表1 部分節(jié)段預(yù)拱度監(jiān)測數(shù)據(jù)Table 1 Partial segment camber monitoring data

    3 模型預(yù)測及對比分析

    3.1 基于牛頓差值的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型應(yīng)用

    從樣本數(shù)量角度出發(fā),不少于4個數(shù)據(jù)序列建立灰色模型進(jìn)行線形監(jiān)控預(yù)測可進(jìn)一步減小預(yù)測誤差[14]。因此,選取表1中4號~8號節(jié)段的預(yù)拱度監(jiān)測數(shù)據(jù)為原始樣本數(shù)據(jù)建立基于二次牛頓插值的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)。

    首先,以4號~8號節(jié)段張拉后預(yù)拱度實(shí)測值與理論值的差值為模型原始序列X(0),則:

    X(0)=(5.3,8.6,12.5,13.2,18.6)

    通過PSO算法,以最小平均相對誤差為指標(biāo),搜索得最優(yōu)階數(shù)r=0.54,此時構(gòu)造的背景值為:

    Z(0.54)=[9.223 1,16.355 5,23.863 1,33.460 8]

    最后,經(jīng)過累減生成的原始序列模擬值為:

    圖4 原始序列與模擬序列對比Fig. 4 Comparison of original sequence and simulated sequence

    3.2 預(yù)測精度對比分析

    為了檢驗?zāi)P驮谶B續(xù)剛構(gòu)橋梁預(yù)拱度預(yù)測的精度,將文中模型、傳統(tǒng)GM(1,1)以及分?jǐn)?shù)階GM(1,1)分別用于模擬4號~8號節(jié)段的預(yù)拱度數(shù)據(jù),并用誤差檢驗的殘差ε(k)、相對誤差Δk以及平均相對誤差Δ共3個指標(biāo)進(jìn)行精度評定,結(jié)果如表2。

    預(yù)測結(jié)果可見,分?jǐn)?shù)階GM (1,1)預(yù)測得到的各個值的殘差、相對誤差均有所減小。更重要的是,分?jǐn)?shù)階GM(1,1)的預(yù)測平均相對誤差為6.0%,相比傳統(tǒng)的GM(1,1)模型減少了6.1%,充分說明了對GM(1,1)階數(shù)的優(yōu)化可以改善預(yù)測效果。在分?jǐn)?shù)階模型處理中,文中模型將背景值參數(shù)構(gòu)造方法的代數(shù)精度進(jìn)一步提高,增強(qiáng)了原始序列的平滑效果,弱化了極端值的影響,使平均相對誤差減小到3.1%。

    表2 不同灰色模型預(yù)測精度比較Table 2 Comparison of prediction accuracy of different grey models

    4 結(jié) 論

    針對傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型用于大跨徑剛構(gòu)橋梁會出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象和預(yù)測精度不高的問題,筆者將分?jǐn)?shù)階算子GM(1,1)模型引入大跨度橋梁預(yù)拱度預(yù)測,并建立了一種基于牛頓二次插值的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)新模型,實(shí)現(xiàn)了對傳統(tǒng)GM(1,1)模型的階數(shù)和背景值的雙重優(yōu)化。得出以下結(jié)論:

    1)與傳統(tǒng)的GM(1,1)相比,分?jǐn)?shù)階GM(1,1)模型具有自適應(yīng)擬合和新信息優(yōu)先的優(yōu)點(diǎn)。在最優(yōu)分?jǐn)?shù)階狀態(tài)下,所得到的模型的平均相對誤差最小。

    2)將傳統(tǒng)的GM(1,1)的階數(shù)由整數(shù)拓展到分?jǐn)?shù),可以改善模型的預(yù)測精度;背景值的構(gòu)造由傳統(tǒng)的梯形求積公式優(yōu)化為具有三次代數(shù)精度的二次牛頓插值求積公式,增強(qiáng)了原始序列的平滑效果,弱化了極端值對灰色預(yù)測模型精度的影響。

    3)工程實(shí)例應(yīng)用表明,將分?jǐn)?shù)階GM(1,1)引入大跨徑剛構(gòu)橋梁施工監(jiān)控是可行的,優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階GM(1,1)可以進(jìn)一步預(yù)測精度較高,對于同類型的橋梁施工控制有一定的參考價值。

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