借助幾何直觀 突出素養(yǎng)考查

湖北省武漢市黃陂區(qū)教學(xué)研究室 劉光華 （郵編：430399）

1 試題呈現(xiàn)

（武漢市中考第16題）如圖1，在 △ABC中 ，AB＝AC，∠BAC＝90°.邊AB上的點(diǎn)D從頂點(diǎn)A出發(fā)，向頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊BC上的點(diǎn)E從頂點(diǎn)B出發(fā)，向頂點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，D，E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等.設(shè)x＝AD，y＝AE＋CD，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2，圖象過(guò)點(diǎn)（0，2），則圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是_______.

圖1

圖2

2 試題評(píng)價(jià)

試題以常見(jiàn)的特殊三角形——等腰直角三角形為問(wèn)題背景，將幾何圖形中等速運(yùn)動(dòng)線段（AD，BE）的長(zhǎng)及另兩線段的和（AE+CD）的變化關(guān)系以函數(shù)形式呈現(xiàn)，結(jié)合幾何圖形，結(jié)論回歸函數(shù)圖象求最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等核心主干知識(shí)，巧妙的融合函數(shù)的概念及基本性質(zhì).在設(shè)計(jì)試題時(shí)，關(guān)注并且體現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)程標(biāo)準(zhǔn)》設(shè)計(jì)思路中提出的十個(gè)核心詞：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想，以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

2.1 借助幾何直觀，直擊問(wèn)題本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）提出：借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用.本題以學(xué)生最為熟悉的等腰直角三角形為問(wèn)題背景，圖形簡(jiǎn)潔唯美，將點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段x＝AD與y＝AE＋CD兩個(gè)變量的關(guān)系以函數(shù)的方式呈現(xiàn)，借助幾何直觀將問(wèn)題變得生動(dòng)、形象，讓學(xué)生能比較直觀的感受這一變化過(guò)程的特征，直擊問(wèn)題的本質(zhì)，有助于學(xué)生探索解決問(wèn)題的路徑，引發(fā)學(xué)生思考；學(xué)生在經(jīng)歷借助圖形及函數(shù)圖象思考問(wèn)題的過(guò)程中初步建立幾何直觀.

2.2 呈現(xiàn)方式新穎，注重思想滲透

數(shù)學(xué)思想的重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于數(shù)學(xué)知識(shí)本身，初中數(shù)學(xué)本質(zhì)是以數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，讓給學(xué)生在潛移默化中學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，獲得思維層次的提升[1].本題一個(gè)特殊三角形為載體，以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律為主線，將幾何變換中常量、變量及它們之間的關(guān)系以函數(shù)圖象呈現(xiàn)（如等腰直角中△ABC的腰AB的長(zhǎng)要通過(guò)函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（0，2）這一條件結(jié)合動(dòng)點(diǎn)所處的位置獲取，圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)與圖形中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的關(guān)系的理解等），幾何圖形與函數(shù)圖象相輔相成，互為補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生分別從“數(shù)”和“形”的角度更好的去分析、理解題意，實(shí)時(shí)滲透方程、函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想等核心數(shù)學(xué)思想方法.

2.3 優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，突出素養(yǎng)考查

本題是客觀題的最后一題，也被認(rèn)為是選填題的“壓軸題”，試題在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)考查學(xué)生綜合運(yùn)用核心知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，突出核心素養(yǎng)的考查.容易發(fā)現(xiàn)，試題在D，E兩點(diǎn)等速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終存在AD＝BE這一不變關(guān)系，由函數(shù)圖象中可以提煉出常量AB＝1，函數(shù)的最低點(diǎn)即AE＋CD最小，也就是找出當(dāng)AE＋CD最小時(shí)，點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)到什么位置等信息，學(xué)生從各個(gè)角度加工和配置信息的能力越強(qiáng)，解決問(wèn)題的策略就越多，拓展思維的深度和廣度，從而優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)[2].進(jìn)而尋求不同途徑的解決問(wèn)題方法，通過(guò)數(shù)學(xué)建模添加輔助線，運(yùn)用圖形中的幾何關(guān)系通過(guò)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算尋求解答，突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的全面考查.

3 試題解答

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＝AD＝0時(shí)，y＝AE＋CD＝2，即AB＝1；求函數(shù)圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)即當(dāng)y＝AE＋CD最小時(shí)，求自變量x的值，也就是AE＋CD最短時(shí)，求AD的值.

思路一兩點(diǎn)之間線段最短——通過(guò)構(gòu)造時(shí)兩條線段共端點(diǎn)

方法1如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥BC，取BF＝AB，聯(lián)結(jié)EF，由條件可知△ADC≌△BEF，CD＝EF.

圖3

當(dāng)y＝AE＋CD＝AE＋EF最小時(shí)，點(diǎn)E落在AF與BC的交點(diǎn)處H，由題意可知∠ABF＝135°，∠BFA＝∠ABF＝22.5°，

所以∠CAH＝∠CHA＝67.5°，

因此CH＝AC＝1，x＝BH＝-1，即圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1.

方法2如圖4，同方法1，y最小時(shí)，點(diǎn)E落在AF與BC的交點(diǎn)H處，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥FB于

圖4

tan∠BFA＝-1，即圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1.

方法3如圖5，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，取AF＝AB，聯(lián)結(jié)FD，由條件可知△AFD≌△BAE，F(xiàn)D＝AE，

圖5

當(dāng)y＝AE＋CD＝FD＋CD最小時(shí)，點(diǎn)E落在CF與AB的交點(diǎn)H處，由題意可知∠CAF＝135°，∠AFC＝∠ACF＝22.5°，

過(guò)點(diǎn)H作GH∥AC，交AF于點(diǎn)G，

易證∠AGH＝∠GAH＝45°，F(xiàn)G＝GH＝AH

評(píng)析兩條線段的和最短一般通過(guò)圖形變換或構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)化，使兩條線段共端點(diǎn)，再利用“垂線段最短”或“兩點(diǎn)之間線段最短”等幾何性質(zhì)找到符合條件的點(diǎn).上述三種方法都是通過(guò)構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)化線段，再通過(guò)“兩點(diǎn)之間線段最短”利用圖形關(guān)系求出符合條件的x的值，其中第一、第三種解法除構(gòu)造轉(zhuǎn)化不同外，兩種方法都是直接利用角度的特殊關(guān)系比較輕松的求出最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對(duì)讀圖、識(shí)圖能力較強(qiáng)的學(xué)生能較快求解.

思路二函數(shù)最值——利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系

方法4如圖6，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，

圖6

由條件可知AD＝BE＝

如 圖7，作MN⊥MK，LK⊥MK，LK＝1，，P為MK上一點(diǎn)，PK＝x，

圖7

由條件可得LP＝，

y＝AE＋CD＝LP＋NP最小時(shí)，L、P、N三點(diǎn)共線，此時(shí)△LPK∽△NPM，

評(píng)析方法4直接利用試題中的已知條件，將幾何問(wèn)題借助勾股定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、y的函數(shù)問(wèn)題，即常見(jiàn)的“幾何問(wèn)題代數(shù)解”，減少了繁雜的圖形構(gòu)造，解題思路相對(duì)單一.然而由勾股定理運(yùn)算形成的函數(shù)不是學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)類型，這就給問(wèn)題的解決帶來(lái)了新的挑戰(zhàn).仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，這類由勾股定理運(yùn)算產(chǎn)生的函數(shù)是可以通過(guò)數(shù)學(xué)建模，再次將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如上的幾何問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)“代數(shù)問(wèn)題幾何解”，同時(shí)利用幾何圖形來(lái)研究代數(shù)問(wèn)題，也能幫助學(xué)生建立幾何直觀.前后的兩次“穿越”雖然不是本題的最優(yōu)解答，卻能給學(xué)生以啟迪，讓學(xué)生在這種“穿越”中感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力.

4 結(jié)語(yǔ)

幾何直觀是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力就是要讓學(xué)生進(jìn)行直觀表征、直觀分析、直觀操作和直觀想象，進(jìn)而感知、理解、觸摸、推想到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)[3].試題從等腰直角三角形這一具體數(shù)學(xué)模型出發(fā)，結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律這一主線，學(xué)生在讀圖、識(shí)圖的過(guò)程中，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，方程、函數(shù)思想去分析、解決問(wèn)題的能力，凸顯對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的綜合檢驗(yàn)，從而落實(shí)立德樹人的根本目標(biāo).