例談高中數(shù)學(xué)解題中的化歸思想

黃小良

摘 要：在高中階段的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)學(xué)科更加抽象，數(shù)學(xué)解題中遇到各種類型的難題影響學(xué)生學(xué)習(xí)效率.為了構(gòu)建高效課堂，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率，引入新的教學(xué)模式和思想，化歸思想作為數(shù)學(xué)中的重要思想，能夠提高課堂教學(xué)效率，強(qiáng)化學(xué)生思維能力，使得知識(shí)內(nèi)容通俗易懂，具有形象性和具體性的特點(diǎn).借助化歸思想完成數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生快速有效解決問題，提高學(xué)生的解題能力.本文探究高中數(shù)學(xué)解題中化歸思想的應(yīng)用策略.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)解題;化歸思想;應(yīng)用策略

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）01-0083-03

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)和定理進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).想要提高學(xué)生的解題能力，不僅僅是對(duì)學(xué)生進(jìn)行習(xí)題練習(xí)和講解，還需要學(xué)生掌握解題方法和技巧，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想，做到觸類旁通、舉一反三，提高學(xué)生的解題能力.化歸思想是眾多數(shù)學(xué)思想的一種，在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用比較多，能夠降低題目理解難度，明確解題思路，快速高效地解決數(shù)學(xué)難題.

1 化歸思想的概述和原則

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，涉及到的數(shù)學(xué)思想很多，如數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸思想等，化歸思想能夠幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，通過(guò)真命題的方式對(duì)新命題進(jìn)行證明，利用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)概念，完成新概念的定義，對(duì)各種數(shù)學(xué)問題進(jìn)行處理.在高中數(shù)學(xué)中，化歸思想有著重要的位置，在數(shù)學(xué)運(yùn)算和計(jì)算中，將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)方程，將立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何，借助化歸思想有效解決數(shù)學(xué)問題.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要求學(xué)生根據(jù)題目信息，結(jié)合已知條件，對(duì)其內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行分析，利用化歸思想，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)解題，尋找數(shù)學(xué)解題思路和方法.

在高中數(shù)學(xué)解題中，想要應(yīng)用化歸思想，需要遵循相應(yīng)的原則.首先，熟悉化原則.在高中數(shù)學(xué)解題中，化歸思想的利用應(yīng)當(dāng)根據(jù)以往解題經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合同類型的數(shù)學(xué)題目，對(duì)已知數(shù)學(xué)信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化成已知量，尋找問題解答思路.其次，簡(jiǎn)單化原則.在實(shí)際的解題中，應(yīng)用化歸思想，其目的是簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)題目，將數(shù)學(xué)題目相關(guān)的信息進(jìn)行提煉，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題目的簡(jiǎn)化，將無(wú)價(jià)值或者干擾信息剔除，避免解題環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤.最后，難反性原則.在高中數(shù)學(xué)解題中，部分題目采取正向思維方式解題較為困難，可以利用逆向思維方式，從問題向前推導(dǎo)，通過(guò)對(duì)問題和已知量關(guān)系的總結(jié)，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)解題，完成數(shù)學(xué)題目解答.

2 高中數(shù)學(xué)解題中化歸思想應(yīng)用策略

2.1 動(dòng)與靜之間的轉(zhuǎn)化

在高中數(shù)學(xué)解題中，動(dòng)與靜之間的轉(zhuǎn)化是化歸思想的主要內(nèi)容，通常體現(xiàn)在函數(shù)解題中，借助函數(shù)反映生活中存在的變量關(guān)系，是一種重要的數(shù)學(xué)模型，對(duì)事物運(yùn)動(dòng)和變化的規(guī)律進(jìn)行探究.在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生探究變量之間的關(guān)系，提煉出數(shù)學(xué)和變量之間的關(guān)系，借助化歸思想，將靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化成變量動(dòng)態(tài)關(guān)系，通過(guò)運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)思考和解決函數(shù)問題，提高學(xué)生的解題能力.例如，在對(duì)數(shù)函數(shù)中，大小比較是常見的題目類型，讓學(xué)生掌握解題方式，學(xué)生很容易就能夠完成解題.

例1 試比較log312和log35的大小.

在解答此題的過(guò)程中，教師可以引入化歸思想，借助函數(shù)的動(dòng)靜轉(zhuǎn)化解決問題.首先，教師讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行觀察，并且明確兩個(gè)數(shù)學(xué)式屬于靜止數(shù)值，引入化歸思想，借助靜與動(dòng)的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log3x，將兩個(gè)數(shù)學(xué)式看作函數(shù)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)值的動(dòng)態(tài)化轉(zhuǎn)變.根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log3x在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，對(duì)兩個(gè)數(shù)學(xué)式的大小進(jìn)行判斷.通過(guò)學(xué)生掌握化歸思想，將實(shí)現(xiàn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化題目理解難度，掌握解題方式方法，特別是對(duì)于選擇題、填空題，能夠快速準(zhǔn)確地找出答案，提高學(xué)生的解題能力.

2.2 數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化

數(shù)與形的轉(zhuǎn)化和結(jié)合是化歸思想的特別形式，將代數(shù)式和圖形巧妙地結(jié)合，將抽象問題轉(zhuǎn)化為直觀問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問題，是一種有效的解題方式.因此，在高中數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)題目條件和內(nèi)容，利用化歸思想，借助數(shù)與形的結(jié)合，對(duì)題目進(jìn)行分析，找出其中的數(shù)量關(guān)系，明確解題突破點(diǎn)，完成題目的思考和解答.

例2 在函數(shù)y=3sinx和函數(shù)y=12-x中，當(dāng)x的取值范圍是[-1，5]時(shí)，那么兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和是.

此題是求解兩個(gè)函數(shù)在特定區(qū)間的交點(diǎn)，如果采取常規(guī)的解題方式，利用兩個(gè)函數(shù)相等構(gòu)建相應(yīng)的方程、分式和三角函數(shù)形式，運(yùn)算過(guò)程較為麻煩，很難求解出交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化思路，借助數(shù)與形結(jié)合思想，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化成“形”，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，觀察區(qū)間[-1，5]上的圖象，如圖1所示，兩個(gè)函數(shù)圖象一共有六個(gè)交點(diǎn)，并且交點(diǎn)關(guān)于（2，0）成三組對(duì)稱，因此（2，0）是每組對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式完成橫坐標(biāo)和的求解.

在高中數(shù)學(xué)解題中，面對(duì)一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，如果從常規(guī)思路無(wú)法解題或者解題過(guò)程復(fù)雜，可以借助化歸思想，利用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化對(duì)問題進(jìn)行分析，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過(guò)圖形展示，明確問題解題思路，鍛煉學(xué)生的解題能力，掌握多樣化的解題方式.

2.3 等價(jià)和非等價(jià)的轉(zhuǎn)化

在化歸思想中，等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的形式，在等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，需要對(duì)其前因后果進(jìn)行了解，保證轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確性.一般來(lái)說(shuō)，在立體幾何解題中，對(duì)于翻折、對(duì)稱等問題，通過(guò)曲直轉(zhuǎn)化的方式，將立體化問題轉(zhuǎn)化成平面問題，快速準(zhǔn)確解答問題.

例3 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA是直角，M是A1B1的中點(diǎn)，N是A1C1的中點(diǎn)，且BC=CA=CC1，那么BM和AN所成角的余弦值是.

在解題中，通過(guò)對(duì)題目條件進(jìn)行分析，需要對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，將直三棱柱補(bǔ)充為正方體，借助向量法求解異面直線夾角.根據(jù)∠BCA為直角，三棱柱為直三棱柱，并且BC=CA=CC1，將直三棱柱進(jìn)行補(bǔ)充，構(gòu)建相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示.假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)是2，得出點(diǎn)A，B，M，N的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)寫出向量BM和向量AN的坐標(biāo)，利用向量相關(guān)知識(shí)，求解出BM和AN夾角的余弦值.圖2

在等價(jià)轉(zhuǎn)化過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)確保其等價(jià)性，特別是邏輯的準(zhǔn)確.如函數(shù)定義域和值域的求解中，根據(jù)定義域和值域的概念，將其轉(zhuǎn)化成不等式組，針對(duì)方程根的分布問題，將其轉(zhuǎn)化成不等式求解.

2.4 一般和特殊的轉(zhuǎn)化

在高中數(shù)學(xué)解題中，一些難題需要從特殊向一般轉(zhuǎn)化，利用特殊值、特殊情況對(duì)題目進(jìn)行求解.在具體的解題中，結(jié)合已知數(shù)學(xué)知識(shí)和原理，將一般條件和特殊條件進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，一般來(lái)說(shuō)，一般情況是對(duì)特殊情況的概括和總結(jié)，具有一定的普遍性.面對(duì)高中數(shù)學(xué)題目，需要對(duì)其題目進(jìn)行分析，找出其特殊情況，在探究特殊情況的基礎(chǔ)上，對(duì)題目進(jìn)行一般化總結(jié).

例4 已知函數(shù)f（x）=x2+x，x≤0ax2+bx，x>0是奇函數(shù)，求解函數(shù)F（x）=bx+3ax上任意點(diǎn)P處的切線與直線x=0和直線y=x所成圖形面積.

在解題過(guò)程中，根據(jù)題目中的已知條件，坐標(biāo)系所圍成圖形面積是一定的，那么和點(diǎn)P位置沒有關(guān)系.在實(shí)際解題時(shí)，可以對(duì)點(diǎn)P進(jìn)行任意取值，確定點(diǎn)P 的特殊位置，根據(jù)函數(shù)式中a，b的值，求解圖形的面積.在整個(gè)解題中，利用化歸思想，實(shí)現(xiàn)特殊和一般的轉(zhuǎn)化，使得解題更加簡(jiǎn)單，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)，將問題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)信息識(shí)別和分析能力，掌握多樣化解題方法，提高學(xué)生的解題能力.

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，化歸思想是常見的解題思想和方法，在學(xué)生解題訓(xùn)練中，引導(dǎo)學(xué)生利用化歸思想鍛煉學(xué)生的解題能力，掌握多樣化的解題技巧.通過(guò)學(xué)生解題訓(xùn)練，加深數(shù)學(xué)知識(shí)理解和應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)學(xué)生綜合能力發(fā)展.隨著新課程改革的深入，高中數(shù)學(xué)改革也在不斷推進(jìn)，作為數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，化歸思想有著重要的地位，應(yīng)當(dāng)靈活應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題環(huán)節(jié)，加強(qiáng)學(xué)生綜合素質(zhì)培養(yǎng).本文通過(guò)對(duì)化歸思想進(jìn)行概述，簡(jiǎn)單敘述應(yīng)用原則，結(jié)合幾種化歸思想的表現(xiàn)形式，探究化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

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[責(zé)任編輯：李 璟]