數(shù)學實驗中的“結構性素材”建構

摘 要 當下，數(shù)學實驗素材的建構存在著唯知識化、去思維化、過精致化等傾向。建構結構性素材要緊扣數(shù)學知識關聯(lián)、學生思維過程和學情分析，對數(shù)學實驗素材進行深度開發(fā)、有效整合和創(chuàng)新創(chuàng)造。結構性實驗素材不只是數(shù)學實驗之準備，更決定了數(shù)學教學的內(nèi)容、方式等。教師要善于從點線面上對數(shù)學素材進行加工、改造、整合，從而讓素材能更好地促進學生思維，提升學生數(shù)學學習力，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

關? 鍵? 詞 小學數(shù)學 結構性素材 創(chuàng)新性建構

引用格式 高巧萍.數(shù)學實驗中的“結構性素材”建構[J].教學與管理，2022（05）：53-55.

數(shù)學實驗是學生數(shù)學學習的一種重要方式。數(shù)學素材是數(shù)學實驗的重要組成部分，是數(shù)學實驗的基礎。從某種意義上說，學生數(shù)學實驗成效就取決于學生數(shù)學實驗素材的效度。作為教師，要引導學生對數(shù)學實驗素材進行深度加工、建構、完善，從而讓數(shù)學實驗素材更適合學生的數(shù)學實驗學習。當下，數(shù)學實驗素材的建構存在著唯知識化、去思維化、過精致化等傾向，為此，教師要深入研究數(shù)學結構性實驗素材的建構。

一、數(shù)學實驗“結構性素材”的建構原則

數(shù)學實驗是學生的一項動手又動腦的“做中學”的具身性實踐活動。數(shù)學實驗素材不僅要蘊含相關的數(shù)學本質、內(nèi)涵，更要便于學生動手操作。數(shù)學實驗素材的研發(fā)、設計，應當從學生的需求和經(jīng)驗出發(fā)，從數(shù)學實驗的條件、前提出發(fā)。“結構性素材”是指通過材料揭示數(shù)學知識的本質內(nèi)涵、關系等。簡明性、操作性、思辨性是數(shù)學結構性實驗素材的建構原則。只有通過結構化實驗素材的建構，才能有效地助推學生的數(shù)學學習。

1.簡明性原則

數(shù)學結構性實驗素材應當蘊含數(shù)學內(nèi)涵和數(shù)學本質。結構性的數(shù)學實驗素材，應當能激發(fā)學生的思維、探究欲望，調(diào)動學生思維、探究的積極性，開掘學生思維、探究的創(chuàng)造性。數(shù)學實驗素材的簡明性，包括數(shù)學素材的易獲得性、可理解性、劣構性等特性?！耙撰@得性”是指學生數(shù)學實驗素材要盡量來源于學生的經(jīng)驗、生活;“可理解性”是指學生的數(shù)學實驗素材不能繁雜，而應當促進學生的深度理解;“劣構性”是指學生的數(shù)學實驗素材是不完整的，能召喚學生對之進行補充、豐富、完善等。簡明性的數(shù)學結構性素材，能提升學生的數(shù)學實驗效能。

2.操作性原則

數(shù)學實驗結構性素材，應當有助于學生數(shù)學實驗動手操作。如果學生數(shù)學實驗素材可操作性程度偏低，就不利于學生動手操作，或者說學生動手操作不能揭示出相應的數(shù)學本質、內(nèi)涵?？刹僮餍栽瓌t要求數(shù)學實驗素材能讓學生與實驗素材親密接觸，能給學生獨特的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、建構的機會、平臺。一般來說，數(shù)學實驗素材不能花里胡哨，讓學生眼花繚亂，要避免實驗素材的非本質屬性的干擾。例如在教學“可能性”（蘇教版四年級下冊）時，教師用“乒乓球”“硬幣”“撲克牌”“轉轉盤”“數(shù)字卡片”“小正方體色子”等實驗素材，引導學生做“摸球實驗”“拋硬幣實驗”“摸牌實驗”“轉盤實驗”“擲骰子實驗”等，從而讓學生建立“可能”“一定”“不可能”等相關概念，感受、體驗事件發(fā)生的可能性?？刹僮餍栽瓌t是數(shù)學實驗材料結構性建構的基本原則。

3.思辨性原則

數(shù)學實驗素材應當有助于學生的思維參與，應當彰顯學生思辨的價值。從某種意義上說，數(shù)學實驗素材的結構性首先應當體現(xiàn)在數(shù)學實驗素材能引發(fā)學生的數(shù)學深度思維。如果一個數(shù)學實驗素材沒有引發(fā)學生的數(shù)學思維活動，那么這樣的數(shù)學實驗素材就很難說具有結構性，或者說，數(shù)學實驗的結構性沒有體現(xiàn)數(shù)學的效用。比如針對學生對物體的容積與體積相互混淆，筆者用這樣的結構性實驗素材——兩個外表完全相同而壁厚不同的茶葉罐，讓學生摸一摸茶葉罐的壁厚，從而讓學生直觀感受、體驗兩個茶葉罐的容積的差異。這樣的實驗素材，有助于學生展開數(shù)學思辨：外形大小相同說明什么？壁厚說明什么？兩個茶葉罐的體積相同嗎？容積呢？通過對數(shù)學結構性素材的思辨，學生展開深度研討、交流，并且反思自己的認知。通過這樣的數(shù)學教學，深化學生對數(shù)學概念的認知，讓學生不斷形成數(shù)學猜想，并展開積極的數(shù)學實驗驗證。對數(shù)學實驗結構性素材的思辨，有助于提升學生的數(shù)學學習力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

二、數(shù)學實驗“結構性素材”的建構路徑

從數(shù)學教學實踐的視角來看，數(shù)學實驗的結構性素材應當是一種組合成和數(shù)學概念有關的結構，應當是一種能激發(fā)學生思維發(fā)生的結構，應當是一種合乎學生認知結構特點的結構。教學中教師應當緊扣數(shù)學知識關聯(lián)來建構素材，緊扣學生思維過程來建構素材，緊扣學生具體學情來建構素材。對于數(shù)學實驗素材，教師要引導學生進行加工改造、有效整合、創(chuàng)造性研發(fā)。

1.緊扣知識關聯(lián)，對數(shù)學實驗素材深度研發(fā)

在數(shù)學實驗結構性素材之中，材料的結構性必須滿足材料與數(shù)學知識有著內(nèi)在的關聯(lián)。在數(shù)學材料之中，教師要埋伏關系、蘊含關系、分析關系、找準關系，緊扣數(shù)學知識關聯(lián)，對數(shù)學實驗素材進行深度研發(fā)。教師要從數(shù)學知識入手，分解數(shù)學知識中所包含的種種關系;要從數(shù)學知識關系出發(fā)，把握學生數(shù)學學習的起點;要考量材料是否具有典型性，能否有效地揭示數(shù)學知識內(nèi)涵，促進學生對數(shù)學知識本質、關系的理解。

例如教學“圓的面積”（蘇教版五年級下冊）時，為了讓學生認識到“圓的半徑或直徑與圓的面積之間的關系”，筆者給學生準備了以下的結構性的實驗素材：幾根長短不等的小棒、一瓶墨水、一個大頭針、一張白紙等。通過這樣的原生性素材，學生將墨水涂在小棒表面，然后將大頭針扎在小棒的中間，并且在白紙上讓小棒旋轉一周。如此，學生就能直觀感知到長度不同的小棒在白紙上所畫下的大小不同的圓。有學生發(fā)現(xiàn)，當半徑擴大兩倍時，圓的面積好像擴大了很多;有學生猜想，當半徑擴大兩倍，圓的面積可能擴大了四倍，等等。在此基礎上，引導學生測量、比較、對折等，從而讓學生認識到圓的半徑的大小變化與圓的面積的大小變化之間的精準函變關系。在數(shù)學實驗中，結構性實驗素材只是學生的數(shù)學學習的手段，而思維、探究才是學生數(shù)學學習的核心。

當下的數(shù)學實驗往往存在著被動化、膚淺化的現(xiàn)象，缺乏一種深度效應。教學中，教師要充分地應用數(shù)學實驗素材，促進學生的深度感知。數(shù)學素材的結構性，能有效奠定學生數(shù)學實驗基礎，能引導學生的數(shù)學操作從現(xiàn)象進入本質，進而有助于學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，建構數(shù)學定理、法則等。

2.緊扣思維過程，對數(shù)學實驗素材有效整合

如果說數(shù)學實驗素材是對數(shù)學知識本質、關系等的表現(xiàn)，那么對數(shù)學素材中所蘊含的數(shù)學知識本質、關系的發(fā)現(xiàn)、提煉與表達過程，就是學生的思維過程。這個過程離不開學生的主動分析、綜合、比較、分類、抽象和概括，因此，數(shù)學實驗素材還必須緊扣學生的數(shù)學思維過程。學生的思維過程是數(shù)學實驗素材加工設計的核心和關鍵。數(shù)學實驗素材的結構性應當能讓學生的數(shù)學思維深度發(fā)生。反過來說，從數(shù)學實驗探究所必須的思維活動、過程出發(fā)，對數(shù)學實驗素材進行選擇、組織，是一條行之有效的路徑。

例如對于“三角形的內(nèi)角和”（蘇教版四年級下冊）這一部分內(nèi)容，通常學生自然想到的方法就是測量法，也就是將三角形內(nèi)角的度數(shù)分別測量出來，然后求和。但在測量的過程中，學生通常會遭遇測量不精準的問題。教師要引導學生整合相關素材，通過設計多樣化的實驗，讓實驗結果相互佐證。從根本上說，“三角形的內(nèi)角和”屬于一種超驗性的數(shù)學知識。換言之，“三角形的內(nèi)角和”這一知識的證明是演繹推理的結果，而不是用經(jīng)驗化的實驗方法所能奏效的。有學生在測量后得出了這樣的結論：三角形的內(nèi)角和約等于180°。基于此，筆者有效地整合實驗素材，讓學生準備三種不同性質的三角形：直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形等，引導學生通過將三角形的三個角撕下來放置在一起，成為一個近似的平角;讓學生測量不同性質的三角形的三個內(nèi)角然后求和;引導學生從已知的長方形內(nèi)角和出發(fā)，探討直角三角形內(nèi)角和，進而探究銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和等。通過有效地整合實驗素材，讓實驗素材不僅具有內(nèi)在結構性，而且具有整體的結構性。學生能夠借助結構性的實驗素材開展不同類型的多元性的數(shù)學實驗，進而彼此相互印證，共同論證三角形的內(nèi)角和是180度。

在數(shù)學教學中，教師要有意識地整合實驗素材，靈活地設計數(shù)學實驗。在數(shù)學教學中，不同的思維過程、思維方法需要負載在不同的實驗素材上。精準把握學生的數(shù)學思維過程、思維特質，有助于教師選擇適恰的、合適的實驗素材。圍繞著數(shù)學探究，學生的數(shù)學思維有一個調(diào)動激活、驅動運轉、整理加工的過程，對于這一過程的把握決定了教師素材的有效整合、有機整合。

3.緊扣學情分析，對數(shù)學實驗素材創(chuàng)新開發(fā)

在數(shù)學實驗素材的結構性建構中，教師不僅要考量實驗材料是否指向數(shù)學知識的本質內(nèi)涵、關系等，而且要把握學生的數(shù)學思維過程。數(shù)學實驗素材的結構性必須以學生的認知特點和已有知識經(jīng)驗作為基礎，這就要求教師要對學生的具體學情進行深度的分析。學生的具體學情包括學生的已有知識基礎、認知傾向、認知風格、思維特點、興趣愛好等。根據(jù)學生的具體學情，教師才能有效地把握數(shù)學結構性材料的開發(fā)組織什么、怎樣組織的問題。一般而言，教師要考慮學生“心之所在”“力之所及”“毅之所達”。

例如教學“圓錐的體積”（蘇教版六年級下冊）時，通常的教法都是教師對教材的實驗照搬，即為學生準備兩個等底等高的圓柱和圓錐，讓學生將圓錐中注滿水然后倒入圓柱之中。如此三次，學生直觀感知到圓柱的體積是等底等高的圓錐體積的三倍。但在這個過程中，學生的感知、認知等是被動的，他們不理解“為什么要用兩個等底等高的圓柱和圓錐”?；诖耍P者在教學中，從學生的具體學情出發(fā)，給學生提供了長方體、正方體、圓柱體、圓錐體等，其中有圓柱和圓錐等底不等高，有圓柱和圓錐等高不等底，有圓柱和圓錐等底等高。這樣的結構性實驗素材，能引發(fā)學生的深度思考、探究。學生積極主動地選擇，并且陳述選擇的理由。比如有學生認為，因為圓柱和圓錐的底面都是圓形，便于進行實驗比較，所以選擇圓柱和圓錐作為實驗素材;有學生認為，因為較之于等底不等高、等高不等底的圓柱和圓錐，等底等高的圓柱和圓錐更能凸顯圓柱和圓錐之間的關聯(lián)，等等。結構性的素材啟迪了學生的思維，引發(fā)了學生積極的數(shù)學猜想。有學生認為，可以在圓錐中注滿水，然后直接導入圓柱之中;有學生說認為，可以將等底等高的圓柱和圓錐分別浸入盛水的量杯之中，從上升的水的高度不同、水量不同去發(fā)現(xiàn)圓錐和等底等高的圓柱之間的關系，等等。通過結構性實驗素材的提供，可以更有效幫助學生體驗實驗的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新創(chuàng)造力，進而有效發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

總之，在小學數(shù)學實驗教學中設計、研發(fā)結構性素材，教師既要把握數(shù)學知識的核心要義，又要了解學生的具體學情。只有這樣，才能有效把握結構性材料研發(fā)、設計、開掘的關鍵節(jié)點。要善于從點線面上開掘素材的結構，并對數(shù)學素材進行加工改造、有效整合，從而讓素材能更好促進學生的思維，促進學生的數(shù)學理解。只有這樣，才能讓數(shù)學實驗真正成為促進學生數(shù)學學習的有效方式。

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