系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)“三問(wèn)”教學(xué)模式探究

【摘 要】系統(tǒng)思維要求學(xué)生將所認(rèn)識(shí)的對(duì)象作為一個(gè)完整的系統(tǒng)，從整體與部分的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行思考。系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的“三問(wèn)”教學(xué)模式指教師要擅于引導(dǎo)學(xué)生提出和思考“是什么”“為什么”和“怎么樣”這三個(gè)問(wèn)題，其具有多序性和統(tǒng)一性的特點(diǎn)。文章以“分層抽樣”為例，通過(guò)兩次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生自主提出和思考“三問(wèn)”并尋求答案，最終做到對(duì)分層抽樣知識(shí)的有效學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);系統(tǒng)思維;“三問(wèn)”教學(xué)模式;分層抽樣

【作者簡(jiǎn)介】黃邵華，南寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)教研組組長(zhǎng)，高級(jí)教師，南寧市優(yōu)秀教師、教學(xué)骨干、技術(shù)標(biāo)兵，獲廣西區(qū)優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)、全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽優(yōu)秀教練員稱(chēng)號(hào)等，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教學(xué)。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》）中指出，通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱(chēng)“四基”），提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱(chēng)“四能”）[1]。相對(duì)于以往的課程標(biāo)準(zhǔn)，《新課程標(biāo)準(zhǔn)》更加重視對(duì)學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲取以及對(duì)問(wèn)題從形成到解決的模式的培養(yǎng)?；诖?，筆者提出了系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)“三問(wèn)”教學(xué)模式。其是以立德樹(shù)人為根本任務(wù)，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，以數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出為導(dǎo)向，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)性思考，逐步獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一種教學(xué)模式。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是引導(dǎo)學(xué)生從原有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，生長(zhǎng)建構(gòu)起新的經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程。系統(tǒng)思維是基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的一種思維模式，其要求學(xué)生將所認(rèn)識(shí)的對(duì)象作為一個(gè)完整的系統(tǒng)，從全局的觀點(diǎn)出發(fā)，從整體與部分、整體與環(huán)境的相互作用過(guò)程來(lái)認(rèn)識(shí)事物，從而把握整體中的組成要素以及組成要素之間的相互聯(lián)系和相互作用。

高中數(shù)學(xué)相對(duì)初中數(shù)學(xué)明顯的差異是知識(shí)的板塊和內(nèi)容增多，各部分知識(shí)之間的聯(lián)系增強(qiáng)，對(duì)知識(shí)理解和運(yùn)用的綜合性要求更高。因此，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要以系統(tǒng)思維為導(dǎo)向，注重知識(shí)板塊、章節(jié)內(nèi)部及離散知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)教學(xué)，讓學(xué)生充分理解和辨析知識(shí)的內(nèi)涵和外延。

一、“三問(wèn)”教學(xué)模式的概念

所謂“三問(wèn)”，即“是什么”“為什么”和“怎么樣”。“三問(wèn)”教學(xué)模式要求教師不論是在新授課、習(xí)題課或是其他授課類(lèi)型，都要擅于引導(dǎo)學(xué)生提出和揣摩這三個(gè)問(wèn)題。其中，“是什么”追尋的是知識(shí)的同一性問(wèn)題，即所要探究的問(wèn)題具有什么樣的模式化的結(jié)構(gòu)特征;“為什么”追尋的是知識(shí)的本原性問(wèn)題，即分析探究知識(shí)生成過(guò)程的邏輯順序，尋求思考過(guò)程的原理;“怎么樣”追尋的是知識(shí)的操作性問(wèn)題，即嘗試探究找到問(wèn)題的解決方法，尋求建立這類(lèi)問(wèn)題的常用求解模型（如圖1）。

“三問(wèn)”教學(xué)模式具有兩個(gè)明顯的特點(diǎn)：多序性和統(tǒng)一性。多序性指三個(gè)問(wèn)題排序有多種排列可能，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中根據(jù)已有知識(shí)和思維方式，會(huì)產(chǎn)生不同的發(fā)問(wèn)順序，可能是先思考“是什么”，再思考“為什么”和“怎么樣”，也可能是先有“怎么樣”的想法，再去解答“為什么”和“是什么”。統(tǒng)一性指教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中，要求學(xué)生不能只思考其中一個(gè)問(wèn)題，而應(yīng)該將三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行整體思考和領(lǐng)悟，深刻理解問(wèn)題的表象和本質(zhì)，以及具體的解決辦法。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在已有認(rèn)知信息與未知認(rèn)知信息的沖突中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，使學(xué)生懂得用所學(xué)數(shù)學(xué)語(yǔ)言提出并準(zhǔn)確表述問(wèn)題，利用已學(xué)知識(shí)邏輯嚴(yán)密地分析問(wèn)題。同時(shí)，學(xué)生能在解決問(wèn)題的過(guò)程中理解該問(wèn)題在知識(shí)體系中的意義和地位，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)性把握，有效關(guān)聯(lián)相關(guān)信息，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

本文以系統(tǒng)思維為導(dǎo)向，以人教版高中數(shù)學(xué)必修3“分層抽樣”一課為例，通過(guò)“為什么→是什么→怎么樣”的設(shè)問(wèn)順序，探究系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的“三問(wèn)”教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用。

二、系統(tǒng)把握知識(shí)框架，理解課程價(jià)值及意義

在本節(jié)課伊始，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了之前學(xué)習(xí)的兩種抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣，讓學(xué)生回顧這兩種抽樣方法作為“抽樣方法”這個(gè)整體知識(shí)板塊中的元素的區(qū)別和聯(lián)系，并通過(guò)列表使其清晰、詳細(xì)地展示出來(lái)。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)“收集數(shù)據(jù)—整理數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—推斷與決策”的整體思維路徑和處理路徑，分層抽樣是屬于收集數(shù)據(jù)中的內(nèi)容，是之后學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生在學(xué)習(xí)分層抽樣之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣這兩種抽樣方法的概念、操作方法和適用范圍，但對(duì)于總體具有明顯層次差異的情況還不能很好地解決。分層抽樣是對(duì)高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)中抽樣方法的完善和補(bǔ)充，同時(shí)也為下一節(jié)“用樣本估計(jì)總體”的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

本節(jié)課作為高中統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，知識(shí)內(nèi)容起著承上啟下的作用。因此，教師可通過(guò)這節(jié)課很好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)以系統(tǒng)思維為導(dǎo)向發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)“為什么”“是什么”和“怎么樣”這三個(gè)問(wèn)題的分析和解決過(guò)程，使學(xué)生既能深刻理解分層抽樣的概念，又能充分感受高中統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，以及本節(jié)課內(nèi)容在統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)體系中的作用和地位。

三、創(chuàng)設(shè)情境、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出“為什么”

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。在本節(jié)課中，教師通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這個(gè)實(shí)際情境出現(xiàn)的矛盾結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么”會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果，使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，感受本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的原理和來(lái)龍去脈。

教師首先創(chuàng)設(shè)情境問(wèn)題：某學(xué)校高三（1）班共有50名學(xué)生，其中男生30名、女生20名，現(xiàn)想從這50名學(xué)生中隨機(jī)抽取5名，并通過(guò)計(jì)算這5人的平均身高來(lái)估算全班學(xué)生的平均身高，見(jiàn)表1。該如何進(jìn)行抽樣？（表1中身高單位：cm）

在系統(tǒng)思維導(dǎo)向下，學(xué)生提取已有知識(shí)體系中的信息，很容易想到用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣。教師引導(dǎo)學(xué)生利用準(zhǔn)備好的實(shí)驗(yàn)道具進(jìn)行小組合作探究：分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣估算出全班學(xué)生的平均身高（教師提前將全班學(xué)生分成8組，課堂上安排其中4組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，另外4組采用系統(tǒng)抽樣進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）。

接下來(lái)，教師通過(guò)Excel電子表格繪制的折線圖與實(shí)際平均值做對(duì)比，作出如圖2所示圖表。

由圖2可以發(fā)現(xiàn)有些小組（如第1組、第3組和第5組）對(duì)平均身高的估算值偏離實(shí)際平均身高比較大，有些小組的估算值相對(duì)準(zhǔn)確（如第4組和第7組）。最后，教師讓每一組學(xué)生代表表述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的結(jié)果并分析出現(xiàn)該結(jié)果的原因。如第3組學(xué)生代表說(shuō)：“我們組的估算平均值明顯高于實(shí)際平均值，是因?yàn)槲覀兘M在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣時(shí)抽到的5人中有4人是男生，只有1位女生，而男生身高一般比女生高，所以實(shí)驗(yàn)數(shù)值就偏大了?！逼渌钶^大的小組的表述基本也是男女人數(shù)差異較大。

著名心理學(xué)家魯賓斯坦的問(wèn)題思維理論指出，思維的核心是創(chuàng)新，思維起源于問(wèn)題，是由問(wèn)題情境產(chǎn)生的，而且是以解決情境問(wèn)題為目的。本節(jié)課創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的情境問(wèn)題既簡(jiǎn)單又貼近學(xué)生的日常生活，一方面能讓學(xué)生快速理解問(wèn)題的實(shí)際背景，給予學(xué)生更多的時(shí)間思考解決問(wèn)題的辦法，另一方面能夠引起學(xué)生足夠的興趣和注意。教師在提出情境問(wèn)題后，在系統(tǒng)思維導(dǎo)向下，學(xué)生自然而然地利用已有知識(shí)和方法求解問(wèn)題。學(xué)生通過(guò)對(duì)求解結(jié)果的分析，產(chǎn)生矛盾沖突，自然順暢地提出并回答問(wèn)題：“為什么簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣的結(jié)果可能會(huì)與實(shí)際結(jié)果產(chǎn)生較大的差異？”教師引導(dǎo)學(xué)生自行總結(jié)：因?yàn)闃颖局心猩团纳砀呖傮w差異較大，所以如果在抽樣過(guò)程中抽到過(guò)多的男生或過(guò)多的女生，估算值自然就會(huì)不準(zhǔn)確，這樣的抽樣分析結(jié)果是不科學(xué)的。

四、分析背景、尋找特征，提出“是什么”

認(rèn)知心理學(xué)家西蒙指出，人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，大多數(shù)是通過(guò)模式識(shí)別來(lái)解決的。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，往往要建立適當(dāng)?shù)哪Ｊ交Y(jié)構(gòu)，這種模式化結(jié)構(gòu)能夠讓學(xué)生在將來(lái)的學(xué)習(xí)中對(duì)已有信息進(jìn)行快速識(shí)別和應(yīng)用。在本節(jié)課中，教師通過(guò)前面的實(shí)驗(yàn)探究讓學(xué)生找到了問(wèn)題產(chǎn)生的原因，而已學(xué)的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣都有其特定的抽樣背景模式，在系統(tǒng)思維導(dǎo)向下，學(xué)生便會(huì)進(jìn)一步思考這類(lèi)新問(wèn)題內(nèi)在的模式化的共性。即從特殊到一般，從具體實(shí)驗(yàn)情境出發(fā)，嘗試發(fā)現(xiàn)其普遍性特征，思考什么樣的問(wèn)題在已掌握的技能操作方式下會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果。

教師進(jìn)一步提問(wèn)：“我們之前學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣，但顯然這兩種抽樣方法對(duì)于剛才的實(shí)驗(yàn)都是不太科學(xué)的，同學(xué)們可否通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)總結(jié)一下，什么類(lèi)型的問(wèn)題不適合用這兩種抽樣方法？”學(xué)生通過(guò)前面實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，可以很自然地發(fā)現(xiàn)并回答教師的問(wèn)題，即前面實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)可以分為男生身高和女生身高兩個(gè)部分，兩個(gè)部分差異比較明顯，因此可以認(rèn)為如果總體可以分為差異明顯的幾個(gè)部分時(shí)，這類(lèi)問(wèn)題就不適用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣。

教師在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和分析問(wèn)題后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自主分析問(wèn)題，讓學(xué)生能夠從這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的具體背景中，由一個(gè)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征抽象提煉出一類(lèi)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，強(qiáng)化學(xué)生理解“是什么”的問(wèn)題，在學(xué)生頭腦中形成問(wèn)題的表象特征記憶，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

五、實(shí)踐操作、提煉方法，解決“怎么樣”

學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的思維沖突，對(duì)產(chǎn)生這樣的結(jié)果的原因充滿好奇。在系統(tǒng)思維導(dǎo)向下，學(xué)生會(huì)聯(lián)想到簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣的問(wèn)題背景和具體操作過(guò)程，自然而然地，學(xué)生會(huì)提出問(wèn)題：“當(dāng)遇到這樣的抽樣背景時(shí)，抽樣過(guò)程該如何操作呢？”

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：“該如何改進(jìn)抽樣的方法，才能使抽樣的數(shù)據(jù)更加科學(xué)合理？”學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、交流、討論，認(rèn)為由于全班學(xué)生中，男生和女生的比例是3∶2，因此在抽取樣本時(shí)，男生身高和女生身高也應(yīng)該按3∶2的比例進(jìn)行抽取。

為了驗(yàn)證這種抽樣方法的科學(xué)性，教師讓各組學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并估算全班學(xué)生的平均身高。學(xué)生在抽樣并進(jìn)行估算后，教師通過(guò)Excel電子表格繪制的折線圖與實(shí)際平均值做對(duì)比，作出如圖3所示的圖表。

由圖3可以發(fā)現(xiàn)，采用按比例抽樣的方法估算出來(lái)的平均值比另兩種抽樣方法更接近于實(shí)際平均值，這樣的抽樣方法實(shí)際上就是分層抽樣。

在上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，教師先通過(guò)第一次實(shí)驗(yàn)繪制的折線圖，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)誤差的存在并分析產(chǎn)生的原因，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新改革抽樣方法的欲望，再通過(guò)第二次實(shí)驗(yàn)中，按比例抽樣后繪制的折線圖呈現(xiàn)的明顯差異，讓學(xué)生在視覺(jué)沖擊下發(fā)現(xiàn)新抽樣方法的優(yōu)越性。教師通過(guò)信息技術(shù)的應(yīng)用，讓學(xué)生對(duì)新概念的認(rèn)知過(guò)程更具直觀性，發(fā)展學(xué)生直觀想象和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

在接下來(lái)的探究中，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶和總結(jié)分層抽樣的方法，從具體問(wèn)題中抽象概括出分層抽樣的一般操作步驟（如圖4）。

教師在充分肯定了學(xué)生的集體努力和智慧后，總結(jié)了分層抽樣的概念：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)（是什么），為了使樣本更客觀地反映總體的情況（為什么），將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本（怎么樣），這樣的抽樣方法叫做分層抽樣。

至此，學(xué)生明晰了分層抽樣的具體流程，在面對(duì)特定的抽樣背景時(shí)能夠明白“怎么樣”操作，進(jìn)而科學(xué)合理地解決問(wèn)題。如此，既培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，又發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

六、小結(jié)

教師通過(guò)兩個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生親自動(dòng)手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，自然而然地發(fā)現(xiàn)、提出、分析并解決了“為什么”“是什么”“怎么樣”這三個(gè)問(wèn)題。每個(gè)問(wèn)題都能讓學(xué)生直觀而充分地感受分層抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及系統(tǒng)抽樣的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學(xué)生系統(tǒng)性地理解三種抽樣方法的適用情況與操作方法，讓學(xué)生對(duì)分層抽樣的內(nèi)涵和外延有了更充分的理解。本節(jié)課的設(shè)計(jì)主線清晰，層層深入，充分發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位，注重對(duì)知識(shí)本體在同一性、本原性和操作性上的學(xué)習(xí)，同時(shí)注重對(duì)知識(shí)體系的整體把握，發(fā)展了學(xué)生在數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等方面的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（注：本課例榮獲廣西南寧市優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)。）

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

（責(zé)任編輯：羅小熒）