基于多元表征理論的高中函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計

楊興 唐雪敏 錢淑渠

【摘 要】概念表征是教育心理學(xué)的一個關(guān)注點。研究者從多元表征理論的角度探討概念教學(xué)，并以“函數(shù)概念”為例，構(gòu)建函數(shù)概念的課堂教學(xué)模式，設(shè)計了以“建立表征，形成概念”和“轉(zhuǎn)換表征，深化概念”為核心的函數(shù)概念教學(xué)過程，幫助學(xué)生構(gòu)建函數(shù)的多元表征系統(tǒng)，建立完整的函數(shù)概念。

【關(guān)鍵詞】多元表征理論;函數(shù)概念;教學(xué)設(shè)計

【作者簡介】楊興，貴州師范大學(xué)在讀碩士研究生，主要研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)教育;唐雪敏，貴州師范大學(xué)在讀碩士研究生，主要研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)教育;錢淑渠，安順學(xué)院教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要研究方向為計算智能、數(shù)學(xué)教育。

【基金項目】安順學(xué)院研究生創(chuàng)新專項基金資助（asxyyjscx202106）;貴州省教育教學(xué)綜合改革項目基金資助（黔教合KY字2021139）

從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來看，數(shù)學(xué)概念的來源一般有兩個方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得，二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過多級抽象所獲[1]。數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)要經(jīng)歷從外部表征到內(nèi)部表征的深化。而從學(xué)生認知的角度看，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是人腦對數(shù)學(xué)多元表征信息進行加工與儲存的過程，由于學(xué)生認知方式存在差異，對數(shù)學(xué)概念的表征方式不同，因此單一的表征方式已經(jīng)不能滿足學(xué)生認知發(fā)展的需求。然而，在實際教學(xué)中，很多教師往往忽視了學(xué)生認知方式的差異，很少關(guān)注到數(shù)學(xué)概念的多元表征。由于教師創(chuàng)設(shè)的問題情境單一，只注重函數(shù)解析式而忽視函數(shù)的其他表征形式，導(dǎo)致學(xué)生積累的函數(shù)背景不夠豐富，概念的抽象過程生硬，不能在不同形式函數(shù)之間靈活轉(zhuǎn)化。本文基于多元表征理論，重新審視函數(shù)概念的教學(xué)，根據(jù)函數(shù)多元表征的特點，構(gòu)建函數(shù)概念的課堂教學(xué)模式，即教師從實際生活情景引入函數(shù)的解析式表征、圖像表征以及表格表征，引導(dǎo)學(xué)生借助集合語言由函數(shù)外部表征轉(zhuǎn)化到內(nèi)部表征，從“變量說”過渡到“對應(yīng)說”，從而建立完整的函數(shù)概念。

一、教學(xué)設(shè)計背景

（一）教科書和學(xué)情分析

課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定高中階段函數(shù)概念教學(xué)的核心在于幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，包括“變量說”和“對應(yīng)說”。數(shù)學(xué)概念的定義離不開數(shù)學(xué)對象的表示。因此，人教版教科書設(shè)置了“函數(shù)的概念”和“函數(shù)的表示法”兩個模塊，按照“三個生活中的函數(shù)—用集合語言刻畫函數(shù)—函數(shù)的定義域和值域—函數(shù)的三種表示方法”的路徑來呈現(xiàn)，指出要通過函數(shù)的不同表示法讓學(xué)生加深對函數(shù)概念的認識[2]。高一學(xué)生在初中依據(jù)變量之間的依賴關(guān)系學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，對函數(shù)的各種形式已有了初步的感知，但是缺乏對函數(shù)對應(yīng)關(guān)系精確的刻畫。因此，本節(jié)課的難點在于：一是如何借助集合語言精確刻畫不同形式的函數(shù)，從而凸顯函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系;二是如何建立函數(shù)表征之間的聯(lián)系，從而能在實際應(yīng)用中選擇恰當(dāng)?shù)谋碚鞣绞健?/p>

（二）課堂教學(xué)模式

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思維的過程和結(jié)果，既有內(nèi)隱心理層面的反應(yīng)，也有外顯可視、可聽、可感的數(shù)學(xué)化表達，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)[3]。前者可以稱為數(shù)學(xué)知識的心理表征，也叫內(nèi)在表征，后者可以稱為數(shù)學(xué)知識的外在表征。外在表征的豐富性照顧到學(xué)生的認知差異，內(nèi)外表征的相互轉(zhuǎn)化有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。多元表征理論下的概念教學(xué)就是基于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗呈現(xiàn)不同的概念表征形式，通過表征間的轉(zhuǎn)換，從不同角度豐富概念的理解，建立新的概念表征系統(tǒng)。

在中學(xué)階段，函數(shù)本身就是一個豐富的表征系統(tǒng)，具體表現(xiàn)在：作為形式概念的函數(shù)符號（y=f（x））和操作程序的對象（輸入—輸出箱），既有代數(shù)的特征（函數(shù)解析式）和幾何的特征（函數(shù)圖像），又有數(shù)的特征（函數(shù)的列表表示）。根據(jù)數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家萊什提出的數(shù)學(xué)概念的表征系統(tǒng)[4]，結(jié)合函數(shù)概念的特點，函數(shù)概念的課堂教學(xué)模式如圖1所示。

該教學(xué)模式以實際生活情景為背景，通過三種不同的外部表征，使學(xué)生體會到函數(shù)的不同表示方式。遵循“由具體到一般，由一般到抽象”的函數(shù)概念發(fā)展過程，其核心在于以集合語言為載體，通過函數(shù)外部表征之間的轉(zhuǎn)化，由函數(shù)的“變量說”過渡到“對應(yīng)說”，使學(xué)生進一步理解函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系的意義，從而實現(xiàn)思維質(zhì)的飛躍。值得注意的是，該教學(xué)模式雖然沒有呈現(xiàn)語言表征與動作表征，但語言表征和動作表征是各種靜態(tài)表征轉(zhuǎn)化的“催化劑”，無論是外顯的活動還是內(nèi)隱的心智操作，都應(yīng)該貫穿于整個學(xué)習(xí)過程中。筆者將函數(shù)概念的教學(xué)過程分為兩個階段：一是建立表征，形成概念;二是轉(zhuǎn)換表征，深化概念。

二、教學(xué)過程設(shè)計

（一）建立表征，形成概念

1.語言表征和解析式表征——概念代數(shù)化

從函數(shù)概念的“變量說”出發(fā)創(chuàng)設(shè)問題情境，以學(xué)生熟悉的自然語言描述和解析式入手，引入集合語言，讓學(xué)生初步了解如何用集合語言精確刻畫函數(shù)。

問題1 某“復(fù)興號”高速列車加速到350 km/h后保持勻速運行半小時。這段時間內(nèi)，列車行進的路程用S（單位：km）表示，運行時間用t（單位：h）表示。

（1）S是t的函數(shù)嗎？你是怎么想的？

（2）有人說：“按照對應(yīng)關(guān)系M=350 t，這趟列車加速到350 km/h后，再運行1 h就前進了350 km。”你認為這個說法正確嗎？

對于該題的第（1）問，學(xué)生會先表示出列車行進路程的表達式M=350t，結(jié)合初中一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，很容易判斷出S是t的函數(shù)，不過此時學(xué)生的思維僅停留在解析式表征，接著教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中函數(shù)的定義，幫助學(xué)生初步建立語言表征與解析式表征之間的轉(zhuǎn)化，但學(xué)生的思維還只是停留在外部表征層面，需要向內(nèi)轉(zhuǎn)化。對于第（2）問，教師要先引起學(xué)生的認知沖突，接著指出函數(shù)“變量說”定義的局限性，并示范給出S與t的對應(yīng)關(guān)系的更精確化描述：t的變化范圍是數(shù)集A1=t0≤t≤0.5，S的變化范圍是數(shù)集B1=S0≤S≤175。對于數(shù)集A1中的任意時刻t，按照對應(yīng)關(guān)系S=350 t，在數(shù)集B1中都有唯一確定的路程S和它對應(yīng)。

2.圖像表征和表格表征——概念直觀化

教師創(chuàng)設(shè)無法用解析式表示函數(shù)的問題情境，引發(fā)學(xué)生的認知沖突。在用集合語言描述圖像函數(shù)和表格函數(shù)的過程中，學(xué)生體會到函數(shù)的本質(zhì)特征——對應(yīng)，建立了直觀化的表征。

問題2 圖2是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡稱AQI）變化圖。

（1）如何根據(jù)該圖確定這一天任意時刻t h的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的值I？你認為這里的I是t的函數(shù)嗎？

（2）你能仿照問題1給出這個函數(shù)精確化的描述嗎？

問題3 國際上常用恩格爾系數(shù)r（r=食物支出金額總支出金額）反映一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。表1是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高。你認為按表1給出的對應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？你能用集合語言描述嗎？

問題2和問題3分別以圖像表征和表格表征來呈現(xiàn)函數(shù)，沒有函數(shù)解析式作為函數(shù)概念的識別特征。這不僅要求學(xué)生理解“變量說”函數(shù)的定義，而且要求學(xué)生嘗試用集合語言來給函數(shù)下定義。教師可以適時啟發(fā)學(xué)生“按照圖2中曲線所給的對應(yīng)關(guān)系”“按照表1給出的對應(yīng)關(guān)系”來描述函數(shù)。在這一教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生知道函數(shù)不僅能用解析式、圖像和表格表示，還能用集合語言定義特殊函數(shù)。

3.集合語言表征——概念符號化

為引導(dǎo)學(xué)生用集合語言定義一般的函數(shù)，抽象概括出函數(shù)概念，教師可提出以下問題。

（1）問題1～3的3個函數(shù)有哪些共同點？有哪些不同點？

（2）你能用集合語言描述函數(shù)的概念了嗎？

對于第（1）問，學(xué)生能比較容易地使用“變量說”函數(shù)的定義區(qū)分3個函數(shù)相同點與不同點，如都是一個x對應(yīng)一個y，函數(shù)形式不同等，但不容易注意到定義域和值域。此時可以回顧并展示上述問題1～3函數(shù)的集合語言描述，使學(xué)生注意到上述函數(shù)的描述都包含兩個非空數(shù)集A，B，都有一個對應(yīng)關(guān)系，都是按照對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照某種對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，接著教師進一步引導(dǎo)學(xué)生認識到，生活中還有很多諸如問題3那樣無法寫出解析式的函數(shù)，為了表示方便，我們引進符號統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系，由此得到函數(shù)概念。

至此，學(xué)生借助集合語言，從函數(shù)的解析式表征、圖像表征和表格表征過渡到符號表征，實現(xiàn)了函數(shù)的外部表征到內(nèi)部表征的轉(zhuǎn)換，但此時學(xué)生的表征系統(tǒng)還只是單向的，對概念的理解還不夠深刻。

（二）轉(zhuǎn)換表征，深化概念

經(jīng)過上述教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生初步建構(gòu)起函數(shù)概念，但還需要在多元表征之間互相轉(zhuǎn)換，深化對概念的理解。從函數(shù)概念的課堂教學(xué)運行模式來看，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)的概念理解函數(shù)解析式、圖像和表格，并將三者關(guān)聯(lián)起來，與生活情境建立聯(lián)系。

1.根據(jù)函數(shù)概念理解函數(shù)解析式

要深入理解函數(shù)三要素，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解以下內(nèi)容：（1）發(fā)展函數(shù)概念的必要性;（2）定義域和值域都是非空數(shù)集;（3）理解函數(shù)的“一對一”和“多對一”;（4）定義域和對應(yīng)關(guān)系決定函數(shù)的本質(zhì)。以下通過一些例題幫助學(xué)生深化函數(shù)的概念。

例1 y=1與y=x-3+1-x的定義域和值域分別是多少？它們是函數(shù)嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生認識到“變量說”函數(shù)的定義方式不僅不精確而且無法解釋一些數(shù)學(xué)事實，使學(xué)生了解引入函數(shù)概念的必要性，理解函數(shù)的定義域和值域都是非空數(shù)集。

例2 判斷下列對應(yīng)是否為函數(shù)：

（1）x→y，這里y2=x，x∈N，y∈R;（2）當(dāng)x為有理數(shù)時，x→1;當(dāng)x為無理數(shù)時，x→0。

通過反例（1）和正例（2），學(xué)生加深了對函數(shù)“一對一”和“多對一”的認識。

例3 下列各組中的兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)？

（1）f（x）=x2，g（x）=（x）2;（2）f（x）=x+1x，g（t）=t+1t。

以上例題讓學(xué)生領(lǐng)悟到定義域和對應(yīng)關(guān)系決定了函數(shù)的本質(zhì)，同時也幫助學(xué)生掌握判斷兩個函數(shù)相等的方法。

2.根據(jù)函數(shù)概念創(chuàng)設(shè)生活情境

建立完整的函數(shù)概念，不僅能從生活情境中抽象出函數(shù)，還能根據(jù)函數(shù)的概念創(chuàng)設(shè)真實的生活情境，實現(xiàn)從數(shù)學(xué)的世界走向現(xiàn)實世界。

例4 試構(gòu)造一個問題情境，使其中的變量可以用解析式y(tǒng)=x（10-x）來描述。

構(gòu)造真實可信的問題情境需要分析該函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系等，有利于綜合函數(shù)各表征，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維。

3.函數(shù)表征間的靈活轉(zhuǎn)化

單一表征間的轉(zhuǎn)化能鞏固學(xué)生對函數(shù)的理解，而各表征間的靈活轉(zhuǎn)化有助于學(xué)生全方位理解函數(shù)，建立函數(shù)的表征系統(tǒng)。

例5 給定函數(shù)f（x）=x+1，g（x）=（x+1）2，x∈R。

（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x），g（x）的圖像;（2）x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的較大者，記為M（x）=maxf（x），g（x）。

該題將函數(shù)解析式、圖像、抽象函數(shù)符號f（x）等函數(shù)表征綜合在一起，不僅需要根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖像，由函數(shù)圖像想到對應(yīng)關(guān)系，還要將函數(shù)符號f（x）看成可操作對象，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系構(gòu)造新函數(shù)，幫助學(xué)生深化函數(shù)各表征間的轉(zhuǎn)化，理解函數(shù)概念，掌握函數(shù)的不同表示方法。

三、結(jié)語

基于對學(xué)生表征差異和概念教學(xué)現(xiàn)狀的認識，以多元表征理論為基礎(chǔ)設(shè)計函數(shù)概念的教學(xué)過程，通過“建立表征，形成概念”“轉(zhuǎn)換表征，深化概念”兩個階段，學(xué)生不僅理解了函數(shù)的本質(zhì)，還知道了f（x）不僅是一個函數(shù)符號，還可以作為操作程序的對象，能展開表達式畫出圖像，建立比較完整的函數(shù)表征系統(tǒng)，對今后概念的運用，根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示起到一定幫助。但表征系統(tǒng)的流暢轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)概念意象的建立是一個不斷深化的過程，本教學(xué)中“轉(zhuǎn)化表征，深化概念”的設(shè)計只是拋磚引玉，表征間的轉(zhuǎn)化、概念的深化還有拓展的空間。例如“根據(jù)圖像求解析式”“根據(jù)表格求解析式”“根據(jù)圖像構(gòu)造生活情境”“根據(jù)表格構(gòu)造生活情境”等表征間的轉(zhuǎn)化問題應(yīng)該在后續(xù)教學(xué)中有層次地呈現(xiàn)，循環(huán)往復(fù)，逐步深化。

因此，多元表征理論下的數(shù)學(xué)教學(xué)模式是以學(xué)習(xí)對象的多元表征特點為前提，以建立數(shù)學(xué)多元表征系統(tǒng)為目標(biāo)，從學(xué)生已有的知識表征出發(fā)，教師呈現(xiàn)多元表征形式，引導(dǎo)學(xué)生建立表征、轉(zhuǎn)化表征。這是一種以知識元出發(fā)來設(shè)計教學(xué)的觀點，與當(dāng)前提倡的單元教學(xué)理念相契合，這也給教師今后的數(shù)學(xué)概念、原理教學(xué)提供了一種新的思路。

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（責(zé)任編輯：陸順演）