尺規(guī)作圖教學(xué)重在“探索方法”

錢德春 于婷婷

摘要：教學(xué)要求的變化和學(xué)生能力的不足都表明，尺規(guī)作圖教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生探索作圖方法。為此，需要細(xì)化尺規(guī)作圖的教學(xué)過程：面對作圖問題（任務(wù)），引導(dǎo)學(xué)生執(zhí)果索因，感悟解題思路;引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，尋找作圖方法;引導(dǎo)學(xué)生變式作圖，強化思路與方法;引導(dǎo)學(xué)生多維感悟，把握尺規(guī)作圖的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖;作圖方法;探索

尺規(guī)作圖是有限次地使用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖的活動，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。本文基于課標(biāo)對尺規(guī)作圖教學(xué)要求的變化和一道中考尺規(guī)作圖題的考查，給出尺規(guī)作圖教學(xué)的幾點建議。

一、教學(xué)要求的變化：從“了解作圖方法”到“探索作圖方法”

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》對尺規(guī)作圖內(nèi)容教學(xué)的一般要求是“了解尺規(guī)作圖的步驟，對于尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法（不要求證明）”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對尺規(guī)作圖內(nèi)容教學(xué)的一般要求是“了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法”。據(jù)了解，即將頒布的新版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對尺規(guī)作圖內(nèi)容教學(xué)的一般要求是“經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增強動手能力，能夠想象出通過尺規(guī)作圖的操作形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力”。

從了解作圖方法（步驟），到理解作圖道理（原理），再到探索（發(fā)現(xiàn)）作圖方法（步驟），課標(biāo)對尺規(guī)作圖內(nèi)容教學(xué)的要求越來越高：一般來說，探索結(jié)論比證明結(jié)論難度大，證明結(jié)論比了解結(jié)論難度大。

究其原因，可能是，僅僅將尺規(guī)作圖作為技能，單純記住作圖方法的價值已經(jīng)不大了，因為借助更先進(jìn)的工具（包括電腦作圖軟件等），作圖可以變得更加容易;而通過探索發(fā)現(xiàn)作圖方法（同時可以理解作圖道理）的過程，是執(zhí)果索因（先想象出通過尺規(guī)作圖的操作形成的圖形），利用幾何知識解決幾何問題的過程，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維（包括直覺思維、發(fā)散思維、聯(lián)想思維等）和直觀想象能力、邏輯推理能力。鄭艷，石樹偉.初中尺規(guī)作圖教學(xué)談——從一道限定工具作圖題說起[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（4）：5053。

此外，新版課標(biāo)不再有“不要求寫出作法”的表述，可能是因為關(guān)注到寫出作法可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，以及圖形、文字與符號語言轉(zhuǎn)換能力。

二、學(xué)生探索作圖方法的能力不足——從一道中考題說起

2021年泰州市中考卷中有一道限制工具使用次數(shù)的尺規(guī)作圖題：

（1）如圖1，O為AB的中點，直線l1、l2分別經(jīng)過點O、B，且l1∥l2。以點O為圓心、OA長為半徑畫弧，交直線l2于點C，連接AC。求證：直線l1垂直平分AC。

（2）如圖2，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ。用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點D，使線段PD最短。（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡。）

本題第（2）問是尺規(guī)作圖題，第（1）問是第（2）問的鋪墊，意在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)（想起）：以線段的中點為圓心、線段長的一半為半徑作?。▓A），?。▓A）上一點對線段的張角為90°，即由?。▓A）上一點可以得到以線段為斜邊的直角三角形。

有了第（1）問的鋪墊，第（2）問的解決并不太難：

顯然，由于點P確定，直線l4確定，要在直線l4上確定一點D，使線段PD最短，只要PD⊥直線l4即可。受第（1）問的啟發(fā)，可先確定PQ的中點，再以該中點為圓心、PQ長的一半為半徑作弧，與直線l4相交得到點D。但是，由于題目條件規(guī)定直尺和圓規(guī)“分別只限使用一次”，因此，無法確定PQ的中點。這時，可以結(jié)合題中平行線的條件，轉(zhuǎn)換思路：通過PD垂直于其他直線，得到PD⊥直線l4。顯然，圖中確定了PQ與直線l2、l3的交點，可分別設(shè)為點G、H，則G為PH的中點。由此，可以點G為圓心、PG長為半徑作弧，與直線l3相交得到點E，延長PE，與直線l4相交得到點D。這樣，就有PE⊥直線l3，PD⊥直線l4。

但是，本題第（2）問的考試結(jié)果不太理想：得分率僅為0.298。其原因主要有兩個：一是學(xué)生對“分別只限使用一次”的作圖要求不知道如何處理;二是學(xué)生機械套用第（1）問的結(jié)論，只考慮作PQ的中點，沒有想到將“PD⊥直線l4”轉(zhuǎn)化。

這在一定程度上反映了在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》沒有明確提出“探索作圖方法”要求的背景下，教師對尺規(guī)作圖內(nèi)容教學(xué)（以及教材對尺規(guī)作圖內(nèi)容編寫）的定位及策略不夠清晰與合理：通常直接呈現(xiàn)作圖方法，有時追問作圖道理，沒有很好地引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)作圖方法，沒有解決作圖方法“從哪兒來”“是怎么想到的”的問題，使學(xué)生“一知半解”，只會“機械模仿”，尤其是遇到有一定思維含量的作圖問題時不會展開探索。

三、尺規(guī)作圖教學(xué)的幾點建議

教學(xué)要求的變化和學(xué)生能力的不足都表明，尺規(guī)作圖教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生探索作圖方法。為此，我們認(rèn)為，需要細(xì)化尺規(guī)作圖的教學(xué)，使之成為一個循序漸進(jìn)的過程。作圖方法本質(zhì)上是由作圖問題（任務(wù)）引發(fā)的知識，下面主要以上述作圖問題為例，說明如何細(xì)化尺規(guī)作圖的教學(xué)過程。

（一）引導(dǎo)學(xué)生執(zhí)果索因，感悟解題思路

解決尺規(guī)作圖問題的基本思路是“倒過來想”，即假設(shè)圖形已經(jīng)作出，再根據(jù)想象的圖形分析需要滿足什么條件，什么條件是可以通過直尺和圓規(guī)的作圖得到的。教學(xué)中，教師要多問學(xué)生“我要什么圖形”“已經(jīng)有什么條件”“還需要什么”“怎么得到”。例如，上述作圖問題的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：要使線段PD最短，需要什么條件？并讓學(xué)生逐步認(rèn)識到，這是探索作圖方法的出發(fā)點，執(zhí)果索因是探索作圖方法的基本思路。

（二）引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，尋找作圖方法

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，卻不離其宗。尺規(guī)作圖教學(xué)中，學(xué)生明確“從作圖結(jié)果出發(fā)，執(zhí)果索因”后，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生追根溯源獲得靈感，尋找作圖方法。

一是從基礎(chǔ)知識中尋找靈感。解決尺規(guī)作圖問題的基礎(chǔ)是幾何知識，教師要引導(dǎo)學(xué)生從基礎(chǔ)幾何知識出發(fā)獲得靈感。例如，解決上述作圖問題的關(guān)鍵是如何得到垂直或直角。教學(xué)中，可以啟發(fā)學(xué)生回憶與垂直或直角有關(guān)的知識，如“一條直線垂直于平行線中的一條，必然垂直于另一條”“等腰三角形底邊上的中線就是底邊上的高”“一邊上的中線等于這邊長一半的三角形是直角三角形”“圓中直徑或半圓所對的圓周角是直角”等。得到這些有關(guān)垂直或直角的定理（結(jié)論），就為解決上述作圖問題提供了靈感。

二是從基本問題（已有問題）中尋找靈感。除了聯(lián)想基礎(chǔ)幾何知識，加強對基本幾何問題與圖形的識別與聯(lián)想，也有利于打開思路獲得靈感，讓學(xué)生自然生成作圖方法。例如，上述作圖問題的圖形及結(jié)論在蘇科版初中教學(xué)教材中有3處原型：

一是八年級上冊《2.5 等腰三角形的軸對稱性》的例2：“如圖3，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC。求證：AB=AC。”

二是九年級上冊《2.2 圓的軸對稱性》習(xí)題的第4題：“如圖4，AB、CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，CE=40°，求∠AOC的度數(shù)。”

三是九年級上冊《2.4 圓周角》練習(xí)的第2題：“如圖5，AB、CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，BD=BE嗎？為什么？”

由這些問題，學(xué)生也有可能想到上述作圖問題的作圖方法。

（三）引導(dǎo)學(xué)生變式作圖，強化思路與方法

變式教學(xué)是指通過問題的“形變神不變”和“神變形不變”，在內(nèi)化基本思路與方法的同時，培養(yǎng)學(xué)生的聚合思維與發(fā)散思維能力。得到作圖方法后（當(dāng)然，需要有序表達(dá)方法、證明檢驗方法，但這基本上可以與探索過程同步進(jìn)行），教師要充分利用作圖問題的發(fā)展價值，適度開展尺規(guī)作圖的變式教學(xué)（如將問題縱向變式，向縱深發(fā)展;或?qū)栴}橫向變式，與其他領(lǐng)域的知識結(jié)合），從而讓學(xué)生對解題思路的理解和對作圖方法的認(rèn)識得到升華。

例如，對上述作圖問題可以作如下變式：

變式1如圖6，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離之比為1∶2∶3，點P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ。用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點D，使線段PD最短。（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡。）

這是一種縱向變式，將原來“相鄰兩直線間距離相等”的條件適度一般化，需要學(xué)生將適度一般化的情形向原來的特殊情形轉(zhuǎn)化（這里給的數(shù)據(jù)比較特殊，1+2=3，因此，其中一個分點就是PQ的中點），可以幫助學(xué)生充分體會解決尺規(guī)作圖問題乃至一般數(shù)學(xué)問題時極其重要的轉(zhuǎn)化與化歸思想。

變式2如圖7，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點P在直線l1上，點G、Q分別在直線l4上，分別連接PG、PQ。用圓規(guī)和無刻度的直尺在PQ上求作一點D，使線段GD平分△PGQ的面積。（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡。）

這是一種橫向變式，將原題與三角形的面積相聯(lián)系。如何處理“線段GD平分△PGQ的面積”？先要認(rèn)識到D為PQ的中點，然后需要從中心對稱的角度思考：“平行”加“相等”可得平行四邊形，因此，可以根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分來作圖。

此外，這里的變式還可以體現(xiàn)在作圖工具的進(jìn)一步開放與限制上，比如，不限制作圖工具或限制作圖工具的使用次數(shù)和種類，完成同樣的作圖，從而讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟如何展開探索。

（四）引導(dǎo)學(xué)生多維感悟，把握尺規(guī)作圖的本質(zhì)

啟發(fā)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)、掌握通性通法是數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界。

尺規(guī)作圖教學(xué)要讓學(xué)生感悟作圖方法的本質(zhì)是“交軌”。尺規(guī)作圖所作圖形無論多么復(fù)雜，都離不開關(guān)鍵點位置的確定，而點的位置是由線與線相交得到的，這些線的本質(zhì)是滿足特定條件的點的軌跡。初中階段的軌跡主要是直線與圓弧。教學(xué)中，“交軌法”的名稱不必提出，但要通過具體案例引導(dǎo)學(xué)生初步感知“交軌法”的意義。

尺規(guī)作圖教學(xué)要讓學(xué)生感悟作圖問題之間的聯(lián)系性和一致性。比如，作線段的垂直平分線、過一點作已知直線的垂線、作已知角的平分線，這3種作圖問題的本質(zhì)都是構(gòu)造軸對稱圖形。

尺規(guī)作圖教學(xué)還要讓學(xué)生感悟直觀、操作與推理的相互依存關(guān)系。作圖之前要先假設(shè)圖形已經(jīng)作出，由此尋找作圖方法，那么，作出的圖形是什么樣子的，這就需要直觀想象。知道了作圖方法，如何準(zhǔn)確地作出圖形，這就需要動手操作。圖形作出之后，要弄清為什么這樣作、這樣作對不對，這說明尺規(guī)作圖是建立在邏輯推理基礎(chǔ)上的。