哲學(xué)視角下的微積分課程思政元素挖掘

■ 周海陽(yáng)，馮 郁

（南京審計(jì)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 211815）

數(shù)學(xué)家波爾達(dá)斯說(shuō)：“沒有哲學(xué)，難以得知數(shù)學(xué)的深度；沒有數(shù)學(xué)，也難以得知哲學(xué)的深度?！睌?shù)學(xué)和哲學(xué)作為兩門最古老的學(xué)科，從古到今，兩者都是相互滲透，相互影響的。哲學(xué)指導(dǎo)和推進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，為數(shù)學(xué)提供了研究方向；而數(shù)學(xué)同時(shí)也影響著哲學(xué)的觀點(diǎn)，豐富和發(fā)展了哲學(xué)的內(nèi)容。微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支[1]。恩格斯說(shuō)：“微積分進(jìn)入了數(shù)學(xué)，辯證法就進(jìn)入了數(shù)學(xué)。”微積分的創(chuàng)立是人類數(shù)學(xué)史上的一次重要飛躍，其中很多概念和方法都蘊(yùn)含著哲學(xué)思想，具有深刻的哲理。

一、微積分發(fā)展史中的哲學(xué)思想

微積分是財(cái)經(jīng)類專業(yè)本科生的一門重要基礎(chǔ)課，是培養(yǎng)經(jīng)濟(jì)類創(chuàng)新人才的重要課程。在高校雙一流建設(shè)的背景下，加強(qiáng)微積分課程建設(shè)既能夠?yàn)楦咝Ｎ磥?lái)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也是實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)創(chuàng)新人才目標(biāo)的重要支撐。同時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)，微積分教學(xué)還需要著眼于培養(yǎng)擁護(hù)中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)和社會(huì)主義制度、立志為中國(guó)特色社會(huì)主義事業(yè)奮斗終生的有用人才。

課程思政是指以構(gòu)建全員、全程、全課程育人格局的形式將各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，把立德樹人作為教育的根本任務(wù)的一種綜合教育理念[2]。那么如何順應(yīng)時(shí)代要求，在微積分教學(xué)中挖掘課程思政元素呢？教師可以從哲學(xué)的角度，挖掘微積分課程思政元素，讓學(xué)生更好地理解所學(xué)知識(shí)，并具有一定的辯證思維能力，還可以結(jié)合中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育，結(jié)合社會(huì)主義核心價(jià)值觀，培養(yǎng)學(xué)生健康的人格和正確的人生觀、價(jià)值觀、世界觀[3]。

微積分從產(chǎn)生，發(fā)展，再到完善，經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的時(shí)間，其中也伴隨著哲學(xué)思想的應(yīng)用和體現(xiàn)。微積分最重要的思想就是“無(wú)限逼近”的極限思想，而極限思想早在中國(guó)古代就已經(jīng)產(chǎn)生，如《莊子·天下篇》中所述“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”和劉徽在割圓術(shù)中提到的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”都體現(xiàn)了極限思想的萌芽。

古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的“平衡法”，是“將需要求的未知量（面積、體積等）分成許多微小單元（如微小線段、薄片等），再用另一組微小單元（總和比較容易計(jì)算）來(lái)比較，但需要建立一個(gè)杠桿，使前后兩組獲得平衡”[4]，平衡法體現(xiàn)了近代積分法的基本思想。而在微分學(xué)中，羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理這三大微分中值定理，條件逐個(gè)削弱，體現(xiàn)了從特殊到一般的規(guī)律。

17世紀(jì)下半葉，牛頓和萊布尼茨在解決求面積、求切線的問(wèn)題中先后創(chuàng)立了微積分基本公式，即牛頓-萊布尼茨公式。萊布尼茨與牛頓誰(shuí)先發(fā)明微積分的爭(zhēng)論是數(shù)學(xué)界至今最大的公案。萊布尼茨于1684年發(fā)表第一篇微分論文，定義了微分概念，采用了微分符號(hào)dx，dy。1686年他又發(fā)表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號(hào)∫。依據(jù)萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學(xué)。然而1695年英國(guó)學(xué)者宣稱，微積分的發(fā)明權(quán)屬于牛頓；1699年又說(shuō)，牛頓是微積分的“第一發(fā)明人”。1712年英國(guó)皇家學(xué)會(huì)成立了一個(gè)委員會(huì)調(diào)查此案，1713年初發(fā)布公告：“確認(rèn)牛頓是微積分的第一發(fā)明人?！迸ｎD在1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的第一版和第二版寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學(xué)家萊布尼茨的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法……這位最卓越的科學(xué)家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號(hào)而外”。牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它證明了微分與積分互為逆運(yùn)算，體現(xiàn)了兩者對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，同時(shí)也標(biāo)志著微積分的正式形成。

微積分的發(fā)展過(guò)程中也充滿了矛盾和爭(zhēng)論，在建立了微積分基本公式后，人們發(fā)現(xiàn)微積分中的一些問(wèn)題缺乏必要的邏輯基礎(chǔ)，尤其是英國(guó)主教貝克萊針對(duì)求導(dǎo)過(guò)程中無(wú)窮小的質(zhì)疑，引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)[5]。這場(chǎng)危機(jī)的解決最終完善了微積分的理論系統(tǒng)，充分體現(xiàn)了微積分的發(fā)展是循環(huán)往復(fù)、螺旋向上的。恩格斯說(shuō)：“變數(shù)的數(shù)學(xué)——其中最重要的部分是微積分——本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用?！边@正是對(duì)微積分發(fā)展史中哲學(xué)思想的高度概括。

二、微積分課程思政中的哲學(xué)定律

（一）對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律

對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的實(shí)質(zhì)和核心，世界上任何事物的內(nèi)部和事物之間都包含矛盾的兩個(gè)方面，矛盾的雙方既對(duì)立又統(tǒng)一[6]。

微積分中通過(guò)局部來(lái)研究整體，通過(guò)整體來(lái)推測(cè)局部，是一種經(jīng)常使用的方法。如一元函數(shù)的最值是整體概念，是比較整個(gè)定義內(nèi)所有點(diǎn)的函數(shù)值，其中函數(shù)值最大的稱為最大值，函數(shù)值最小的稱為最小值。而極值則是局部概念，指在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)，即在局部小范圍內(nèi)，比較函數(shù)值的大小[5]。而若f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值，求最值的方法就是先求出f(x)在[a,b]內(nèi)的所有極值，再求出f(a)和f(b)，最后比較這些值的大小。函數(shù)的極值和最值便是具有局部和整體的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，可以通過(guò)極值（局部）來(lái)求出最值（整體）。

這樣的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系與我們的生活密切相關(guān)，從個(gè)人發(fā)展歷程來(lái)看，我們的人生正是通過(guò)一個(gè)個(gè)階段的努力奮斗，實(shí)現(xiàn)一個(gè)個(gè)小目標(biāo)（極值），最終達(dá)到人生的巔峰（最值）。從黨的發(fā)展歷程來(lái)看，我們黨對(duì)社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)的戰(zhàn)略謀劃，正是把宏偉目標(biāo)分解成一個(gè)個(gè)切實(shí)可行的具體目標(biāo)和任務(wù)，有步驟、分階段完成，不斷推進(jìn)中國(guó)特色社會(huì)主義事業(yè)取得新的勝利。從1964年，周恩來(lái)同志在三屆全國(guó)人大一次會(huì)議上正式提出“四個(gè)現(xiàn)代化”的奮斗目標(biāo)，到改革開放后，鄧小平同志明確提出現(xiàn)代化建設(shè)“三步走”設(shè)想，再到黨的十八大上提出到2020年實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)奮斗目標(biāo)，一直到黨的十九屆五中全會(huì)上對(duì)“十四五”時(shí)期我國(guó)發(fā)展作出系統(tǒng)謀劃和戰(zhàn)略部署，中國(guó)特色社會(huì)主義進(jìn)入新時(shí)代。

在這樣一個(gè)似乎違反常規(guī)的例子中，我們看到了有界和無(wú)界的對(duì)立統(tǒng)一性，而在平時(shí)的學(xué)習(xí)生活中也會(huì)遇到許多類似于無(wú)界區(qū)域面積的問(wèn)題，它們看似不可能完成，但實(shí)際上卻是可以完成。

例如，2012年，中國(guó)共產(chǎn)黨的十八大提出到2020年實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)宏偉目標(biāo)并消除絕對(duì)貧困是最重要指標(biāo)。而當(dāng)時(shí)的情況是，中國(guó)還有近一億農(nóng)村貧困人口。在外界一些人看來(lái)，要想讓近1億人在幾年內(nèi)擺脫貧困，對(duì)中國(guó)而言幾乎是一個(gè)“不可能完成的任務(wù)”。就在中國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)進(jìn)入收官階段，2020年，新冠肺炎疫情突如其來(lái)，在疫情防控和穩(wěn)經(jīng)濟(jì)促發(fā)展的雙重壓力下，中國(guó)要想如期全面完成脫貧任務(wù)，難上加難。然而，中國(guó)人在磨難中奮起，面對(duì)全球疫情，率先控制疫情，經(jīng)濟(jì)由負(fù)轉(zhuǎn)正，如期完成脫貧任務(wù)，完成了“不可能完成的任務(wù)”。

（二）量變質(zhì)變規(guī)律

任何事物的變化都是由量變到質(zhì)變的過(guò)程，量變到一定程度引起質(zhì)變。量變是質(zhì)變的基礎(chǔ)和準(zhǔn)備，質(zhì)變是量變的必然結(jié)果[5]。

量變質(zhì)變規(guī)律不僅存在于微積分的運(yùn)算性質(zhì)中，也存在于我們國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展歷程中。新中國(guó)成立之初，在很長(zhǎng)一段時(shí)間里我國(guó)都處于物質(zhì)匱乏階段，經(jīng)濟(jì)發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足人民群眾對(duì)物質(zhì)生活的需求。國(guó)家通過(guò)大力發(fā)展傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)，生產(chǎn)更多數(shù)量的產(chǎn)品來(lái)滿足人民群眾的生活需求。到20世紀(jì)90年代，傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)能力跟不上市場(chǎng)需求，出現(xiàn)嚴(yán)重的產(chǎn)能過(guò)剩，生態(tài)環(huán)境問(wèn)題日益嚴(yán)重，經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展的重要性愈發(fā)顯現(xiàn)。從大煉鋼鐵到蛟龍入海、北斗衛(wèi)星導(dǎo)航、神州十三號(hào)圓夢(mèng)天宮，從醫(yī)藥進(jìn)口到獨(dú)立研發(fā)出青蒿素、研制出新冠肺炎疫苗，從制造大國(guó)到科技大國(guó)，中國(guó)經(jīng)濟(jì)正在經(jīng)歷從量變到質(zhì)變的過(guò)程。

微積分教學(xué)中引入課程思政實(shí)際上也是一次又一次量變引起質(zhì)變的過(guò)程。其中，量變是開展一次次微積分教學(xué)活動(dòng)，質(zhì)變是對(duì)思想政治理論的領(lǐng)悟。要讓學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)變，僅靠一次量變是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。領(lǐng)悟任何一個(gè)理論都需要一個(gè)積累的過(guò)程，所以微積分教學(xué)中融入課程思政也是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，需要學(xué)生不斷鞏固和深化所學(xué)知識(shí)，主動(dòng)思考思想政治理論的正確性和先進(jìn)性，從而自覺樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀。

（三）否定之否定規(guī)律

新事物否定舊事物，然后被更新的事物否定，一切事物都是如此“螺旋式”向前發(fā)展，否定之否定規(guī)律揭示了事物發(fā)展的趨勢(shì)和道路[5]。

在引入定積分概念時(shí)，我們計(jì)算了曲邊梯形面積。把曲邊梯形分成若干個(gè)小曲邊梯形，用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積，再把所有小矩形面積相加，得到曲邊梯形面積的近似值[7]。最后令劃分充分得細(xì)，即每一個(gè)小矩形的底都趨于0，則小矩形面積和的極限即為曲邊梯形的精確面積。這種“以直代曲”又“由曲到直”的思想正是否定之否定規(guī)律的體現(xiàn)。

正如恩格斯所說(shuō)，“在更高的階段上重新達(dá)到原來(lái)的出發(fā)點(diǎn)”。這即為否定之否定規(guī)律所揭示的客觀規(guī)律，回到起點(diǎn)，又高于起點(diǎn)[8]。從人類社會(huì)發(fā)展來(lái)看，所有制的演變也是這樣一個(gè)循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過(guò)程。從氏族公社的原始公有制社會(huì)到封建主義和資本主義的私有制社會(huì)，再到共產(chǎn)主義高級(jí)發(fā)達(dá)的公有制社會(huì)，我們的共產(chǎn)主義理想是建立在科學(xué)基礎(chǔ)上的，我們要堅(jiān)持共產(chǎn)主義不動(dòng)搖。

對(duì)于在微積分教學(xué)中引入課程思政這種新的教學(xué)理念，大部分教師都是摸著石頭過(guò)河，也是從無(wú)意識(shí)到有意識(shí)再到無(wú)意識(shí)，也經(jīng)歷了否定之否定的過(guò)程。由于每一個(gè)人都有自己固定的思維模式，這種思維模式往往會(huì)讓教師的思維產(chǎn)生局限性，所以教師還需要在不斷摸索中打破思維定式，參與集體討論，邀請(qǐng)思政課教師參與到課程討論中來(lái)，協(xié)同合作，共同提高課程思政的效果。

三、微積分課程思政的途徑

微積分這門課程的特點(diǎn)是內(nèi)容抽象、推理嚴(yán)謹(jǐn)及應(yīng)用廣泛，許多內(nèi)容都與哲學(xué)思想存在著密切聯(lián)系。在微積分教學(xué)中，應(yīng)該抓住課程思政這個(gè)重要形式，在挖掘哲學(xué)思想的基礎(chǔ)上，找準(zhǔn)切入點(diǎn)，遵守教育規(guī)律，達(dá)到全面培養(yǎng)人的目的。

（一）課堂教學(xué)中融入微積分發(fā)展歷程

微積分是17世紀(jì)以來(lái)，經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家的努力建立起來(lái)的，它是人類最偉大的成就之一，牛頓、柯西、萊布尼茨、拉格朗日等數(shù)學(xué)家追求真理的精神值得我們學(xué)習(xí)。在建立微分、導(dǎo)數(shù)、中值定理、微積分基本公式等重要概念和定理時(shí)都經(jīng)歷了反復(fù)探索、不斷嘗試的過(guò)程。教師可以在課堂教學(xué)中介紹微積分發(fā)展史中的小故事，使理性嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)課堂兼具人文色彩，讓一些有“數(shù)學(xué)恐懼癥”的學(xué)生更好地理解所學(xué)知識(shí)，無(wú)形中減輕他們對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼[9]。

（二）理論聯(lián)系實(shí)際，合理開展課程思政

哲學(xué)思想融入微積分教學(xué)中，要將微積分基本公式中的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律、二元函數(shù)的量變質(zhì)變規(guī)律和求曲邊梯形面積的否定之否定規(guī)律自然地加入授課環(huán)節(jié)，把一些在數(shù)學(xué)范圍內(nèi)難以理解的問(wèn)題通過(guò)哲學(xué)的角度來(lái)解釋，起到四兩撥千斤的效果。利用哲學(xué)思想，并結(jié)合社會(huì)實(shí)際，進(jìn)行潛移默化的思想政治教育[10]。

（三）主動(dòng)學(xué)習(xí)哲學(xué)原理，提高課程思政效果

教師要將哲學(xué)原理滲透融合到微積分教學(xué)中，不僅自身要學(xué)習(xí)哲學(xué)和自然辯證法知識(shí)，運(yùn)用哲學(xué)原理分析微積分知識(shí)體系，也要提倡學(xué)生學(xué)一點(diǎn)哲學(xué)，學(xué)一點(diǎn)辯證法，提高他們理解問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。從被動(dòng)地學(xué)習(xí)微積分知識(shí)，轉(zhuǎn)化為運(yùn)用微積分思想解決實(shí)際問(wèn)題，這是微積分教學(xué)的更高目標(biāo)，也是課程思政的更高目標(biāo)。

在微積分教學(xué)中，應(yīng)該抓住課程思政這個(gè)重要形式，在挖掘哲學(xué)思想的基礎(chǔ)上，找準(zhǔn)切入點(diǎn)，遵守教育規(guī)律，以人才培養(yǎng)為核心，不忘初心，牢記使命，幫助學(xué)生在人生道路上形成良好的人格，樹立正確的人生觀、價(jià)值觀、世界觀。