直面“粗心” 追蹤錯(cuò)因
——以“長(zhǎng)方體和正方體表面積和體積”為例

徐磊（江蘇省南京市金陵小學(xué) 210000）

在學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方體和正方體的表面積和體積”時(shí)，家長(zhǎng)和學(xué)生常常將錯(cuò)誤歸咎于“粗心”，似乎錯(cuò)誤原因僅是沒(méi)有看清楚，仿佛會(huì)用公式進(jìn)行計(jì)算便是理解透了，但是這“粗心”背后的錯(cuò)因并沒(méi)有被真的抓出來(lái)。

學(xué)生總是會(huì)將自己的一知半解當(dāng)作已經(jīng)掌握本質(zhì)，家長(zhǎng)也常被學(xué)生的時(shí)對(duì)時(shí)錯(cuò)弄暈?zāi)X袋，以至于簡(jiǎn)單粗暴地歸為“粗心”。

一、心理接納

出于回避心理，對(duì)于學(xué)生和家長(zhǎng)來(lái)說(shuō)，“粗心”往往比“不會(huì)”更容易接受，心理負(fù)擔(dān)也會(huì)相對(duì)較小。

當(dāng)學(xué)生承認(rèn)“不會(huì)”的時(shí)候，是在將自己的弱點(diǎn)、錯(cuò)誤暴露出來(lái)，這是一個(gè)很艱難的過(guò)程。而且，其背后隱藏著很多風(fēng)險(xiǎn)，可能因?yàn)樯险n沒(méi)聽(tīng)講而被責(zé)罵，可能大家都懂了而“我”沒(méi)懂會(huì)丟人、會(huì)挫敗，可能爸爸媽媽又要給“我”加習(xí)題等。

從家長(zhǎng)角度來(lái)看，當(dāng)孩子承認(rèn)不會(huì)的時(shí)候，承擔(dān)的壓力、要考慮到的因素遠(yuǎn)比“粗心”多得多，是老師沒(méi)講還是孩子沒(méi)聽(tīng)？是孩子沒(méi)聽(tīng)懂，變個(gè)花樣就不會(huì)了？是不是得多練一練拓展一下？

由此可見(jiàn)，“粗心”是最好的掩飾，也是雙方不再刨根問(wèn)底的好借口。

二、挖掘資源，追蹤錯(cuò)因

在學(xué)生和家長(zhǎng)極力用“粗心”掩蓋問(wèn)題的時(shí)候，教師絕不能和他們一起避重就輕，而是要抓住學(xué)生展現(xiàn)出來(lái)的各種錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行全面分析、歸納總結(jié)。

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中就指出：“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形等?！痹凇伴L(zhǎng)方體和正方體表面積和體積”中出現(xiàn)錯(cuò)誤，根本原因也是空間觀念仍有不足。下面筆者將結(jié)合“長(zhǎng)方體和正方體表面積和體積”的教學(xué)實(shí)例，談?wù)勅绾螏椭鷮W(xué)生追蹤錯(cuò)因、掌握本質(zhì)，從而解決問(wèn)題。

1.溯源概念

在教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體表面積和體積”時(shí)，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)表面積和體積概念混淆的情況。有一個(gè)典型的迷惑性判斷題：棱長(zhǎng)是6的正方體，它的表面積和體積相等。題目中的數(shù)據(jù)很巧妙，學(xué)生根據(jù)公式，算體積和表面積結(jié)果都是216，所以這句話(huà)是沒(méi)有問(wèn)題的。在這一類(lèi)題目中，筆者認(rèn)為，其根本原因是學(xué)生沒(méi)有充分認(rèn)識(shí)到表面積和體積間的區(qū)別和聯(lián)系。這種情況下，要讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手摸一摸長(zhǎng)方體和正方體，充分感知面積和體積的區(qū)別和聯(lián)系。

皮亞杰說(shuō)過(guò)：“空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須有動(dòng)手做的過(guò)程。”培養(yǎng)空間觀念需要大量的實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生要有充分的時(shí)間和空間觀察、測(cè)量、動(dòng)手操作，對(duì)周?chē)h(huán)境和實(shí)物產(chǎn)生直接感知，這些活動(dòng)不僅需要自主探索、親身實(shí)踐，更離不開(kāi)大家一起動(dòng)手，共同參與。觀察、操作、歸納、類(lèi)比、猜測(cè)、變換、直觀思考等對(duì)形成空間觀念有重要作用的手段，只有在大家共同探討，合作解決問(wèn)題的過(guò)程中才能不斷生成、發(fā)展。

在這樣一個(gè)題目中出現(xiàn)問(wèn)題，還是要追溯對(duì)表面積和體積的理解。在執(zhí)教“長(zhǎng)方體和正方體的展開(kāi)圖”一課時(shí)，教師要有層次地安排學(xué)生活動(dòng)中操作、想象的順序，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)二維與三維之間的切換，積累豐富空間思維的表象。教師要留出足夠的時(shí)間給學(xué)生，使其能夠在課堂上現(xiàn)場(chǎng)觀察、想象、嘗試正方體表面展開(kāi)的不同方法。學(xué)生必須親身經(jīng)歷了由立體實(shí)物到二維展開(kāi)圖形的變化過(guò)程，在觀察、展開(kāi)、再觀察、再?gòu)?fù)原中體會(huì)到正方體與其表面展開(kāi)圖之間的聯(lián)系。

【教學(xué)實(shí)例1】

師：（手拿正方體）這個(gè)正方體的表面積是哪幾個(gè)部分﹐你能用手摸一摸嗎？

學(xué)生上臺(tái)演示。

師：那這個(gè)正方體的體積呢，你能表示嗎？

學(xué)生上臺(tái)演示。

師：（將正方體和正方體表面展開(kāi)貼在黑板上）

這個(gè)正方體的表面積就是6個(gè)邊長(zhǎng)6厘米的正方形的面積之和，共216平方厘米，體積是大小為216立方厘米的空間。“面積”等于“體積”？

生：不相等，面積和體積的維度不同，一個(gè)二維，一個(gè)三維，面積和體積不可能相等。

師：那周長(zhǎng)和面積可能相等嗎！

生：（堅(jiān)定）周長(zhǎng)和面積永遠(yuǎn)不可能相等！

學(xué)生在新授課中初步建立了數(shù)學(xué)概念，但是對(duì)其進(jìn)一步的加深鞏固則需要教師利用多種課堂教學(xué)策略，教師要讓學(xué)生從中理解并區(qū)分不同的概念，尤其要注重培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，逐步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.關(guān)聯(lián)實(shí)際

陶行知先生主張教育要與社會(huì)生活相聯(lián)系，與生產(chǎn)實(shí)踐相結(jié)合，按社會(huì)生活的前進(jìn)的需要實(shí)施教育，打破學(xué)校與社會(huì)之間的藩籬，使教育回歸生活。在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中圖形與幾何部分對(duì)體積單位提出的要求是“通過(guò)實(shí)例了解體積（包括容積）的意義及度量單位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），能進(jìn)行單位之間的換算，感受1立方米、1立方厘米以及1升、1毫升的實(shí)際意義”。雖然體積不能直接進(jìn)行測(cè)量，但是在數(shù)學(xué)題和生活實(shí)際中常有對(duì)體積估測(cè)的要求，學(xué)生應(yīng)該能在會(huì)估測(cè)長(zhǎng)度、面積的基礎(chǔ)上，估測(cè)體積、空間大小。

【教學(xué)實(shí)例2】

在教學(xué)單位時(shí)，經(jīng)常會(huì)有“在括號(hào)里填寫(xiě)合適的單位”的題目，當(dāng)教師提問(wèn)冰箱體積、教室空間用什么單位比較合適時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)同是用立方米做單位，但是當(dāng)題目變成“冰箱的體積是1.2( )”“教室容積大約是150 ( )”時(shí)，有部分學(xué)生就覺(jué)得1.2立方米和150立方米也太大了，便填寫(xiě)了立方分米或升。也就是說(shuō)學(xué)生理解較大的空間應(yīng)該使用立方米，一旦加上具體的數(shù)值就會(huì)猶疑不定，于是筆者啟發(fā)學(xué)生利用身邊的實(shí)物建立參考模型，從而自主反思、糾錯(cuò)。

師：老師想請(qǐng)同學(xué)上來(lái)給大家合作演示出1立方分米的大小，請(qǐng)四人小組商量一下，你們打算怎樣表示。

學(xué)生小組交流，全班交流，確定方法。

學(xué)生三人演示，一人講解，并用1立方分米大小的正方體作為參考對(duì)照。

師：用棱長(zhǎng)1分米的正方體模型為參照，找一找教室里哪些物體的體積大約是1立方分米呢？

生1：粉筆盒的體積差不多是1立方分米。

生2：講臺(tái)上的正方體筆筒的體積也很接近1立方分米。

師：一個(gè)粉筆盒或者筆筒的體積大約是1立方分米，而一個(gè)冰箱的體積大約是1.2立方分米？

生：這怎么可能，冰箱里放得下好多個(gè)1立方分米，我家冰箱的說(shuō)明書(shū)上說(shuō)它的容積都有六百多升呢，體積肯定比容積大，1.2立方米還差不多。

師：那我們教室的容積只有150升？

生：教室里能放下好多個(gè)冰箱，一個(gè)冰箱的體積就比一立方米大了，所以教室的體積大約是150立方米。

在上述教學(xué)片段中，學(xué)生已經(jīng)對(duì)體積單位初步建立了表象認(rèn)知，但是并不能與生活實(shí)際情境達(dá)成雙向轉(zhuǎn)化，所以要將學(xué)生對(duì)體積單位的認(rèn)知與具體事物相關(guān)聯(lián)，以實(shí)物為參照，從對(duì)比中進(jìn)行體積估測(cè)。在筆者看來(lái)，日常教學(xué)中一定要利用身邊的資源，勾連數(shù)學(xué)概念、理論與生活實(shí)際，從而幫助學(xué)生抽象、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，同時(shí)也能體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又回歸生活、服務(wù)于生活。

3.遷移上升

學(xué)習(xí)遷移理論中，桑代克的共同因素說(shuō)和賈德的概括化理論都認(rèn)為教育的過(guò)程中離不開(kāi)遷移，教師則需要利用好學(xué)習(xí)遷移，讓學(xué)生將已有學(xué)習(xí)上的進(jìn)步轉(zhuǎn)移到新的學(xué)習(xí)中去。

【教學(xué)實(shí)例3】

在蘇教版六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)書(shū)第24頁(yè)，有這樣一道思考題：一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高增加2厘米，就變成一個(gè)正方體。這時(shí)表面積就比原來(lái)增加56平方厘米。原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？

很多空間發(fā)展較弱的學(xué)生面對(duì)這樣的問(wèn)題的時(shí)候會(huì)無(wú)從下手，這時(shí)候，教師就要勾連平面幾何的知識(shí)，幫助學(xué)生先理解題意，再解決問(wèn)題。

師：請(qǐng)同學(xué)們回想長(zhǎng)方形和正方形的面積學(xué)習(xí)，有沒(méi)有遇見(jiàn)過(guò)類(lèi)似的面積增加的題目？

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)不變，寬增加了，面積也增加了，求原來(lái)圖形的面積。

師：上來(lái)畫(huà)出你的圖。

生（邊畫(huà)邊說(shuō)題目）：有一個(gè)長(zhǎng)方形，我們不知道它的長(zhǎng)和寬，但是它的寬增加2厘米后，就變成了一個(gè)正方形，這時(shí)候面積增加了14平方厘米，求原來(lái)長(zhǎng)方形的面積。

生（邊指邊講）：圖中虛線(xiàn)增加的部分是一個(gè)長(zhǎng)方形，寬2厘米，面積14平方厘米，所以長(zhǎng)是7厘米，這也是原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。題目說(shuō)“它的寬增加2厘米后，就變成了一個(gè)正方形”，所以用正方形的邊長(zhǎng)減2就是原來(lái)長(zhǎng)方形的寬，正方形的邊長(zhǎng)也等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是7厘米，所以原來(lái)寬就是5厘米，原來(lái)長(zhǎng)方形的面積是7×5=35（平方厘米）。

師：請(qǐng)你對(duì)比一下這兩題的圖，有什么相似的地方嗎？

生：都是一條邊長(zhǎng)度增加了，所以面積也增加。

生：我覺(jué)得長(zhǎng)方形的圖就是長(zhǎng)方體的一個(gè)面。

師：請(qǐng)你上來(lái)指著再給大家詳細(xì)說(shuō)一說(shuō)。

生：長(zhǎng)方體如果高增加2厘米，就變成一個(gè)正方體。說(shuō)明這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬是一樣長(zhǎng)的，只有高不一樣，四周的這四個(gè)面都是長(zhǎng)得完全一樣的長(zhǎng)方形，變化前后只有前后左右的面積增加了，所以只要分析其中的一個(gè)面就可以了。4個(gè)面增加的面積是一樣的，一共增加56平方厘米，一個(gè)面就增加14平方厘米。看前面，這里的寬是長(zhǎng)方體增加的高2厘米，就按剛剛的方法分析出長(zhǎng)方形長(zhǎng)7厘米，寬5厘米，對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)7厘米，高5厘米。前面分析過(guò)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬一樣長(zhǎng)，那寬也是7厘米，體積就是7×7×5=245（立方厘米）。

部分學(xué)生由于空間感知和發(fā)展仍不完善，所以分析、想象立體圖形是較為困難的，但是他們對(duì)于長(zhǎng)方形、正方形等平面圖形已經(jīng)有了充分、完善的認(rèn)識(shí)，數(shù)形結(jié)合也基本掌握，那把題目中的增加的4個(gè)面的表面積分割轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形增加的面積，對(duì)于學(xué)生而言更熟悉，也更容易理解。長(zhǎng)方體和正方體與長(zhǎng)方形和正方有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，那么空間想象能力不高的學(xué)生，就可以借助長(zhǎng)方形和正方形面積相關(guān)的知識(shí)實(shí)現(xiàn)遷移，再借助數(shù)形結(jié)合的思想方法，也可以借助多媒體設(shè)備或?qū)嵨?，把需要三維空間想象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二維平面問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)有效的思考。

三、結(jié)語(yǔ)

在學(xué)習(xí)的過(guò)程中遇見(jiàn)錯(cuò)誤并不可怕，這是正常的，是符合學(xué)生理心理發(fā)展規(guī)律的，但是出現(xiàn)錯(cuò)誤不能一味地用“粗心”二字掩蓋，直面“粗心”，追蹤錯(cuò)因才是解決問(wèn)題的根本之道。教師要有足夠的敏銳度去察覺(jué)學(xué)生是真“粗心”還是假“粗心”，用藝術(shù)的、風(fēng)趣的方式化解其中“難言之隱”，讓學(xué)生在輕松、愉悅的氛圍中接納自己的錯(cuò)誤，擁抱更好的自己。