初中數(shù)學(xué)中幾何意識(shí)滲透的思維路徑建構(gòu)之策略研究

李 強(qiáng)

在數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中，幾何圖形與代數(shù)運(yùn)算內(nèi)容，彼此體系獨(dú)立，又互相聯(lián)系。學(xué)生在面對(duì)這一系列問題的困惑時(shí)，教師被學(xué)生提問頻率最高的問題是什么？

如在平面幾何問題中，輔助線的添加始終是一個(gè)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，學(xué)生往往會(huì)問：

“老師，你看到這個(gè)問題是如何想的？我怎么想不出來(lái)？”“老師，添輔助線有規(guī)律嗎？”……

這樣的提問，那老師又應(yīng)該怎么回答呢？

筆者在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，教師往往會(huì)講：“添輔助線有常法而無(wú)定法?！边@里的“常法”是什么？“定法”又是什么？有的更是回答：“添輔助線就是拿到一道題目，先添一條試試看，不行再添一條試試，多試幾次總會(huì)成功的?！憋@然，老師所做的回復(fù)根本無(wú)法解決學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)的困惑。

因此，任何離開對(duì)圖形本質(zhì)研究的分析方法，都不可能在數(shù)學(xué)教學(xué)中取得成功。

當(dāng)然也有老師在教學(xué)中會(huì)采用，諸如：“我們?cè)趺醋C明兩條線段相等呢？

要證明兩條線段相等，可以應(yīng)用全等三角形；

可以證明這兩條線段都和第三條線段相等；

可以應(yīng)用同一三角形中的等角對(duì)等邊；

可以應(yīng)用比例性質(zhì)等?！?/p>

在實(shí)際教學(xué)中，沒有一位老師是能夠列舉完的，一般都是列舉了幾條就結(jié)束了，那為什么列舉到這里就剎車了呢？

顯然，教師也無(wú)法把問題解決過(guò)程的本質(zhì)思想講清楚。

從思維的角度來(lái)看，這里應(yīng)用的是列舉的方法，屬于擴(kuò)散思維的范疇，無(wú)論哪一位教師都不可能進(jìn)行完美、毫無(wú)遺漏的列舉。另外，假設(shè)有老師將所有的可能性都列舉了出來(lái)，但由于其中的相當(dāng)一部分可能性對(duì)這個(gè)具體問題的解決來(lái)說(shuō)，又是毫無(wú)價(jià)值的，因?yàn)檫@也確實(shí)會(huì)包含許多無(wú)效的思維和努力。然而實(shí)質(zhì)性的問題還不僅僅是在這里，關(guān)鍵的問題是當(dāng)你列舉出了這樣許多方法或可能性以后，對(duì)具體的題目來(lái)說(shuō)，你是怎樣做出選擇的？又是根據(jù)什么來(lái)做出這樣的選擇的？

一、 “幾何意識(shí)滲透”“思維路徑”是什么？

(一)對(duì)“幾何意識(shí)滲透”的概念詮釋

意識(shí)：人的頭腦對(duì)客觀物質(zhì)世界的反映，是感覺、思維等各種心理過(guò)程的總和，其中的思維是人類特有的反映現(xiàn)實(shí)的高級(jí)形式。存在決定意識(shí)，意識(shí)又反作用于存在。

幾何意識(shí)：是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在這一過(guò)程中，幾何把圖形的空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)作為研究對(duì)象，用圖形說(shuō)話，用圖形描述問題，用圖形討論、研究和解決問題。

幾何意識(shí)滲透：在一定的學(xué)習(xí)情景下，強(qiáng)調(diào)學(xué)生是認(rèn)知主體，是知識(shí)意義的主動(dòng)建構(gòu)者。在具體的幾何課程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的幾何概念、性質(zhì)和圖形特點(diǎn)具體化、形象化、概念化，形成學(xué)生自己的知識(shí)系統(tǒng)、幾何理解。尤其在問題解決的過(guò)程中，學(xué)生依據(jù)新經(jīng)驗(yàn)對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)本身做出主動(dòng)的調(diào)整和改變，使同化和順應(yīng)兩方面有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)。

(二)對(duì)“思維路徑”的認(rèn)識(shí)理解

思維路徑：即思路。它是人腦中的預(yù)測(cè)能力系統(tǒng)，在大腦中產(chǎn)生朝向目標(biāo)的傾向性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的計(jì)劃和方法。從認(rèn)知心理學(xué)層面來(lái)說(shuō)，它是在問題空間中進(jìn)行搜索，以便從問題的初始狀態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的思維過(guò)程。

在幾何解題教學(xué)過(guò)程中，幾何背景及問題呈現(xiàn)的多樣化，致使學(xué)生對(duì)問題盲從、無(wú)所適從。為了引導(dǎo)學(xué)生找到行之有效的思路建構(gòu)的有效方法策略，筆者在分析圖形與幾何類問題后發(fā)現(xiàn)：這一類問題，往往存在一些組成一個(gè)問題最簡(jiǎn)單、最重要、最基本的，且又具有特定性質(zhì)，并能明確地闡明應(yīng)用條件和應(yīng)用方法的基本構(gòu)圖。

二、 幾何意識(shí)滲透的思維路徑建構(gòu)策略

(一)“類比-同構(gòu)”，打通個(gè)體知識(shí)聯(lián)系的堵點(diǎn)

1.從幾何知識(shí)的同構(gòu)性出發(fā)，做橫向類比

※從運(yùn)算理解的同質(zhì)性出發(fā)，做對(duì)比

在初中數(shù)學(xué)中存在不少幾何概念，其幾何形態(tài)不一樣，但是從代數(shù)運(yùn)算的關(guān)系表述的本質(zhì)是一樣的，如：線段與角的和差、線段與角的平分(或n等分)這一組概念，幾何形象完全不一樣，但是研究這一類問題的代數(shù)方式卻是一樣的，如下例所述。

『背景問題1：在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間，時(shí)針與分針在什么時(shí)刻互相垂直？』

分析：這個(gè)問題實(shí)際上是行程問題中的追及問題?？芍轴槨r(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn)的度數(shù)分別為6°、0.5°，從方程視角設(shè)從7點(diǎn)開始x分鐘后時(shí)針與分針的夾角為90°，此時(shí)分針、時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)分別為6x°、0.5x°。分別如圖1-1、圖1-2所示，揭示了分針超過(guò)時(shí)針前、超過(guò)后90°的情形，可列出方程：|210+0.5x-6x|=90，進(jìn)而解決問題。

圖1-1

圖1-2

可以看到，背景問題中幾何形態(tài)的本質(zhì)是角的和差問題，類比行程問題，再通過(guò)指針(邊)的旋轉(zhuǎn)來(lái)理解夾角為90°的幾何狀態(tài)，學(xué)生理解起來(lái)比較困難。分析過(guò)程中，借助代數(shù)運(yùn)算(方程)模型的同質(zhì)性，用線段和差的視角，利用這一種知識(shí)的同質(zhì)性，利用線段圖的方式，轉(zhuǎn)換問題表述的幾何形態(tài)，降低理解的入口，這一做法，無(wú)疑是有益的。

※從邏輯體系的類同性出發(fā)，做對(duì)比

不妨從特殊平行四邊形與特殊三角形這兩個(gè)幾何概念模塊做一下類比，可以引導(dǎo)學(xué)生從概念布局的整體視野，活化思考幾何問題解決的具體策略運(yùn)用。

特殊三角形與特殊平行四邊形這兩個(gè)板塊內(nèi)容的概念體系具有類同性。任意三角形在進(jìn)行邊的特殊化后形成等腰三角形(或等邊三角形)，在進(jìn)行角的特殊化后形成直角三角形，邊角的同時(shí)特殊化形成等腰直角三角形。而平行四邊形也是如此，依次形成菱形、矩形和正方形。

2.從幾何知識(shí)的層次性出發(fā)，做縱向類比

從簡(jiǎn)單到復(fù)雜符合知識(shí)布局的基本路徑，在初中幾何體系中，不妨以軸對(duì)稱性為線索，梳理如下圖所示圖形的性質(zhì)演變過(guò)程：

正是軸對(duì)稱性在這一圖形概念序列中的共通性，對(duì)單個(gè)性質(zhì)的掌握不能做剖離思考，教師必須要引導(dǎo)學(xué)生具有整體視野，從而促成概念體系的系統(tǒng)、有序建構(gòu)。真正讓學(xué)生在這一過(guò)程思考中，獲得知識(shí)、能力成長(zhǎng)的快樂，又如下列問題。

『背景問題2：如圖，AB是一圓形裝飾物的一部分，請(qǐng)你確定它所在圓的圓心?！?/p>

在理解圓的軸對(duì)稱性基礎(chǔ)上，由垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必經(jīng)過(guò)圓心”，通過(guò)二次作圖，確定圓心位置。

筆者認(rèn)為，幾何問題思維路徑的架構(gòu)，教師應(yīng)在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的過(guò)程中多下“筆墨”，應(yīng)注重學(xué)生認(rèn)知能力的培養(yǎng)、滲透，讓學(xué)生學(xué)會(huì)歸納、類比，從而建構(gòu)系統(tǒng)的知識(shí)體系，這是幾何學(xué)習(xí)、幾何意識(shí)有效促成的基礎(chǔ)。

(二)“解構(gòu)-重構(gòu)”，筑牢課堂結(jié)構(gòu)優(yōu)化的內(nèi)涵

心理學(xué)上說(shuō)，在幾何問題空間內(nèi)，往往需要面對(duì)所要解決問題的背景狀態(tài)和結(jié)果狀態(tài)，思考“如何從條件背景狀態(tài)過(guò)渡到目標(biāo)結(jié)果狀態(tài)？”，是思維路徑搭建的主要方面。

1.深化圖形結(jié)構(gòu)，嘗試中學(xué)會(huì)建構(gòu)

從問題解決的策略上來(lái)說(shuō)，對(duì)一個(gè)問題的條件狀態(tài)、結(jié)果狀態(tài)整體感知，是思維路徑架設(shè)的起點(diǎn)端口。下面不妨以浙教版數(shù)學(xué)八上第35頁(yè)例7的解題教學(xué)為例，加以引申闡述。

『教材母題3：已知：如圖，AB∥CD，PB和PC分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P，且與AB垂直，求證：PA=PD?！?/p>

圖3-1

圖3-2

圖3-3

分析：梳理并解構(gòu)教材中方法發(fā)現(xiàn)，其思維路徑可分為三個(gè)層次：

★思維框架確定：觀察、分析現(xiàn)有圖形背景，不具備直接證明線段AP=PD的條件，利用等號(hào)的傳遞性，構(gòu)造過(guò)渡線段，確定間接證明線段相等，這是問題解決方向。

★思維進(jìn)程設(shè)計(jì)：在上一階段基礎(chǔ)上，根據(jù)角平分線這一主干條件，利用角平分線性質(zhì)定理，確定如圖3-1所示PE⊥BC于E這一輔助線策略，嘗試運(yùn)用AP=PE且EP=PD這一證明構(gòu)型。

★思維細(xì)節(jié)打磨：依據(jù)圖3-2，圖3-3這兩個(gè)基本構(gòu)圖，利用AB∥CD，及DA⊥AB于A，細(xì)化PD⊥CD于D的推理過(guò)程，最終證明PA=PD。

教材中利用基本圖形分析的方法，符合幾何問題解決的一般思維過(guò)程。然而，反思教材問題中的背景圖形，能否嘗試別的輔助線呢？為直接證明AP=PD創(chuàng)造條件，重構(gòu)問題解決新策略。通過(guò)師生互動(dòng)，應(yīng)能發(fā)現(xiàn)以下思維路徑。

圖3-4

圖3-5

圖3-6

很顯然，對(duì)上述背景問題解決策略的重構(gòu)，如圖3-4所示，通過(guò)添加BP的延長(zhǎng)線，構(gòu)造如圖3-5、圖3-6這兩種全等構(gòu)型，直接證明了線段相等。

對(duì)比上述兩種方法的基礎(chǔ)上，不難發(fā)現(xiàn)，從框架確定、進(jìn)程設(shè)計(jì)、細(xì)節(jié)打磨這一基本思維架構(gòu)上具有共通性，符合合情推理的基本規(guī)律。由此可知，我們?cè)谧非髥栴}解決策略最優(yōu)化的同時(shí)，需要保持思維活性，克服定勢(shì)，應(yīng)多做變向思維。在培養(yǎng)幾何意識(shí)的進(jìn)程中，有時(shí)候讓學(xué)生充分享受思考、體驗(yàn)思維的全過(guò)程，這或許是最重要的。

2.構(gòu)“一題”變式通道，體驗(yàn)中活化思維

我們面對(duì)的例題，往往是固定的。但是在幾何學(xué)習(xí)中，又可以通過(guò)很多途徑對(duì)例題進(jìn)行變式，賦予它無(wú)窮的變化性。如：改變條件、改變結(jié)論、改變數(shù)據(jù)或圖形；條件引申或結(jié)論拓展等。讓學(xué)生在習(xí)題訓(xùn)練中體驗(yàn)問題理解的多維視角，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。這一過(guò)程中更會(huì)發(fā)現(xiàn)：許多由基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的推廣與拓展，培養(yǎng)學(xué)生理解問題、分析問題、解決問題能力的問題，都能在課本上找到原型。

由此，筆者就依此教材母題的改編實(shí)踐，說(shuō)明舉例如下。

『教材母題4(浙教版八上第35頁(yè)探究活動(dòng))：如圖，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一條直線上。下面給出四個(gè)論斷：①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF。任選三個(gè)作為已知條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，可得到幾個(gè)命題？其中真命題有幾個(gè)？分別給出證明?！?/p>

圖4-1

分析：對(duì)本習(xí)題探究，要求學(xué)生對(duì)“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”這四種三角形全等的判定方法有一個(gè)整體把握。由條件BE=CF不難得出BC=EF，分析習(xí)題中4種命題可能性。

下面就以此題為例，通過(guò)“改變條件、改變結(jié)論、改變數(shù)據(jù)或圖形；條件引申或結(jié)論拓展；條件開放或結(jié)論開放或條件、結(jié)論同時(shí)開放等方面”設(shè)置一組幾何變式問題：

圖4-2

圖4-3

圖4-4

圖4-5

變式1(圖形翻轉(zhuǎn))：如圖4-2，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，點(diǎn)A、D在直線BF的兩側(cè)，AB∥DF，AC∥DE，以上條件能否證明AC=DE？若不能，則請(qǐng)從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)滿足的，并證明。( )

(1)能 (2)不能，需再添加BE=CF(3)不能，需再添加∠A=∠D

變式2(位置平移)：如圖4-3，已知點(diǎn)B、C、E、F在同一條直線上，BE=CF，AC=DE。能否由上述條件證明AB∥FD？若能，請(qǐng)給出證明；若不能，則請(qǐng)從括號(hào)中所列的條件中選擇一個(gè)合適條件，并添加到已有條件中，使AB∥FD成立，并給出證明。(可供選擇的條件有：①AB=FD；②BC=EF；③∠ACB=∠DEF。)

變式3(形狀改變)：(1)如圖4-4，已知點(diǎn)C為線段BF上一點(diǎn)，△ABC和△CDF是等邊三角形，連接AF和BD。求證：AF=BD。

(2)在第(1)小題的基礎(chǔ)上，問題中“△ABC和△CDF兩個(gè)等邊三角形”換成如圖4-5所示的兩個(gè)正方形，試猜想AF與BD的關(guān)系如何，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：此組變式題組，以課本例題為背景，經(jīng)過(guò)巧構(gòu)妙思編擬而成，它是課本原題或原題的變化、延伸、拓廣。這一過(guò)程中，圖形背景、條件結(jié)論在演變，但是，變式指向的知識(shí)核心(如：全等三角形的判定與性質(zhì)等)、思想方法仍然沒有變。在解題教學(xué)中，利用好課本是關(guān)鍵，應(yīng)“以標(biāo)據(jù)本”，充分發(fā)揮課本例題、習(xí)題的功能，重視課本中典型例題的演變、引申、拓展。

三、 結(jié)語(yǔ)

“思維是從一個(gè)念頭，到另一個(gè)念頭的連接”，這里的“念頭”可以理解為數(shù)學(xué)知識(shí)。它揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)思維建構(gòu)中的基礎(chǔ)作用，對(duì)幾何教學(xué)也是如此。正所謂，“教”無(wú)止境，“學(xué)”無(wú)止境。在實(shí)踐中還需要不斷地摸索、總結(jié)。文章之所談，僅僅是筆者對(duì)幾何解題教學(xué)的一點(diǎn)淺論，還需要在實(shí)踐中不斷完善。