用幾何畫板軟件輔助學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)*
——以一節(jié)“矩形折疊問題的探究”活動(dòng)課為例

廣東省中山市坦洲中學(xué)(528467) 朱玉霞

“至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)”提出讓學(xué)生學(xué)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué),讓學(xué)生簡(jiǎn)單地學(xué)數(shù)學(xué),讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)得不簡(jiǎn)單,這是數(shù)學(xué)老師終身奮斗的目標(biāo).這三句話說(shuō)來(lái)容易,但對(duì)教師教學(xué)設(shè)計(jì)要求很高,筆者認(rèn)為,只要教師抓住了數(shù)學(xué)本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中抓住本質(zhì)、靈活變通就能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)至簡(jiǎn)和教學(xué)至簡(jiǎn).以折疊為背景求角度、線段長(zhǎng)度等幾何問題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).與“折疊”有關(guān)的考題涉及知識(shí)范圍十分廣泛,其中包括全等、矩形性質(zhì)、勾股定理、相似以及三角函數(shù)等等.如果學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí),對(duì)于這種題型就會(huì)感覺無(wú)從下筆,那么,我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中該如何滲透折疊思想、提高作圖能力呢?筆者認(rèn)為,在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中,除了要優(yōu)化解題策略,還應(yīng)在教學(xué)過程中讓學(xué)生動(dòng)手操作,以加深對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

1 活動(dòng)一: 聚集三角形,強(qiáng)化折疊預(yù)備知識(shí)

在講解例題之前先復(fù)習(xí)勾股定理,這里引入課前預(yù)備知識(shí),這些預(yù)備知識(shí)在解決例題與練習(xí)的過程中會(huì)不斷重復(fù)使用,因此可讓學(xué)生課前先獨(dú)立思考并解決.

預(yù)備知識(shí)1: 求直角三角形斜邊上的高

如圖1,RtΔABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,求AC邊上的高BD.

圖1

設(shè)計(jì)意圖: 復(fù)習(xí)勾股定理.已知兩邊先求第三邊AC的長(zhǎng)AC=補(bǔ)充“等積法”求直角三角形斜邊上的高BD=

預(yù)備知識(shí)2: 求一般三角形的高

如圖2,ΔABC中,AB=3,BC=6,AC=5,求BC邊上的高AD.

圖2

設(shè)計(jì)意圖: 引導(dǎo)學(xué)生建立解三角形的思想.已知三角形三邊長(zhǎng)度,設(shè)BD的長(zhǎng)度為x,兩次運(yùn)用勾股定理表示AD邊的長(zhǎng)度AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,即32-x2=52-(6-x)2求出邊BD的值,再用勾股定理求AD的值.

2 活動(dòng)二: 折疊三角形,把握折疊模型本質(zhì)

例1如圖3,在矩形ABCD中,BC=6,AB=8,P為AD上一點(diǎn),(1)將ΔABP沿BP翻折至ΔEBP,使點(diǎn)A落在對(duì)邊DC上的點(diǎn)E處,求AP的長(zhǎng);(2)將ΔAQP沿QP翻折至ΔEQP,點(diǎn)A落在對(duì)邊DC上的點(diǎn)E處,求折起的ΔAQP的AP邊的取值范圍.

圖3

圖4

解法簡(jiǎn)析: 此模型為最基礎(chǔ)的題型,問題(1)為矩形翻折的三角形中,一邊為矩形長(zhǎng)邊,并使其頂點(diǎn)落在對(duì)邊上,所得所有三角形都是直角三角形,在ΔBCE與ΔDPE中各用一次勾股定理即可解決問題.

課堂操作: 問題(2)可引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)際操作(折疊矩形)感受點(diǎn)E在DC邊上移動(dòng)的過程中各邊的變化情況,然后用幾何畫板在DC上取點(diǎn)E,作AE的垂直平分線找到點(diǎn)P、Q,移動(dòng)點(diǎn)E,讓學(xué)生感受圖形隨點(diǎn)E的變化而變化,然后畫出圖5 即可解決問題.

圖5

變式1如圖6,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.將矩形ABCD沿CE折疊后,使點(diǎn)D恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處.求EF的長(zhǎng).

圖6

解法簡(jiǎn)析: 此變式為矩形翻折的三角形中,其中一邊為矩形短邊、頂點(diǎn)落在對(duì)角線上,在ΔABC與ΔAEF各用一次勾股定理即可解決問題.還有一種情況如圖7,解法與變式1 一樣.

圖7

課堂操作: 通過分析,可用尺規(guī)作圖法作∠ACD的角平分線找到點(diǎn)E,過點(diǎn)E作AC的垂線可找到點(diǎn)F,然后畫出圖形;或先作∠ACD的角平分線找到點(diǎn)E,以點(diǎn)C為圓心,CD為半徑作弧交AC于點(diǎn)F畫出圖形.圖7 可在課堂用幾何畫板操作示范.

變式2如圖8,在矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),ΔABE沿直線BE折疊后得到ΔGBE,延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F,若AB=6,BC=8,則FD的長(zhǎng)為多少?

圖8

解法簡(jiǎn)析: 此變式把變式1 中頂點(diǎn)落在對(duì)角線上改成折痕經(jīng)過矩形一邊中點(diǎn),連接EF則發(fā)現(xiàn)圖中五個(gè)三角形都是直角三角形,并且ΔEGF與ΔEDF全等,則在ΔBEG與ΔBCF各用一次勾股定理即可解決問題.

課堂操作: 作線段AD的垂直平分線找到點(diǎn)E,作∠EBF=∠ABE與DC交于F,過點(diǎn)E作BF的垂線可找到點(diǎn)G,可引導(dǎo)學(xué)生用幾何畫板操作畫圖.

變式3如圖9,矩形ABCD中,BC=6,AB=8,P為AD上一點(diǎn),將ΔABP沿BP翻折至ΔEBP,PE與CD相交于點(diǎn)O,BE與CD相交于點(diǎn)G,且OE=OD,求AP的長(zhǎng).

圖9

解法簡(jiǎn)析: 此變式為頂點(diǎn)落在矩形外的特例,由條件可得ΔODP與ΔOEG全等,易得PE=GD,設(shè)AP=EP=x,則PD=GE=6-x,則在ΔBCG中用一次勾股定理即可解決問題.

課堂操作: 用幾何畫板在線段DA上取一點(diǎn)P,以點(diǎn)P、B為圓心,PA、BA為半徑作弧交于點(diǎn)E畫出圖形,改變點(diǎn)P位置,讓學(xué)生感受OE與OD的變化.

變式4如圖10,已知: 矩形ABCD,AB=6,BC=8.點(diǎn)P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于BP對(duì)稱,連結(jié)A′C,當(dāng)ΔA′BC為等腰三角形時(shí),求AP的長(zhǎng)度.

圖10

圖11

圖12

解法簡(jiǎn)析: 此變式為頂點(diǎn)落在矩形內(nèi)的特例,因?yàn)锳′B=6,BC=8,實(shí)際上就是給出A′C=6 或A′C=8,根據(jù)預(yù)備知識(shí)2,引導(dǎo)學(xué)生過A′作ΔA′BC的高,由于三邊都已知,則可以通過兩次勾股定理求A′M及A′N的長(zhǎng)度,最后在ΔA′PN中再用一次勾股定理就可以解決問題.此變式還可以把ΔA′BC為等腰三角形換成直角三角形,解決的方法一樣,實(shí)際上就是把問題轉(zhuǎn)化成例題型.

課堂操作: 此題通過分析,亦可通過尺規(guī)作圖畫出圖形,方法有多種.課堂上幾何畫板作圖,移動(dòng)點(diǎn)P,讓學(xué)生感受隨著點(diǎn)P的移動(dòng),ΔA′BC的形狀的變化.

3 活動(dòng)三: 折疊“四邊形”,運(yùn)用模型本質(zhì)轉(zhuǎn)化

例2如圖13,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,將矩形ABCD沿直線EF折疊,頂點(diǎn)C恰好落在頂點(diǎn)A處,求AF的長(zhǎng).

圖13

解法簡(jiǎn)析: 此模型是矩形折四邊形中最常見的題型,通過實(shí)際操作,頂點(diǎn)在兩對(duì)邊移動(dòng)的過程中折疊的圖形有直角三角形和四邊形兩種情況.這是四邊形中特殊情況: 折疊后一組對(duì)角頂點(diǎn)重合.連接FC,易證ΔABE、ΔAGF與ΔCDF全等,四邊形AECF為菱形.求邊的長(zhǎng)度,可在三個(gè)直角三角形中用勾股定理解決,求折痕FE的長(zhǎng)度則過點(diǎn)F作BC邊上的垂線,把EF放在直角三角形里用勾股定理解決.

課堂操作: 作AC的垂直平分線可找到點(diǎn)E、F,以點(diǎn)A、F為圓心,CD、DF為半徑作弧,可找到點(diǎn)G,則可畫出圖形.

變式: 如圖14,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,將矩形ABCD沿直線EF折疊,頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)M處,求(1)BE的長(zhǎng);(2)AF的長(zhǎng).

圖14

圖15

解法簡(jiǎn)析: 此變形為折疊后一個(gè)頂點(diǎn)落在矩形的短邊上,問題(1) 在ΔBME中用勾股定理便可求出所求線段的長(zhǎng);連接FM、FC,在ΔAMF與ΔFCD中,AM2+AF2=MF2=CF2=FD2+DC2,便可解決問題.此題可改變點(diǎn)M 的位置,方法一樣.

課堂操作: 此圖可用幾何畫板畫圖,通過動(dòng)態(tài)變化,加強(qiáng)學(xué)生感觀認(rèn)知,引發(fā)學(xué)生深度思考.

4 活動(dòng)反思: 抓住模型即抓住本質(zhì)

上述對(duì)矩形折疊題型進(jìn)行了歸納思考,筆者嘗試以學(xué)術(shù)研究的方式備課,教學(xué)過程中借助幾何畫板工具和引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作等方式,設(shè)法讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)的思維過程,切身體會(huì)數(shù)學(xué)的“至簡(jiǎn)”之美.在本課程設(shè)計(jì)及實(shí)施過程中,筆者從三個(gè)方面著手,努力使本課程設(shè)計(jì)更簡(jiǎn)單更實(shí)用有效:

4.1 簡(jiǎn)單系統(tǒng),有效提高課堂效率

本課程設(shè)計(jì)雖然只有兩種題型,但是基本囊括了八年級(jí)所有有關(guān)矩形折疊題型,為九年級(jí)相關(guān)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).題型一用“一例四變”把折“三角形”這一題型分成頂點(diǎn)落在長(zhǎng)邊、短邊、矩形內(nèi)和矩形外運(yùn)動(dòng)四種情況,即簡(jiǎn)單又系統(tǒng),問題基本都是給矩形的長(zhǎng)和寬,加上一個(gè)與線段長(zhǎng)度有關(guān)的條件,最后求線段的長(zhǎng)度,其實(shí)都是解決在哪個(gè)位置折起的三角形這個(gè)問題.簡(jiǎn)單的條件和問題容易引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),讓學(xué)生深刻體會(huì)到“折疊”也不是那么“高、大、上”,那么可怕的,這樣的做法有效地提高了課堂效率.

4.2 可操性強(qiáng),有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

在本課程實(shí)施過程中,給每一個(gè)學(xué)生發(fā)一張矩形紙片,讓學(xué)生自己動(dòng)手折一折,可以讓學(xué)生切身體會(huì)數(shù)學(xué)是真實(shí)存在的,是看得到、摸得著的.另外,在課程實(shí)施過程中,引導(dǎo)學(xué)生畫圖,讓學(xué)生在操作的過程中既可以感受數(shù)學(xué)的美,又收獲了成就感,有效地激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣,為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

4.3 靈活多變,有效培養(yǎng)探究能力

本課程設(shè)計(jì)時(shí)所有題目的條件和問題比較單一,目的是讓學(xué)生課外重新編排條件和問題,繼續(xù)深入研究本專題,這就是本節(jié)課的作業(yè).“一切為了學(xué)生的發(fā)展”是數(shù)學(xué)新課程的核心理念,學(xué)生是數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)中最重要的一個(gè)要素,本課程看似簡(jiǎn)單,實(shí)則靈活多變,筆者故意把問題簡(jiǎn)單化,實(shí)際是為了激發(fā)學(xué)生思考,在學(xué)生探究的過程中,教師可根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)作出引導(dǎo),可有效培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.

筆者在設(shè)計(jì)本課程的過程中做了大量相關(guān)題型,不斷總結(jié)、不斷思考、不斷嘗試.作為一線教師,在教學(xué)過程中勇于思考、總結(jié)、嘗試、創(chuàng)新,這樣的“至簡(jiǎn)數(shù)學(xué)”課堂,更有利于學(xué)生“簡(jiǎn)單”地學(xué)數(shù)學(xué),有效培養(yǎng)學(xué)生不“簡(jiǎn)單”的探究能力.