基于綜合難度系數(shù)模型的數(shù)學(xué)高考試題比較研究*

佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(528000) 李靜依 洪銳敏

華南師范大學(xué)(510631) 彭上觀

1 問(wèn)題提出

2014 年9 月國(guó)務(wù)院發(fā)布《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見(jiàn)》,隨著全國(guó)高考試點(diǎn)改革工作的推進(jìn),浙江、上海等16 省市相繼開(kāi)始實(shí)行新高考政策,取消文理分科.對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)說(shuō),傳統(tǒng)高考模式采用文理分科的形式,理科數(shù)學(xué)卷的難度高于文科數(shù)學(xué)卷,而新高考政策與傳統(tǒng)高考模式的區(qū)別在于不再區(qū)分文理科,同時(shí)試題增加了多選題與結(jié)構(gòu)不良試題等新題型.

難度是反映試題質(zhì)量的重要指標(biāo)之一,2019 年《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》強(qiáng)調(diào)科學(xué)設(shè)置試題難度[1].廣東省等作為第三批新高考改革的試點(diǎn)省份,2021 年高考數(shù)學(xué)開(kāi)始采用新高考I 卷,從使用全國(guó)高考I 卷到新高考I 卷,試題難度有什么變化? 目前國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)執(zhí)行新高考政策前后的高考數(shù)學(xué)試題綜合難度的縱向比較研究相對(duì)較少.因此,本文確定以下研究問(wèn)題: (1)廣東等省份執(zhí)行數(shù)學(xué)新高考前后試題的綜合難度是否有明顯差異? (2)實(shí)施新高考后數(shù)學(xué)試題的難度因素變化趨勢(shì)如何?

2 綜合難度系數(shù)模型

Nohara 在2001 年提出了總體難度的概念,其中涉及“問(wèn)題拓展”、“實(shí)際背景”、“運(yùn)算水平”及“推理過(guò)程”4 個(gè)難度因素,這是綜合難度系數(shù)模型的研究雛形[2].鮑建生在其基礎(chǔ)上提出了數(shù)學(xué)課程的綜合難度模型,即“探究”、“背景”、“運(yùn)算”、“推理”、“知識(shí)含量”的5 維度模型[3].對(duì)于應(yīng)用于高考的標(biāo)準(zhǔn)化考試試題,更加強(qiáng)調(diào)試題的區(qū)分度和層次性,武小鵬為了讓難度模型更加貼合高考試題的綜合難度模型,在鮑建生的5 維度模型基礎(chǔ)上增加了“思維方向”和“是否含參”2 個(gè)維度[4],并基于AHP 理論構(gòu)建了數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型[5].李保臻和石燁認(rèn)為一道數(shù)學(xué)解答題涉及多個(gè)小問(wèn)題,不同的小問(wèn)題之間有的單獨(dú)成立,有的互相關(guān)聯(lián),呈現(xiàn)出層層遞進(jìn)的梯度形式;針對(duì)解答題,李保臻等在武小鵬的7 維度模型基礎(chǔ)上增加了“梯度”因素,提出了基于高考試題的8 維度綜合難度模型[6].從試題綜合難度模型的發(fā)展史來(lái)看,以上各試題綜合難度模型一脈相承并日趨完善.其中,武小鵬的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型較為全面地囊括了各難度因素并借助層次分析法有效地說(shuō)明了各難度因素的權(quán)重,因此本研究主要以武小鵬的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型[5]為理論支撐,并關(guān)注李保臻等提出的“梯度”因素對(duì)試題綜合難度的影響.具體模型界定見(jiàn)表1.

各難度因素的難度系數(shù)di計(jì)算公式參考鮑建生在5 維度模型中給出的難度系數(shù)di公式[3],即

其中,kij為第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平所占的權(quán)重,nij為第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平所涉及的題目數(shù)量,n為該份高考試題的題目總數(shù)量.通過(guò)取各難度因素的難度系數(shù)的加權(quán)平均值即可得整份高考試題的綜合難度D,即

其中,ki為各難度因素在整份高考試題中所占的權(quán)重均值系數(shù).

對(duì)于不同難度因素的權(quán)重ki和同一因素中不同水平的權(quán)重系數(shù)kij,采用武小鵬等學(xué)者依據(jù)絕大多數(shù)專(zhuān)家及一線教師傾向性評(píng)分的方式,結(jié)合層次分析法確定的權(quán)重系數(shù),ki=(0.40,1.20,0.83,2.50,0.40,0.83,0.83),kij見(jiàn)表1[5].

表1 綜合難度系數(shù)模型界定

3 研究設(shè)計(jì)

3.1 研究對(duì)象

本研究以廣東等省份執(zhí)行數(shù)學(xué)新高考改革前后的2020年“全國(guó)高考I 卷(理科)”(下稱(chēng)“2020 年高考理科I 卷”)、2021 年“全國(guó)新高考I 卷”(下稱(chēng)“2021 年新高考I 卷”) 和2022 年“全國(guó)新高考I 卷”(下稱(chēng)“2022 年新高考I 卷”)作為研究對(duì)象,對(duì)這3 套試題的綜合難度建立模型并進(jìn)行比較研究,從而定量分析數(shù)學(xué)高考試題難度的變化.

3.2 數(shù)據(jù)處理

本研究以武小鵬的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型[5]為理論支撐,采用結(jié)合編碼的主題定性文本分析法進(jìn)行編碼分析,編碼示例如下:

例2(2022 年新高考I 卷第17 題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=1,是公差為的等差數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)證明:.

該題編碼為“無(wú)背景A1”、“有參數(shù)B2”(存在參數(shù)n,項(xiàng)目處于動(dòng)態(tài)變化中)、“簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算C3”(運(yùn)算涉及到簡(jiǎn)單符號(hào)的推導(dǎo))、“復(fù)雜推理D2”(推理涉及3 步以上推導(dǎo)),“大于等于三個(gè)知識(shí)點(diǎn)E3”(涉及等差數(shù)列定義、數(shù)列遞推公式、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)、裂項(xiàng)求和及不等式證明等知識(shí)點(diǎn))、“順向思維F1”(問(wèn)題解決符合數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn),由已知推向未知,順向直接解決問(wèn)題)、“運(yùn)用水平G2”(綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題).

按照表1 難度因素的內(nèi)涵界定,由兩名研究者對(duì)三套試題進(jìn)行雙盲編碼,編碼一致性為89.74%,再對(duì)不一致的編碼項(xiàng)進(jìn)行討論.統(tǒng)計(jì)不同難度因素不同水平的題目數(shù)量和占比情況,并按照公式(2-1)(2-2)和計(jì)算各難度因素的難度系數(shù)di和整份高考試題的綜合難度D,結(jié)果見(jiàn)表2.

4 研究結(jié)果

4.1 實(shí)施新高考后數(shù)學(xué)試題綜合難度逐年遞增

由表2 可得,廣東等省份實(shí)施新高考后數(shù)學(xué)試題綜合難度逐年遞增,2020 年高考理科I 卷的試題綜合難度系數(shù)D=6.70,2021、2022 年新高考I 卷試題綜合難度系數(shù)分別為7.14 和7.70,新高考I 卷的試題綜合難度更高.

表2 近3 年數(shù)學(xué)高考I 卷試題難度系數(shù)統(tǒng)計(jì)表

為了直觀地比較出這3 份高考試題難度之間的差異,下面作出各難度因素的綜合難度系數(shù)雷達(dá)圖,如圖1 所示.這3 份高考試題的考查側(cè)重點(diǎn)大體走向一致,在實(shí)施新高考改革前后,3 套試題在“背景因素”、“是否含參”、“思維方向”三個(gè)難度因素的考查相差不大,但新高考I 卷在“運(yùn)算水平”、“推理能力”、“知識(shí)含量”、“認(rèn)知水平”這4 項(xiàng)難度系數(shù)有了較大提升;且與2021 年新高考I 卷相比,2022 年試題在這4 方面的難度系數(shù)也有顯著提升.下面針對(duì)這4 個(gè)難度因素進(jìn)行具體分析.

圖1

4.2 不同難度因素變化趨勢(shì)分析

從“運(yùn)算水平”維度上分析,2020 年高考理科I 卷、2021和2022 年新高考I 卷的難度系數(shù)分別為0.97、1.05 和1.25.其中復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算占運(yùn)算因素的權(quán)重最大,如圖2,2021 年和2022 年新高考I 卷含復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算的題目百分比分別為27.27%和36.36%,而2020 年高考理科I 卷含復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算的題目百分比為26.09%,說(shuō)明新高考試題更加重視對(duì)復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算題目的考查,要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中要夯實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算基本功,特別要加強(qiáng)對(duì)于含有復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題解題訓(xùn)練,提升解題的速度.

圖2

從“推理能力”維度上分析,2020 年高考理科I 卷、2021和2022 年新高考I 卷的難度系數(shù)分別為1.02、1.09 和1.23.如圖3,2021 年和2022 年新高考I 卷推理步數(shù)多于三步的題目百分比分別為59.09%和72.73%,而2020 年高考理科I 卷推理步數(shù)多于三步的題目百分比為52.17%,說(shuō)明新高考試題在經(jīng)歷2021 年新高考I 卷的過(guò)渡之后,2022 年更強(qiáng)調(diào)對(duì)考生的復(fù)雜邏輯推理能力的考查,學(xué)生在平時(shí)的練習(xí)過(guò)程中要加強(qiáng)對(duì)演繹推理和歸納、類(lèi)比推理能力的鍛煉.

圖3

從“知識(shí)含量”維度上分析,2020 年高考理科I 卷、2021和2022 年新高考I 卷的難度系數(shù)分別為1.02、1.11 和1.31.如圖4,2021 年和2022 年新高考I 卷含三個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的題目百分比分別為36.36%和54.55%,而2020 年高考理科I卷含三個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)的題目百分比為30.43%,說(shuō)明新高考試題更加重視對(duì)三個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)題目的考查,要求學(xué)生要有過(guò)硬的數(shù)學(xué)學(xué)科綜合能力,以便于解決多知識(shí)點(diǎn)交叉的問(wèn)題.

圖4

從“認(rèn)知水平”維度上分析,2020 年高考理科I 卷、2021和2022 年新高考I 卷的難度系數(shù)分別為1.00、1.03 和1.12.根據(jù)綜合難度系數(shù)模型,理解、運(yùn)用和分析的權(quán)重分別為0.33、0.96 和1.71,三份高考試題在“分析”水平的題目考查占比相差不大,但在“運(yùn)用”水平的題目考查占比相差較為明顯,結(jié)合“運(yùn)用”和“分析”兩個(gè)水平,如圖5,2021 和2022 新高考I 卷在深度認(rèn)知水平的題目考查占比分別為72.73%和77.27%,高于2020 年高考理科I 卷的題目考查占比69.57%.新高考試題更強(qiáng)調(diào)對(duì)考生深度認(rèn)知水平的考查,要求學(xué)生從基本概念和定義出發(fā),深挖題目的已知條件,建立合適的數(shù)學(xué)模型,并對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化,進(jìn)而解決問(wèn)題.

圖5

此外,結(jié)合李保臻等人提出的“梯度”因素進(jìn)行對(duì)比分析,2021 年和2022 年新高考I 卷試題中各小問(wèn)題之間有關(guān)聯(lián)的解答題百分比分別為100%和83.3%,而2020 年高考理科I 卷該部分題目的百分比為71.43%,說(shuō)明新高考試題對(duì)解答題各小題的設(shè)置更強(qiáng)調(diào)其邏輯性和層次性,往往前一個(gè)問(wèn)題的答案是解決后一個(gè)問(wèn)題的必要條件,在日常教學(xué)過(guò)程中教師可有針對(duì)性地根據(jù)教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)出問(wèn)題間有聯(lián)系的試題.

5 教學(xué)建議

5.1 重視提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)

教師要重視提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,結(jié)合李保臻等人提出的“梯度”因素,教師在解題教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算問(wèn)題的解題訓(xùn)練和形成解決各小問(wèn)題之間有關(guān)聯(lián)的解答題的解題思路.其次,教師在教學(xué)活動(dòng)中要幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)演繹推理和歸納、類(lèi)比推理能力的鍛煉,重視發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題,分析和解決問(wèn)題能力的過(guò)程,提高學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)[7].

5.2 重視培養(yǎng)解決多知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題的能力,提高學(xué)生的認(rèn)知水平

數(shù)學(xué)新高考側(cè)重對(duì)多知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題的考查,教師需要幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)知識(shí)的主線和結(jié)構(gòu),加強(qiáng)對(duì)含三個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)題目的訓(xùn)練,逐步培養(yǎng)學(xué)生解決多知識(shí)點(diǎn)題目的能力.提高學(xué)生的認(rèn)知水平,尤其關(guān)注“運(yùn)用”和“分析”維度,充分揭示數(shù)學(xué)解題的思維,教會(huì)學(xué)生深入分析和綜合運(yùn)用題目各個(gè)條件解決問(wèn)題.