角平分線性質(zhì)定理的巧妙應(yīng)用*
——以2015年全國高考理科卷II數(shù)學(xué)第17題為例

甘肅省酒泉第四中學(xué)(735000) 徐玉慶

在2011 年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了初中學(xué)生應(yīng)該具備幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1],利用圖形描述和分析問題,把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡明、形象的幾何問題.高中數(shù)學(xué)課程改革也提出了高中生應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),提高學(xué)生應(yīng)用問題和創(chuàng)新問題的能力[2],角平分線的性質(zhì)定理,人教版在八年級上冊數(shù)學(xué)第十二章“全等三角形”的第三節(jié),而北師大版則在八年級下冊數(shù)學(xué)第一章“三角形的證明”的第四節(jié)[3].定理的證明過程都應(yīng)用了三角形全等.在教學(xué)和實踐過程中,教師則經(jīng)常強調(diào)如果在題目中出現(xiàn)角平分線,那么應(yīng)該想到應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理,而在應(yīng)用的過程中經(jīng)常需要作輔助線.

1 問題的提出和解析

(2015 全國高考理科卷II 第17題) 如圖1: 在三角形ABC中,D是BC邊上的點,AD平方∠BAC,ΔABD的面積是ΔADC的兩倍.

圖1

解析這道題目如果讓高中生去做,學(xué)生都想到可能要應(yīng)用正弦定理,那么如何將ΔABD的面積是ΔADC的兩倍這個條件嵌入到正弦定理是解決這個問題的關(guān)鍵,在實際應(yīng)用中,許多學(xué)生并沒有做任何輔助線解決了問題,解題過程如下:

分析本題巧妙的利用了三角形的面積公式和正弦定理,通過SΔABD=2SΔADC這個等量關(guān)系,尋找到了之間的關(guān)系,充分的利用了三角形的邊角之間的關(guān)系,通過計算我們還可以得到一個非常重要的結(jié)論,如下:

2 問題的進(jìn)一步探究

如果上面這道題目變成是一道中考題,學(xué)生是否能夠解決? 問題的設(shè)計是否超出初中學(xué)生的認(rèn)知水平? 是否有新的思路和方法解決該問題? 值得我們研究,筆者將這道題目給九年級的學(xué)生去做,結(jié)果讓人欣喜若狂,過程如下:

圖2

分析這道高考題我們成功利用初中所學(xué)的知識得到了解決,同樣我們得到了AB·DC=AC ·BD這個重要的結(jié)論,在初中幾何中,當(dāng)遇到角平分線,學(xué)生首先想到的是角平分線的性質(zhì)定理,所以首先作AB和AC的垂線,在初中應(yīng)用三角函數(shù)時一般是在直角三角形中,而垂線的構(gòu)造也為三角函數(shù)的應(yīng)用鋪平了道路,一切都顯得水到渠成,我們應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理成功的解決了這道高考題,相比之下用角平分線的性質(zhì)定理解決要顯得更加簡潔清楚,我們用下位的概念和定理解決了更高水平的問題,這為我們解決問題提供了一種思路和方法,下位的概念和定理可以作為一種工具,在復(fù)雜問題的解決過程中,可以建立理論和研究對象之間的關(guān)系,從而建構(gòu)解決復(fù)雜問題的途徑.

3 結(jié)論的應(yīng)用

通過上面的討論,利用角平分的性質(zhì)定理可以得到一個非常重要的定理,如圖3 所示,利用該定理可以很快的解決一些較復(fù)雜的問題.(定理)在ΔABC中,AD是∠BAC的角平分線,那么AB·DC=AC·BD

圖3

圖4

分析這道題是2011 年全國高考理科數(shù)學(xué)卷II 的一道填空題,分值為5 分.在解決該問題的過程中,我們非常巧妙的應(yīng)用了根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理所得到的結(jié)論,從而降低了這道填空題的難度,也為考生節(jié)省了許多時間.

4 反思

張景中教育數(shù)學(xué)實驗已在我校開展了兩年,將三角引入平面幾何,發(fā)揮三角在幾何中的作用,讓數(shù)學(xué)變得更容易.三角是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁,在教育數(shù)學(xué)實驗中,我們也在不斷探索,如何將《新思路數(shù)學(xué)》和現(xiàn)行的教材相互融合,將三角函數(shù)引入數(shù)學(xué)教學(xué)中是我們研究的重點,張景中院士從面積公式出發(fā),從單位菱形面積出發(fā),推理出三角形面積公式,進(jìn)而推理出正弦定理,從正弦定理推理出我們常用的勾股定理,這讓我們眼前一亮.正如李尚志院士所說,我們不應(yīng)該看規(guī)定如何,我們應(yīng)該相信規(guī)律和推理,2021 年最新《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中加強了對初中生推理能力的要求,這也讓我們對于教學(xué)數(shù)學(xué)實驗有個更大的信心,借此契機讓教育數(shù)學(xué)成為推動數(shù)學(xué)教育的強大動力.