利用“一個(gè)銳角三角函數(shù)值”解決問題

吳琨

有時(shí)題目中給出一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，如已知sinA=[12]，或已知sinA=[13]，我們該如何運(yùn)用這一條件解決問題呢，請看以下兩種情形。

一、給出一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值。

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，sinA=[12]，則AC的長為（ ）。

A.2 B.3 C.[3] D.[23]

【解析】在Rt△ABC中，由sinA=[12]，可知∠A=30°，則AC=ABcos∠A=[23]。故選D。

【點(diǎn)評】此題就是從特殊角的三角函數(shù)值來突破，知道了∠A是30°，接下來可以利用30°的余弦或正切解決問題，也可以獲知∠B是60°，利用∠B的正弦、余弦或正切解決問題。

二、給出一個(gè)非特殊角的三角函數(shù)值

例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=[13]，BC=2，則AB等于（ ）。

A.[23] B.4 C.[42] D.6

【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=[BCAB]=[13]，把BC=2代入，得[2AB]=[13]，解得AB=6。故選D。

【點(diǎn)評】本題就是利用銳角三角函數(shù)的定義，把已知量代入，然后變形、求解。

例3 如圖2，AB是斜靠在墻上的長梯，AB與地面夾角為α，當(dāng)梯頂A下滑1m到A′時(shí)，梯腳B滑到B′，A'B'與地面的夾角為β，若tanα=[43]，BB'=1m，則cosβ=（ ）。

A.[45] B.[35] C.[34] D.[25]

【解析】在Rt△ABC中，由tanα=[43]，可設(shè)AC=4x，那么BC=3x，根據(jù)勾股定理得AB=5x，那么A′B′=AB=5x。在Rt△A′B′C中，根據(jù)勾股定理列出方程（4x-1）2+（3x+1）2=（5x）2，求出x=1，∴A′C=3，B′C=4，A′B′=5，∴cosβ=[B′CA′B′]=[45]。故選A。

【點(diǎn)評】本題是將條件“tanα=[43]”運(yùn)用為“設(shè)AC=4x，那么BC=3x”，這其實(shí)也是利用了銳角三角函數(shù)的定義，引入字母x，使條件中兩條線段的“比”變成了4x和3x。

例4 如圖3，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，若tan∠DCB=[12]，則線段DB的長度為（ ）。

A.4 B.3 C.[22] D.[2]

【解析】作DE⊥BC于點(diǎn)E，如圖4。

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，AC=BC=6，∴BE=DE。

∵tan∠DCB=[12]，∴[DECE]=[12]，

∴CE=2DE=2BE，

∴BC=CE+BE=3BE=6，

∴BE=2，∴BD=[2]BE=[22]。

故選C。

【點(diǎn)評】已知中∠DCB不是圖中某個(gè)直角三角形的銳角，那么該如何運(yùn)用條件“tan∠DCB=[12]”呢？通過作輔助線，構(gòu)造Rt△DEC，進(jìn)而根據(jù)“tan∠DCB=[12]”及銳角三角函數(shù)的定義得到“CE=2DE”。

（作者單位：江蘇省南京市上元中學(xué)）