概率解答題的兩種常見(jiàn)類型與解題技巧

王蕊

統(tǒng)計(jì)與概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用是中考數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn)，大多以解答題為主，分值8分，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在選擇題或填空題中。下面老師將從一道例題入手，幫助大家破解這類實(shí)際問(wèn)題。

例題 在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共5個(gè)。某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)。下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近 （結(jié)果精確到0.1）;

（2）試估算口袋中黑球有 個(gè)，白球有 個(gè);

（3）在（2）的結(jié)論下，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出隨機(jī)摸出兩個(gè)球都是白球的概率。

【分析】（1）在大量重復(fù)的試驗(yàn)中，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性會(huì)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，用頻率估計(jì)概率是一種重要的方法。因此，隨機(jī)事件在相同條件下，大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果的頻率值會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)定值附近，這個(gè)定值即為概率的估計(jì)值。

（2）借助（1）中所得摸到白球的概率，利用公式P（A）=[事件A發(fā)生的情況數(shù)總情況數(shù)]，可以計(jì)算出白球數(shù)，再用總數(shù)-白球=黑球。

（3）用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法不重復(fù)、不遺漏地表示出所有的試驗(yàn)結(jié)果，再找出兩個(gè)球都是白球的試驗(yàn)個(gè)數(shù)，利用概率公式計(jì)算即可。值得注意的是，第（3）問(wèn)的摸球方式與題干中的方式不同，題干的摸球方式是有放回，而“隨機(jī)摸出兩個(gè)球”是一次摸出兩個(gè)球，屬于不放回。

解：（1）從表格可知，最多進(jìn)行的摸球試驗(yàn)次數(shù)為1000次，頻率為0.601，結(jié)果精確到0.1，因此，頻率將會(huì)接近0.6。

（2）設(shè)口袋中有x個(gè)白球。因?yàn)槊淮吻蚩梢悦?個(gè)球中的一個(gè)，所以總情況數(shù)為5，又因?yàn)槊桨浊虻那闆r數(shù)為x，所以[x5]=0.6，解得x=3。因?yàn)?-3=2，所以黑球有2個(gè)，白球有3個(gè)。

（3）用列表法表示出所有可能的試驗(yàn)結(jié)果如下表。

一共有20種等可能的結(jié)果，其中摸出兩個(gè)白球的結(jié)果有6種，所以P（摸出兩個(gè)白球）=[620]=[310]。

【點(diǎn)評(píng)】本題是常見(jiàn)的概率解答題。第（1）問(wèn)，利用頻率估計(jì)概率，換個(gè)角度看，體現(xiàn)了用樣本估計(jì)總體的思想。第（2）問(wèn)，可以看成用樣本估計(jì)總體的逆用，用總體估計(jì)樣本，即可以看成總共有1000個(gè)白球和黑球均勻分布的球，其中有600個(gè)是白球，現(xiàn)在從中取出5個(gè)球，求白球的數(shù)量，其中“分布均勻”隱藏在題干中“只有顏色不同”“攪勻”“隨機(jī)摸出”“不斷重復(fù)”這類詞中，說(shuō)明這些球組成的全體的每一部分都是一樣的。

雖然第（3）問(wèn)要求我們用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，但是在方法選擇上還有兩點(diǎn)需要注意：①如果一次操作的結(jié)果超過(guò)三個(gè)，最好選擇列表法，這種方法書(shū)寫(xiě)所占空間較少;②試驗(yàn)若有三次及以上操作時(shí)，只能選擇畫(huà)樹(shù)狀圖，同時(shí)考慮節(jié)省書(shū)寫(xiě)空間，建議選擇橫向畫(huà)樹(shù)狀圖。

因此，用概率解決實(shí)際問(wèn)題的解答題往往有兩種類型：類型一，如例題的（1）（2）兩問(wèn)，用頻率估計(jì)概率;類型二，如例題的第（3）題利用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求事件的概率。

類型一：用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率

例1 動(dòng)物學(xué)家通過(guò)大量的調(diào)查估計(jì)出，某種動(dòng)物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率是0.5，活到30歲的概率是0.3?，F(xiàn)年25歲的這種動(dòng)物活到30歲的概率為 。

【分析】解決本題的關(guān)鍵是理解25歲與30歲時(shí)這種動(dòng)物存活率間的聯(lián)系。題干中明確了活到25歲和30歲的存活概率，此條件相當(dāng)于總體中活到25歲的概率是0.5，活到30歲的概率是0.3?，F(xiàn)年25歲指當(dāng)前存活的概率為1，所以問(wèn)題可以看成樣本中25歲的概率是1時(shí)，活到30歲的概率。

解：設(shè)現(xiàn)年25歲的這種動(dòng)物活到30歲的概率為x，由題意得[0.30.5]=[x1]，解得

x=0.6。

例2 生物學(xué)家估計(jì)某一地區(qū)的野鹿只數(shù)時(shí)，常采用“捉放捉”的方法，即先捕捉野鹿n只，分別給它們做上記號(hào)，然后放歸;一段時(shí)間后，重新捕捉一些野鹿作為樣本。像這樣有放回地捕捉多次，如果平均每m只野鹿中帶有記號(hào)的野鹿有a只，試估計(jì)該地區(qū)野鹿的只數(shù)（用含m、n、a的代數(shù)式表示）。

【分析】我們可以換個(gè)角度理解題干，樣本中m只野鹿中帶有記號(hào)的野鹿有a只，現(xiàn)在標(biāo)記的有n只野鹿，估計(jì)總體的數(shù)量。

解：設(shè)該地區(qū)野鹿的只數(shù)為x，由題意得[am]=[nx]，解得x=[mna]。

答：該地區(qū)野鹿的只數(shù)為[mna]。

類型二、利用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求事件的概率

例3 若將例題中的第（3）問(wèn)改為：在（2）的結(jié)論下，隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，將球攪勻，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出隨機(jī)摸出兩次，且兩個(gè)球都是白球的概率。

【分析】一次摸球可能出現(xiàn)的結(jié)果有5種，仍然采用列表法方便書(shū)寫(xiě)，只需將例題解答（3）中的表格中的空白改寫(xiě)為相應(yīng)結(jié)果即可。

解：（列表略）一共有25種等可能的結(jié)果，其中摸出兩個(gè)白球的結(jié)果有9種，所以P（摸出兩個(gè)白球）=[925]。

【點(diǎn)評(píng)】?jī)纱蚊虻脑囼?yàn)結(jié)果并無(wú)關(guān)聯(lián)時(shí)，這兩次摸球便是相互獨(dú)立的，也可稱為互斥的，那么第一次摸到白球的概率為[35]，第二次摸到白球的概率仍為[35]，兩次試驗(yàn)結(jié)果同時(shí)發(fā)生，則[35]×[35]即為所求結(jié)果。為何可以這樣計(jì)算？其實(shí)這與類型一有相似之處。將第二次的試驗(yàn)看成樣本，即在必然事件的前提下，摸到白球的概率為[35]，現(xiàn)在的前提是，第一次摸球是白球的概率為[35]，求第二次仍摸到白球的概率。不妨設(shè)摸到白球的概率為x，由題意得[351]=[x35]，解得x=[35]×[35]=[925]。

這一結(jié)論在后續(xù)的學(xué)習(xí)中還有其他方法可以證明，我們不妨把它推廣到一般情形。兩次試驗(yàn)相互獨(dú)立，M為第一次試驗(yàn)的結(jié)果，N為第二次試驗(yàn)的結(jié)果，MN為兩次試驗(yàn)結(jié)果同時(shí)發(fā)生，則公式P（MN）=P（M）·P（N）。那么對(duì)于三個(gè)、四個(gè)或是多個(gè)的試驗(yàn)相互獨(dú)立，且試驗(yàn)結(jié)果同時(shí)發(fā)生，你能寫(xiě)出公式嗎？我相信，聰明的你一定能寫(xiě)出來(lái)。兩個(gè)相互獨(dú)立的事件同時(shí)發(fā)生時(shí)，概率的計(jì)算公式可以幫助我們簡(jiǎn)潔、高效地解決填空題或選擇題。

（作者單位：江蘇省六合高級(jí)中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）