厘清概念 抓住本質(zhì)

艾滿滿

多年來(lái)，“統(tǒng)計(jì)與概率”在中考中一直是必考的，但每年考試結(jié)束后很多同學(xué)感覺有各種問(wèn)題，主要是因?yàn)橥Ａ粼谀７屡f題，對(duì)概念本質(zhì)沒有厘清，對(duì)一些策略方法反思和歸納不到位。因此，我們將這塊知識(shí)的主要解題策略和方法做如下梳理。

一、準(zhǔn)確把握“普查、抽查”概念

何時(shí)選擇“普查”？何時(shí)選擇“抽樣調(diào)查”？選擇“抽樣調(diào)查”的原則是什么？不少同學(xué)比較模糊，我們結(jié)合例1來(lái)看。

例1 小明所在的班級(jí)有52名同學(xué)，就“是否喜歡看足球比賽”這一問(wèn)題，小明調(diào)查了班上的24名男生，其中12人喜歡，于是小明得出結(jié)論：我們班喜歡觀看足球比賽的人數(shù)占全班人數(shù)的一半。你同意小明的結(jié)論嗎？試說(shuō)明理由。若不同意，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣改進(jìn)抽樣的方法。

【解析】對(duì)于這樣的問(wèn)題，不少同學(xué)根據(jù)做題經(jīng)驗(yàn)，能夠判斷小明的結(jié)論不正確，不同意小明的結(jié)論。但要說(shuō)明如何改進(jìn)抽樣方法，則無(wú)從下手。原因在于對(duì)抽樣調(diào)查的方式的原則把握不準(zhǔn)。我們做抽樣調(diào)查時(shí)應(yīng)把握兩個(gè)原則：一是抽取的數(shù)據(jù)要隨機(jī)，有代表性;二是要注意抽取的數(shù)據(jù)不宜過(guò)少，要有一定的普遍性（廣泛性）。這里，小明之所以結(jié)論有誤，是因?yàn)樾∶鞒槿〉臄?shù)據(jù)主要來(lái)源于對(duì)男生的調(diào)查，過(guò)于片面，數(shù)據(jù)不具有代表性。因此，要改進(jìn)，則需要在保證一定數(shù)量（20人左右）的基礎(chǔ)上，隨機(jī)抽取男女生進(jìn)行調(diào)查。

二、重視主要統(tǒng)計(jì)量公式的形成過(guò)程

例2 甲、乙兩名同學(xué)參加數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)測(cè)試，各項(xiàng)成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?/p>

（1）分別計(jì)算甲、乙成績(jī)的中位數(shù);

（2）如果數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合實(shí)踐的成績(jī)按3∶3∶2∶2計(jì)算，那么甲、乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績(jī)分別為多少分？

【解析】從本題中的“中位數(shù)”“3∶3∶2∶2”“甲、乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績(jī)分別為多少分”這三個(gè)關(guān)鍵詞句知道，我們應(yīng)回顧中位數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的概念。將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，那么處于中間位置的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。衡量各個(gè)數(shù)據(jù)的“重要程度”的數(shù)值叫作權(quán)，數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合實(shí)踐的成績(jī)按3∶3∶2∶2計(jì)算，說(shuō)明這四項(xiàng)的“重要程度”不一樣，它們?cè)诳偝煽?jī)中各占[33+3+2+2]，[33+3+2+2]，[23+3+2+2]，[23+3+2+2]。因此，甲的成績(jī)=90×[33+3+2+2]+93×[33+3+2+2]+89×[23+3+2+2]+90×[23+3+2+2]=90.7（分）。乙的成績(jī)同理計(jì)算即可。

例3 已知一組數(shù)據(jù)0，1，2，3，x的平均數(shù)是2，求這組數(shù)據(jù)的極差、方差。

【解析】從本題中的關(guān)鍵詞平均數(shù)、極差、方差，回顧知識(shí)點(diǎn)。本題應(yīng)先利用平均數(shù)求出x，得到一組完整的數(shù)據(jù)即0，1，2，3，4。想要求極差，找出數(shù)據(jù)中的最大值是4，最小值是0，所以極差=4-0=4。方差s2=[15]×[（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=[15]×（4+1+0+1+4）=2。

三、正確理解統(tǒng)計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)信息

例4 某班學(xué)生理化生實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試成績(jī)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

求這些同學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)。

【解析】題目雖然看起來(lái)簡(jiǎn)單，但是一些同學(xué)把15作為“眾數(shù)”，這個(gè)答案是錯(cuò)誤的。這里數(shù)據(jù)的分析對(duì)象是“理化生實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試成績(jī)”，而不是“人數(shù)”，不能看到“人數(shù)”為15，一對(duì)比是最多，就把15作為眾數(shù)，而應(yīng)該是其人數(shù)對(duì)應(yīng)的“9分”為眾數(shù)。

例5 中考體育測(cè)試前，某區(qū)教育局為了了解選報(bào)引體向上的九年級(jí)男生的成績(jī)情況，隨機(jī)抽測(cè)了本區(qū)部分選報(bào)引體向上項(xiàng)目的九年級(jí)男生的成績(jī)，并將測(cè)試得到的成績(jī)繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：

請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息，寫出扇形圖中a= %，并補(bǔ)全條形圖。

【解析】由于一些同學(xué)理解不深，對(duì)圖表的對(duì)應(yīng)關(guān)系分析不到位，在計(jì)算出a之后，不是畫錯(cuò)條形高度，就是漏畫所缺條形。這里需要在計(jì)算出a=25%之后，結(jié)合扇形統(tǒng)計(jì)圖的百分比和條形統(tǒng)計(jì)圖的具體值，先計(jì)算出總?cè)藬?shù)為[2010%]=200（人），再根據(jù)總?cè)藬?shù)和6個(gè)對(duì)應(yīng)的百分比求出引體向上拉到6個(gè)的人數(shù)為50人，進(jìn)而補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖。

四、厘清“等可能性”和“不等可能性”

例6 一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)大小相同的乒乓球，其中1個(gè)是黃球，2個(gè)是白球。從該盒子中任意摸出一個(gè)球，摸到的球有幾種等可能情況？

【解析】一些同學(xué)會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為袋子中有兩種顏色的球，所以摸出的球就是兩種情況，即黃球和白球。本題需要分析的是摸到幾種等可能情況。正確的答案應(yīng)該是摸到3種等可能情況，即黃球，白球1，白球2。

五、掌握“放回”和“不放回”

例7 在4張完全一樣的紙條上分別寫上1、2、3、4，做成4支簽，放入一個(gè)不透明的盒子中攪勻。甲先從中任意抽出1支簽，不放回，乙再?gòu)氖Ｓ嗟暮炛腥我獬槌?支。

（1）甲抽到寫著數(shù)字“1”的簽的概率是 。

（2）乙抽到寫著數(shù)字“1”的簽的概率與（1）的結(jié)果相同嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明。

【解析】本題中強(qiáng)調(diào)抽簽“不放回”，所以我們可以做如下分析。第（1）問(wèn)容易求得甲抽到寫著數(shù)字“1”的簽的概率為[14]。第（2）問(wèn)，甲、乙兩人依次從中任意抽出1支簽，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，即（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3），它們是等可能的。在所有的結(jié)果中，滿足乙抽到寫著數(shù)字“1”的簽（記為事件A）的結(jié)果有3種，即（2，1）、（3，1）、（4，1），所以P（A）=[312]=[14]。因此，乙抽到寫著數(shù)字“1”的簽的概率與（1）的結(jié)果相同。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部）