一道數(shù)學例題的改編及學習啟示

顧以浩

數(shù)學作為一門重要的基礎(chǔ)學科存在于我們的學習與生活中，而例題作為數(shù)學學習必不可少的重要環(huán)節(jié)，能有效地促進思維的發(fā)展與解題能力的提升。下面老師以教材里的一道例題為源頭進行再造，希望對同學們的學習有所啟示。

【教材原題】（蘇科版數(shù)學教材九年級下冊第117頁習題3）如圖1，護林員在離樹20m的A處觀測樹頂?shù)难鼋菫?5°，已知護林員的眼睛離地面1.6m。求樹的高度（精確到0.1m）。

【教材再造】測量是人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中一種常見的活動，也是人的一種技能，能充分展現(xiàn)數(shù)學價值所在，也容易讓人獲得成功的情感體驗。在研究完這個問題后，我們不妨思考，當我們手邊的測量工具有測角儀和卷尺，如何設(shè)計方案測量旗桿的高度呢？下面展示4種方案供大家參考。

方案1 如圖2，在C處用測角儀測得旗桿頂A的仰角∠ADE為α，并測得BC的長為bm，已知測角儀高CD為am，則旗桿AB高度為（btanα+a）m。

【方案解析】因為在Rt△ADE中，AE=btanα，在矩形DEBC中，BE=CD，

所以AB=AE+EB=AE+CD=btanα+a。

方案2 如圖3，在C處用測角儀測得旗桿頂A的仰角∠ADE為α，在F處測得旗桿頂A的仰角∠AGE為β，且點B、C、F在同一直線上，并測得CF的長為bm。利用方程的思想，設(shè)AE長為xm，利用等量關(guān)系GE-DE=b來列出方程[xtanβ][-xtanα]=b，進而求得x=[btanαtanβtanα-tanβ]。已知測角儀高CD為am，則旗桿AB高度為（[btanαtanβtanα-tanβ]+a）m。

【方案解析】因為在Rt△ADE中，DE=[AEtanα]，在Rt△AGE中，GE=[AEtanβ]，

又GE-DE=b，即[AEtanα][-AEtanβ]=b，

從而解得AE=[btanαtanβtanα-tanβ]。

再由矩形性質(zhì)得到GF=BE，所以AB=AE+BE=AE+GF=（[btanαtanβtanα-tanβ]+a）m。

方案3 如圖4，在C處用測角儀測得旗桿頂A的仰角∠ADE為α，測得旗桿底B的俯角∠EDB為β，已知測角儀高CD為am，則旗桿AB高度為a（[tanαtanβ]+1）m。

【方案解析】因為在矩形DEBC中，BE=CD，

在Rt△BDE中，DE=[BEtanβ]=[atanβ]，

在Rt△ADE中，AE=DEtanα=[atanαtanβ]，

所以AB=AE+BE

=[atanαtanβ]+a=a（[tanαtanβ]+1）m。

方案4 如圖5，在D處用測角儀測得旗桿頂A的仰角∠ADE為α，測得旗桿底B的俯角∠EDB為β，已知測角儀與旗桿的距離DE為am，則旗桿AB高度為a（tanα+tanβ）m。

【方案解析】在Rt△BDE中，

BE=DE·tanβ=atanβ，

在Rt△ADE中，AE=DEtanα=atanα，

所以AB=AE+BE=atanβ+atanα

=a（tanα+tanβ）m。

【方法總結(jié)】“解直角三角形”是三角函數(shù)應(yīng)用類問題的基本模型，“解直角三角形”又是三角函數(shù)概念與方程思想的綜合應(yīng)用。我們應(yīng)利用分類討論思想，抽象出解直角三角形的兩個基本圖形，如圖6。我們通過大量的實踐可以發(fā)現(xiàn)，測量類以及航海類問題都可以通過添加輔助線合理構(gòu)造一至兩個直角三角形，利用這兩個基本圖形加以解決。

（作者單位：江蘇省南京市竹山中學）