抓牢數(shù)學(xué)本質(zhì) 解決實(shí)際問題

陳卓

利用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題是本章的難點(diǎn)。說它是難點(diǎn)，是因?yàn)橐褜?shí)際問題歸納為直角三角形中的邊、角之間的關(guān)系，而且要根據(jù)實(shí)際問題選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庵苯侨切?。銳角三角函數(shù)體現(xiàn)的是角度與三角函數(shù)值之間一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，而初中階段僅僅是圍繞函數(shù)值，對(duì)于函數(shù)卻沒有過多的研究和說明。只有正確理解銳角三角函數(shù)概念，才能正確理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，才能利用這些關(guān)系來解直角三角形，進(jìn)而解決實(shí)際問題。

一、坡度、坡角問題

坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫作坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1∶m的形式。

坡面與水平面的夾角α叫作坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為i=[hl]=tanα。

在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)造直角三角形，坡角即是一銳角，坡度就是這個(gè)銳角的正切值，水平寬度和鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題。

例1 某市為實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2020—2025年擬建設(shè)5G基站7000個(gè)。如圖1，在坡度為i=1∶2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔與水平地面垂直。小芮在坡腳C測(cè)得塔頂A的仰角為45°，然后她沿坡面CB行走13米到達(dá)D處，在D處測(cè)得塔頂A的仰角為53°。（點(diǎn)A、B、C、D均在同一平面內(nèi)）（參考數(shù)據(jù)：sin53°[≈45]，cos53°[≈35]，tan53°[≈43]）

（1）求D處的豎直高度;

（2）求基站塔AB的高。

【解析】（1）如圖2，延長(zhǎng)AB交水平線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DM⊥CF于點(diǎn)M。

∵斜坡CB的坡度i=1∶2.4，

∴[DMCM]=[12.4]，即[DMCM]=[512]。

設(shè)DM=5k，則CM=12k。在Rt△CDM中，CD=13。由勾股定理，得CM2+DM2=CD2，即（5k）2+（12k）2=132，解得k=1，∴DM=5，CM=12，即D處的豎直高度為5米。

（2）斜坡CB的坡度i=1∶2.4，設(shè)DE=12a，則BE=5a，

又∵∠ACF=45°，∴AF=CF=12+12a，

∴AE=AF-EF=12+12a-5=7+12a。

在Rt△ADE中，DE=12a，AE=7+12a。

∵tan∠ADE=tan53°[≈43]，

∴[7+12a12a]=[43]，解得a=[74]，

∴DE=12a=21，AE=7+12a=28，BE=5a=

[354]，∴AB=AE-BE=28[-354]=[774]，即基站塔AB的高為[774]米。

例2 如圖3，水壩的橫截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，壩頂DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）為1∶0.5，壩底AB=14m。求壩高。（參考數(shù)據(jù)：sin37°[≈35]，cos37°[≈45]，tan37°[≈34]）

【解析】如圖4，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AB于點(diǎn)N。

由題意得tan∠DAB=[DMAM]=2。

設(shè)AM=x，則DM=2x。

∵四邊形DMNC是矩形，∴CN=DM=2x。

在Rt△NBC中，tan37°=[CNBN]=[2xBN]=[34]，

∴BN=[83x]。

∵x+3+[83x]=14，∴x=3，

∴DM=6，即壩高6m。

二、仰角、俯角問題

仰角是向上看的視線與水平線的夾角;俯角是向下看的視線與水平線的夾角。

解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形。當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形。當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題化歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決。

例3 某數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為20米的發(fā)射塔AB，如圖5所示。在山腳平地上的D處測(cè)得塔底B的仰角為30°，向小山前進(jìn)80米到達(dá)點(diǎn)E處，測(cè)得塔頂A的仰角為60°，求小山BC的高度。

【解析】設(shè)BC為x米，則AC=（20+x）米。

由條件知∠DBC=∠AEC=60°，DE=80。

在直角△DBC中，tan60°=[DCBC]=[DCx]，

則DC=[3]x，∴CE=[3]x-80。

在Rt△ACE中，tan60°=[ACCE]=[20+x3x-80]=[3]，解得x=10+40[3]，即小山BC的高度為（10+40[3]）米。

三、方向角問題

一般的方向角問題是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)。

在解決有關(guān)方向角的問題時(shí)，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角。

例4 如圖6，某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為10（3+[3]）海里的圓形海域內(nèi)有暗礁。一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東60°的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛20[2]海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東45°方向上。

（1）求A、P之間的距離AP;

（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行，是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由。如果有觸礁危險(xiǎn)，那么海監(jiān)船由B處開始沿南偏東小于多少度的方向航行能安全通過這一海域？

【解析】（1）如圖7，過點(diǎn)P作PC⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C。

根據(jù)題意，得∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=[202]。

設(shè)PC=x，則BC=x。在Rt△PAC中，

∵tan30°=[PCAC]=[xx+202]=[33]，

∴x=[106]+[102]，

∴PA=2x=[206]+[202]。

（2）∵PC-10（3+[3]）=[106]+[102]-30-[103]=10（[3]+1）（[2]-[3]）<0，

∴有觸礁的危險(xiǎn)。

設(shè)海監(jiān)船無觸礁危險(xiǎn)的新航線為射線BD，作PE⊥BD，垂足為E，當(dāng)P到BD的距離PE=10（3+[3]）海里時(shí)，有sin∠PBE=[10（3+3）2·PC]=[10（3+3）20（3+1）]=[32]，

∴∠PBD=60°，∴∠CBD=60°-45°=15°，

則90°-15°=75°，

即海監(jiān)船由B處開始沿南偏東小于75°的方向航行能安全通過這一海域。

通過幾個(gè)例題的研究，我們發(fā)現(xiàn)，用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題的本質(zhì)就是解直角三角形。我們要分辨：在哪個(gè)直角三角形中求解？沒有直角三角形該怎么辦？該怎么構(gòu)造直角三角形？同時(shí)，我們?cè)谟娩J角三角函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)還要學(xué)會(huì)恰當(dāng)?shù)乩梅匠趟枷霂椭忸}。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）