如影隨形 由影知形

錢福明

在測量校園中的旗桿、教學(xué)樓、一棵大樹等物體的高度時，我們不難發(fā)現(xiàn)直接測量很不方便，而通過測量物體影子的長度便可輕松求出其高度，這就是相似三角形在實際生活中的一個具體應(yīng)用，也是歷年中考中的一個熱點。下面我們就一起來探索太陽光下的物體影子長度與物體高度之間的關(guān)系。

一、“躺平”式——物體的影子全部落在水平地面上

【操作方法】某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量學(xué)校旗桿的高度，在點F處豎立一根長為1.5米的標(biāo)桿DF，如圖1所示，量出DF的影子EF的長度為1米，再量出旗桿的影子BC的長度為6米，問旗桿的高度為多少米？

【點撥】因為在同一時刻物高與影長成正比，

所以[DFAC]=[EFBC]，即[1.5AC]=[16]，

所以AC=9。

所以旗桿的高度為9米。

【感悟】在太陽光（平行光）線下，同一時刻，兩個物體的高度和影長（水平地面上）的比是相等的，即物高與影長的比相等。解題時要注意物體和各自影長的對應(yīng)關(guān)系不要弄錯。

二、“垂直”式——物體的影子有一部分落在墻上

【操作方法】王紅想利用影長測量學(xué)校旗桿的高度，如圖2，她在某一時刻立1米長的標(biāo)桿測得其影長為1.2米，同時旗桿的投影的一部分在地面上，另一部分剛好在學(xué)校教學(xué)樓的墻上，分別測得其長度為9.6米和2米，試求學(xué)校旗桿的高度為多少米？

【點撥】由于太陽光線是平行光，在同一時刻物高與影長成正比。因此，我們可以延長AD交BC的延長線于點E，如圖3所示，先求出影子CE的長，得到旗桿在水平地面上的影子BE的長度，最后求出旗桿AB的高度。

【解析】由題意可知[CDEC]=[11.2]，[ABBE]=[11.2]，BC=9.6，CD=2，

所以CE=2.4，BE=BC+CE=9.6+2.4=12，

所以AB=10，即旗桿AB的高度為10米。

【感悟】當(dāng)物體的影子有兩部分時，我們可以把落在垂直墻面上的影子轉(zhuǎn)化為水平地面上的影子，得到總的影子長度，然后利用在同一時刻物高與影長成正比的關(guān)系，求出物體的高度。

三、“豎彎”式——物體的影子有一部分落在臺階上

【操作方法】在陽光下，小玲測得一根長為1米的垂直于地面的竹竿的影長為0.6米，同時小強(qiáng)測量樹的高度時，如圖4所示，發(fā)現(xiàn)樹的影子有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，其長度為0.2米，落在地面的影長為4.42米，每級臺階高為0.3米。小玲說：“要是沒有臺階遮擋的話，樹的影子長度應(yīng)該是4.62米?！毙?qiáng)說：“要是沒有臺階遮擋的話，樹的影子長度肯定比4.62米要長。”

（1）你認(rèn)為小玲和小強(qiáng)的說法對嗎？

（2）請根據(jù)小玲和小強(qiáng)的測量數(shù)據(jù)計算樹的高度;

（3）要是沒有臺階遮擋的話，樹的影子長度是多少？

【點撥】首先建立如圖5所示的數(shù)學(xué)模型，由平行光線下同一時刻的物高與影長成正比可得[ABAF]=[10.6]，要求物高AB的長，只要求出影子AF的長即可。因為AE=4.42米，F(xiàn)H=DG=0.2米，所以問題就轉(zhuǎn)化成求HE的長度。

【解析】（1）小玲的說法不對，小強(qiáng)的說法對。

（2）由平行投影可知[ABAF]=[10.6]，DE=0.3，

∴EH=0.3×0.6=0.18。

∵四邊形DGFH是平行四邊形，

∴FH=DG=0.2。

∵AE=4.42，

∴AF=AE+EH+FH=4.42+0.18+0.2=4.8。

∵[ABAF]=[10.6]，

∴AB=8。

答：樹的高度為8米。

（3）由（2）可知AF=4.8。

答：樹的影子長為4.8米。

【感悟】當(dāng)物體的影子落在一個或者多個臺階上時，我們可以把全部的影子都投影到水平地面上，并利用平行光線下同一時刻物高與影長成正比求出影長，最后求出原物體高度。本題考查了相似三角形的應(yīng)用、平行投影，解決本題的關(guān)鍵是理解平行投影。

四、“傾斜”式——物體的影子有一部分落在斜坡上

【操作方法】如圖6，小明想測量長在一個土坡上的樹高，他在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長是0.6米，此時，樹頂A的影子落在斜坡坡面上的點F處。經(jīng)測量，土坡的坡比為1∶[3]，坡頂C與樹根B的距離為3米，與點F的距離為4米，坡腳D與點F的距離為2米，且樹根所在平面BC與地面DE平行。試求樹AB的高度。

【點撥】本題影子中有一部分是落在水平地面上（BC），另一部分是落在斜坡上（CF），所以我們只需將在斜坡上的影子CF轉(zhuǎn)化成落在水平地面上的影長以及CF的豎直高度。

【解析】如圖7，過點F作FE⊥AB，交AB的延長線于點E，過點C作CG⊥EF于點G，

則CG=BE，EG=BC=3，且[CGGF]=[13]。

∵CF=4，

∴在Rt△CGF中，

BE=CG=[12]CF=2，GF=[23]，

∴EF=GF+EG=[23]+3。

∵同一時刻，不同物體與其影長的比相等，

∴[AEEF]=[10.6]，

∴AE=[10.6]EF=[10.6]（[23]+3）

=[103+153]，

∴AB=AE-BE=[103+153]-2

=[103+93]。

答：樹AB的高度為[103+93]米。

【感悟】當(dāng)影子落在斜坡上時，關(guān)鍵是把影子分解為水平地面上的影子和豎直高度，利用坡度的知識求出水平地面上的影子長度以及豎直高度，最后用求出來的總高度減去豎直高度，就可以得到原物體高度。

總之，在平行光線下，物體的影子一般有落在水平地面上、垂直墻面上、一個或多個臺階上、斜坡上等幾種情況，無論是哪一種情況，我們都可以將這些影子轉(zhuǎn)化成落在水平地面上的影子，求出相應(yīng)的線段長度，得到物體落在水平地面上的總影長，然后根據(jù)在同一時刻物高與影長成正比，計算出物體的高度。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳中區(qū)臨湖第一中學(xué)）