數(shù)學(xué)的對(duì)稱之美與統(tǒng)一之美及其在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探析

羅建華

摘? 要：在很多人眼里，數(shù)學(xué)是一門(mén)枯燥乏味的課程，如果把美麗和數(shù)學(xué)相提并論，許多人會(huì)持不同意見(jiàn)。數(shù)學(xué)漂亮嗎？數(shù)學(xué)美嗎？這樣的問(wèn)題將接踵而至。事實(shí)上，如果能冷靜下來(lái)，去細(xì)細(xì)品味那些枯燥公式、煩瑣證明之后的本質(zhì)規(guī)律，就能體味到一種獨(dú)特的美，那是不同于生活中常見(jiàn)美的數(shù)學(xué)所特有的美：邏輯上的嚴(yán)謹(jǐn)性、結(jié)構(gòu)上的協(xié)調(diào)性、理論上的抽象性、應(yīng)用上的廣泛性以及其方法之優(yōu)美與奇特、其形式之間的對(duì)稱與和諧、其內(nèi)容的豐富與深刻等等，無(wú)不給人以美的感受、美的刺激、美的熱愛(ài)。美育，又稱美感教育，是培養(yǎng)人們認(rèn)識(shí)、發(fā)現(xiàn)、體驗(yàn)、欣賞和創(chuàng)造美的能力的一種教育方法，可以促進(jìn)受教育者獲得美的理想、美的品質(zhì)、美的修養(yǎng)和美的情感。一方面，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育是為學(xué)生建立一個(gè)基本的邏輯體系，另一方面是為了學(xué)生做到主動(dòng)學(xué)習(xí)、喜愛(ài)學(xué)習(xí)，最后形成終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣，這才是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的立足點(diǎn)與支撐點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱美;統(tǒng)一美;數(shù)學(xué)教學(xué)

一、數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美

（一）創(chuàng)設(shè)美的情境，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美

在課堂上用課件放出美麗的軸對(duì)稱圖形，可比干巴巴地講課生動(dòng)、形象多了，并且通過(guò)多媒體的放映，可以創(chuàng)立一個(gè)美的情境，讓學(xué)生置身于美中，全身心地感受到對(duì)稱美，在美境中得到成長(zhǎng)。比如在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱這一章時(shí)，教師可以這樣說(shuō)：同學(xué)們，在這個(gè)世界上存在著許多軸對(duì)稱圖形，你們認(rèn)為它是美的嗎？當(dāng)然是美的，正是因?yàn)橛辛诉@些美麗的軸對(duì)稱圖形，世界才會(huì)變得如此五彩繽紛、豐富多彩！好了，就讓走近軸對(duì)稱圖形，去揭開(kāi)她那神秘的面紗。（動(dòng)畫(huà)呈現(xiàn)：有美麗迷人的泰姬陵、莊嚴(yán)肅穆的金字塔、雄偉壯麗的富士山和歷史悠久的巴黎圣母院等名勝古跡;有圓、矩形、橢圓、等腰三角形、正五邊形等各種圖形;還有漂亮的小蜜蜂，可愛(ài)的青蛙，美麗的蝴蝶等各種小動(dòng)物……）隨著時(shí)間的推移，學(xué)生的情緒調(diào)動(dòng)了起來(lái)，發(fā)出此起彼伏的贊嘆聲。學(xué)生已經(jīng)完整地感受到了對(duì)稱圖形的美，師：“正因?yàn)橛辛诉@么多對(duì)稱與不對(duì)稱，才讓的世界變得如此五彩繽紛、美麗動(dòng)人。”通過(guò)這些美麗的畫(huà)面，讓學(xué)生欣賞到對(duì)稱美，并產(chǎn)生追尋美的渴望。

師：剛才老師展示了那么多的軸對(duì)稱圖形，想必同學(xué)們已經(jīng)對(duì)軸對(duì)稱圖形有了深刻的認(rèn)識(shí)，不知道你們能不能畫(huà)出一幅老師最喜歡的軸對(duì)稱圖形？

經(jīng)過(guò)前面的鋪墊，學(xué)生基本上理解了軸對(duì)稱原理，現(xiàn)在進(jìn)行創(chuàng)作不僅可以鍛煉他們的動(dòng)手能力，還可以進(jìn)一步鞏固加深對(duì)知識(shí)的理解，教師在下面巡查，也可以查漏補(bǔ)缺。

本節(jié)課將要結(jié)束時(shí)，學(xué)生自主創(chuàng)作出來(lái)許多作品，如楓葉、彩虹、氣球等等。在本節(jié)課的作品展示環(huán)節(jié)，通過(guò)學(xué)生自己向全班介紹作品，加深了學(xué)生對(duì)對(duì)稱的理解，也表現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)稱美的文化內(nèi)涵。

（二）探索美的秘密，創(chuàng)立美的等式

探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造三部曲不僅是人類的求知過(guò)程，也是一種常用的教學(xué)手段，例如可以在先在黑板上寫(xiě)出一些對(duì)稱等式，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，再提出一個(gè)問(wèn)題，其實(shí)答案就隱藏在等式之中，等到學(xué)生苦苦探索，最終得到規(guī)律答案，并利用規(guī)律創(chuàng)造新的等式。多媒體出示：

33×22=22×33? 13×62=26×31? 14×82=28×41

25×52=25×52? 34×86=68×43? 46×96=69×64

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察上面的6個(gè)等式，你覺(jué)得美嗎？為什么？你能找出它的規(guī)律嗎？

前面兩問(wèn)比較容易，學(xué)生一下子就答出來(lái)了。可是對(duì)于最后一問(wèn)，全班都陷入了沉默，見(jiàn)此情況教師決定給幾分鐘討論。學(xué)生經(jīng)過(guò)激烈的討論最終發(fā)現(xiàn)了算式的秘密：1、每個(gè)算式都關(guān)于等號(hào)對(duì)稱;2、兩個(gè)個(gè)位、十位互換的兩位數(shù)的乘積等于兩個(gè)原兩位數(shù)的乘積。

師：剛剛得到了對(duì)稱等式的特征，你們能不能根據(jù)它的規(guī)律創(chuàng)造出一些類似的算式？

聽(tīng)到這話，學(xué)生們躍躍欲試，不一會(huì)兒就創(chuàng)造出很多對(duì)稱等式，現(xiàn)出示一部分：

35×53=35×53? 55×77=77×55? 123×642=246×321

12×84=48×21? 13×93=39×31? 112×422=224×211

數(shù)學(xué)美育的魅力在于讓學(xué)生通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)，不斷發(fā)現(xiàn)對(duì)稱美的秘密，并依據(jù)規(guī)律創(chuàng)造出對(duì)稱美。這樣不僅鍛煉了學(xué)生發(fā)現(xiàn)美的能力，還激發(fā)了他們探索美的熱情。

從回文數(shù)中得到啟發(fā)，巧解等差數(shù)列，回文數(shù)是指正序讀、反著讀都是一樣的整數(shù)，例如：1001、343、78987等。在回文數(shù)的整數(shù)乘法中，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：

通過(guò)仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)出規(guī)律，并巧算出：回文數(shù)在數(shù)學(xué)算式上的巧妙應(yīng)用正是反映了對(duì)稱美，從而引起學(xué)生濃厚的興趣。

對(duì)稱美是宇宙萬(wàn)物中的一個(gè)永恒定律，就像有白就有黑，有陽(yáng)就有陰一樣，現(xiàn)代物理學(xué)中有個(gè)理論說(shuō)有正物質(zhì)就有反物質(zhì)，假設(shè)現(xiàn)實(shí)生活中所看到、感受到的一切客觀事物都是正物質(zhì)，那么宇宙中也存在看不見(jiàn)、感受不到的等量的反物質(zhì)，這樣宇宙才均衡，就像一樣，說(shuō)起來(lái)有些不可思議，但是在做某些難題時(shí)，這種設(shè)想?yún)s顯得巧妙、易懂。如在學(xué)習(xí)中對(duì)程度比較好的學(xué)生上等差數(shù)列求和時(shí)，大都用公式：“（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2”來(lái)教學(xué)，可這一公式對(duì)于成績(jī)較差學(xué)生要掌握和理解有一定困難。

有一道數(shù)學(xué)題叫作“懶人跑步減肥”，有個(gè)180斤的胖子想要減肥，于是他開(kāi)始跑步，第一天他跑了10公里，后來(lái)每天都要比前一天少跑一些，每天少跑的距離是相等的，最后一天只跑了1公里，他一共跑了一個(gè)月（30天），問(wèn)這個(gè)胖子一個(gè)月總共跑了多少公里？這道題難就難在不知道他每天具體跑了多少公里，也不知道每天比前一天少跑了多少公里，而且每天跑的距離不一定都是整數(shù)，唯一知道的是第一天和最后一天跑的距離。但是學(xué)過(guò)對(duì)稱，這個(gè)題目只要換個(gè)角度運(yùn)用對(duì)稱的原理就可以巧妙地解答出來(lái)了：假設(shè)有一個(gè)瘦子他想通過(guò)跑步鍛煉身體，已知他第一天只跑了1公里，以后的每天都比前一天多跑一些距離，每天增加的距離是相等的，最后一天他跑了10公里，總共跑了一個(gè)月（30天），與前面的那位胖子的情況正好相反，也就是對(duì)稱。顯知胖子和瘦子一個(gè)月跑的距離是完全相等的，并且他們每天增加或減少的距離也是相等的，所以可以算得兩人每天一共跑了11公里，那么，一個(gè)月一共跑了11×30=330公里，即每人跑了330÷2=165公里。這道題的難點(diǎn)不過(guò)是沒(méi)有直接給出每1天跑的距離，其實(shí)完全不必糾結(jié)，完全可以利用對(duì)稱的原理，將這種等差數(shù)列求和化為類似回文數(shù)的對(duì)稱求和方式。學(xué)會(huì)運(yùn)用對(duì)稱的思維來(lái)理解等差數(shù)列求和可比干巴巴地講求和公式要生動(dòng)形象多了。

（三）從軸對(duì)稱圖形中發(fā)現(xiàn)對(duì)稱原理的運(yùn)用

在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形后，最常見(jiàn)的習(xí)題就是畫(huà)出軸對(duì)稱圖形的另一半。其實(shí)軸對(duì)稱圖形為人們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了某些啟示，例如在博弈論中也經(jīng)常用到對(duì)稱理論，有一道經(jīng)典的題目：

一張桌面上擺了一排糖果，共計(jì)41個(gè)，有兩個(gè)小朋友比賽看誰(shuí)能拿到最后的糖果就算贏，游戲規(guī)則是每人每次只可以拿一顆，最多拿兩顆，但是拿兩顆糖果時(shí)必須是相鄰的，即中間沒(méi)有其他的糖果，證明：先拿的人一定有辦法使對(duì)方輸。這題表面上看挺難的，以為從排列組合的角度來(lái)看，分法太多了，但是如果從對(duì)稱的角度來(lái)看卻十分容易。當(dāng)先拿走了最中間的那一顆（第二十一顆糖果）后，左、右兩邊都各剩二十顆糖果，只要對(duì)方拿一邊的糖果，你就拿另一邊的糖果，而且位置、個(gè)數(shù)都和對(duì)方對(duì)稱，只要對(duì)方拿多少，你也拿多少，因?yàn)槭菍?duì)稱的，所以最后一次肯定是你的，因此先拿的人肯定是贏家。如果糖果是40粒，即偶數(shù)個(gè)時(shí)，只要你第一次拿走了中間的兩粒，使左、右兩邊各剩19顆糖果，就能保證必勝。

類似的題目還有：在一張長(zhǎng)方形桌上，兩個(gè)賭徒在用圓形籌碼賭博，只不過(guò)這次的游戲規(guī)則有些另類：兩個(gè)人輪流在桌子上擺籌碼，每人每次只能擺一個(gè)籌碼，并且兩個(gè)籌碼之間不能重疊，保證每一個(gè)籌碼不能超過(guò)桌面邊緣一絲一毫，兩個(gè)人誰(shuí)先擺不下籌碼就算輸。無(wú)論他們嘗試多少次，總是先擺的甲獲勝，這時(shí)，乙不禁充滿了疑問(wèn)，這是為什么呢？發(fā)現(xiàn)桌子的形狀是長(zhǎng)方形，因?yàn)殚L(zhǎng)方形是中心對(duì)稱圖形，所以利用中心對(duì)稱性，先擺的甲他只要保證把第一個(gè)籌碼放在桌面的中心，那么不管乙把籌碼擺在哪里，甲總可以把籌碼擺在和乙關(guān)于桌面中心對(duì)稱的地方。這樣，只要乙有地方擺，那么甲也有地方擺，所以最后輸?shù)囊欢ㄊ且摇?/p>

無(wú)論是“籌碼問(wèn)題”，還是“糖果問(wèn)題”，解答它們的思維方法都源于軸對(duì)稱圖形的基本特征，教師在教授軸對(duì)稱圖形性質(zhì)特征時(shí)，可以部分引用這方面的知識(shí)，加深對(duì)軸對(duì)稱圖形知識(shí)的運(yùn)用和深層理解，使學(xué)生樂(lè)于學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)稱的美，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、鑒賞美、創(chuàng)造美的能力，并培養(yǎng)學(xué)生高尚的審美情趣。

二、數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美

（一）結(jié)論的統(tǒng)一美

一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)論可以揭示自然界的一些秘密，促進(jìn)人類社會(huì)的發(fā)展進(jìn)步，人類的發(fā)展史就是一個(gè)不斷追求統(tǒng)一結(jié)論的過(guò)程。而作為所有學(xué)科的基礎(chǔ)，人類發(fā)展的基石——數(shù)學(xué)更是如此，對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的所有分析都形成了無(wú)數(shù)個(gè)統(tǒng)一的結(jié)論，然而這只是冰山一角，自然界中還有許多沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的結(jié)論等著。數(shù)學(xué)教材中的每一個(gè)公式，每一個(gè)定理都是一類問(wèn)題的統(tǒng)一結(jié)論，也是最高度的概括與總結(jié)。例如，矩形的四個(gè)角是直角。除了公式和定理具有統(tǒng)一性外，許多看似毫無(wú)關(guān)系的問(wèn)題也能得出統(tǒng)一的結(jié)論。

問(wèn)題1：仔細(xì)觀察圖片，分析圖中有多少條線段？

問(wèn)題2：圖中共有多少條小于180度的角？

問(wèn)題3：小明參加的乒乓球隊(duì)在賀龍?bào)w育館進(jìn)行比賽，已知有n支乒乓球隊(duì)參與乒乓球賽，請(qǐng)問(wèn)在賀龍?bào)w育館一共進(jìn)行了多少次比賽？

上面的幾個(gè)問(wèn)題，雖然無(wú)論從故事背景，還是內(nèi)容實(shí)質(zhì)都大不相同，可以說(shuō)是風(fēng)馬牛不相及，但都有一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)論，即由于這種情況在數(shù)學(xué)中十分常見(jiàn)，所以教師應(yīng)該格外重視，主動(dòng)鍛煉學(xué)生的歸納總結(jié)能力，以后碰到此類問(wèn)題就可以巧妙解答，這就是數(shù)學(xué)結(jié)論統(tǒng)一美的魅力所在。

（二）方法的統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)中有許多常見(jiàn)的方法，它們的應(yīng)用十分廣泛，如消元法、降次法、圖像法、代入法等，它們?cè)跀?shù)學(xué)解題中扮演著十分重要的角色。

例如，二元一次方程可以用消元法或代入法解出未知數(shù)，一元一次方程組也可以用圖像法得出答案。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，在計(jì)算五邊形的內(nèi)角和，可以輕易地想出以下幾種方法：

方法1：如圖3，連接AD兩點(diǎn)，再連接AC兩點(diǎn)，可以看到線段AD、AC將五邊形ABCDE分成三個(gè)三角形，因?yàn)橐粋€(gè)三角形的內(nèi)角和是180度，那么五邊形的內(nèi)角和為180×3=540度。

方法2：如圖4，在五邊形中心任取一點(diǎn)O，連接OA、OB、OC、OD、OE，將五邊形分成5個(gè)三角形，便可以求和，即180×5-360=540度。

方法3：如圖5，在五邊形的任意一邊，假設(shè)在AB邊上取一點(diǎn)P，P點(diǎn)任取，連接PC、PD、PE，將五邊形分成了4個(gè)三角形，便可求和，即180×4-180=540度。

觀察可知，上述的三種解法，都有兩點(diǎn)統(tǒng)一的特征：（1）都是每個(gè)頂點(diǎn)跟任意一點(diǎn)連接，這個(gè)點(diǎn)可以是頂點(diǎn)，也可以是五邊形內(nèi)部的一點(diǎn)，甚至可以是五邊形一邊上的任意一點(diǎn);（2）將求五邊形內(nèi)角和的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成求幾個(gè)三角形內(nèi)角和相加的問(wèn)題?？吹竭@里，有同學(xué)不禁想到如果任意一點(diǎn)是在五邊形的外面，那么還能構(gòu)造出三角形來(lái)求五邊形的內(nèi)角和嗎？其實(shí)是可以的，方法同上面三種解法一樣，在此不詳細(xì)論述。對(duì)不同的解題方法進(jìn)行概括總結(jié)，得出統(tǒng)一的結(jié)論，有助于學(xué)生深刻地理解問(wèn)題本質(zhì)，拓展思路，鍛煉解題技巧，感受統(tǒng)一美的魅力。

（三）過(guò)程的統(tǒng)一美

在學(xué)習(xí)矩形、平行四邊形等數(shù)學(xué)圖形的過(guò)程中，學(xué)生將經(jīng)歷定義、性質(zhì)、認(rèn)識(shí)、應(yīng)用四個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)習(xí)全等、相似等數(shù)學(xué)關(guān)系的時(shí)候也是經(jīng)歷了這四個(gè)環(huán)節(jié)。而在學(xué)習(xí)一元一次、二元一次等方程的過(guò)程都經(jīng)歷了概念、解法、應(yīng)用的三個(gè)階段。知識(shí)點(diǎn)的研究過(guò)程可以統(tǒng)一，那么數(shù)學(xué)的解題過(guò)程也有統(tǒng)一美嗎？

例：如圖6，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為10，縱坐標(biāo)為0，OA是半圓C的直徑，點(diǎn)C為圓心，有一點(diǎn)B沿著半圓周運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OB，連接AB，并延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB=AB。過(guò)點(diǎn)D作垂直于x軸的直線，交直線OB于點(diǎn)F，交x軸點(diǎn)E，連結(jié)CF。

（1）如果測(cè)得∠AOB=30°，那么弧AB有多長(zhǎng)？

（2）假設(shè)DE=8，那么線段EF的長(zhǎng)度是多少？

（3）當(dāng)點(diǎn)B沿著半圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求三角形ECF與三角形AOB能否相似。若能的話，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不能，請(qǐng)給出理由。

解：（1）略。

（2）當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)A，C之間時(shí)，如圖7，連結(jié)OD。因?yàn)镈B=AB，OB⊥AD，所以O(shè)A=OD=10。又DE=8，所以O(shè)E=6，所以AE=4。又因FOE與△ADE相似，則EF ∶ AE=OE ∶ DE，解得EF=3。

當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，如圖8，連結(jié)OD。因?yàn)镈B=AB，OB⊥AD，所以O(shè)A=OD=10。又DE=8，所以O(shè)E=6，所以AE=16。又因△FOE與△ADE相似，則EF ∶ AE=OE ∶ DE，解得EF=12。

（3）略。

注：發(fā)現(xiàn)在解答第二問(wèn)的時(shí)候有兩種情況，在這兩種情況中的圖形差異很大，得出的結(jié)論也不一樣，但是解題過(guò)程卻出乎意料的一致。這種解題過(guò)程的高度統(tǒng)一在第三問(wèn)中也存在著，第三題共有六種情況，除了兩種情況無(wú)解外，其他幾種情況的解題過(guò)程基本一致，這里就不廢話了。

從這道題中可以發(fā)現(xiàn)，圖形通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等變換改變了位置和形狀，但是解題的過(guò)程卻是高度統(tǒng)一的，從這種統(tǒng)一上，學(xué)生可以得到思路的啟發(fā)，找到快速簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題途徑，這就是統(tǒng)一美的意義所在。

三、對(duì)未來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的思考和建議

滲透數(shù)學(xué)美在數(shù)學(xué)不僅是教學(xué)過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)之美無(wú)處不在，也刺激了課堂氣氛，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生形成思維美感。

針對(duì)教材里潛藏的美學(xué)因素，教師應(yīng)在課堂教學(xué)中揭示出來(lái)，讓學(xué)生自然地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的美。在如何揭示數(shù)學(xué)的潛力在教材，教師可以使用發(fā)現(xiàn)方法教從審美的角度來(lái)看問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造思維，擁有獲取新知識(shí)與審美特征的喜悅，通過(guò)必要的實(shí)踐中獲得感悟，再發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)。學(xué)生通過(guò)這個(gè)過(guò)程培養(yǎng)了審美直覺(jué)能力，提高了實(shí)踐創(chuàng)造能力。

教師在課堂教學(xué)中要注重于引導(dǎo)學(xué)生的審美意識(shí)，適當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)中美的因素呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美感。

教師可以探索數(shù)學(xué)美的教科書(shū)，培養(yǎng)學(xué)生的感受美，欣賞美，讓學(xué)生可以用美學(xué)方法在數(shù)學(xué)創(chuàng)造美的能力。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生可以更輕松，更快樂(lè)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)技能，在自覺(jué)的、輕松的、活潑的氛圍中成長(zhǎng)。

（責(zé)任編輯：淳? 潔）

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